2020-2021学年湘教新版九年级下册《第1章 二次函数》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湘教新版九年级下册《第1章
二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．下列函数一定是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c
B．y＝x2+bx+c
C．y＝（a2+a）x2+bx+c
D．y＝（a2﹣a）x2+bx+c
2．把函数y＝﹣2x2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为（　　）
A．y＝﹣2x2
B．y＝2x2
C．y＝﹣2（x+1）2
D．y＝﹣2（x﹣1）2
3．形状与抛物线y＝﹣x2﹣2相同，对称轴是x＝﹣2，且过点（0，3）的抛物线是（　　）
A．y＝x2+4x+3
B．y＝﹣x2﹣4x+3
C．y＝﹣x2+4x+3
D．y＝x2+4x+3或y＝﹣x2﹣4x+3
4．如果二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象在x轴的下方，则c的取值范围为（　　）
A．c＜﹣1
B．c≤﹣1
C．c＜0
D．c＜1
5．根据抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（　　）
A．x2﹣1＝﹣3x
B．x2+3x+1＝0
C．3x2+x﹣1＝0
D．x2﹣3x+1＝0
6．二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是（　　）
A．x＜﹣1
B．x＞2
C．﹣1＜x＜2
D．x＜﹣1或x＞2
7．发射一枚炮弹，经xs后的高度为ym，且高度y与时间x的函数关系式为y＝ax2+bx，若此炮弹在第6s与第14s时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时间是（　　）
A．第8s
B．第10s
C．第12s
D．第15s
8．顶点是（﹣2，0），开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（　　）
A．
B．y＝（x+2）2
C．
D．
二．填空题
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c是由y＝﹣2x2+3x+1向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到的，则a＝　
　，b＝　
　，c＝　
　．
10．抛物线y＝﹣2x2的开口向　
　，对称轴是　
　，顶点是　
　．
11．函数y＝（x2﹣1）的自变量x的取值范围是　
　．
12．如图，在第二象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＜0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是　
　．
13．圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加ycm2，则y与x之间的函数关系为　
　．
14．利用函数图象求得方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝　
　，x2＝　
　．
15．抛物线y＝﹣x2+3x﹣2在y轴上的截距是　
　，与x轴的交点坐标是　
　．
16．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（2，3），且经过点（3，1），则a＝　
　，b＝　
　，c＝　
　．
17．二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k+3有最小值﹣4，且图象的对称轴在y轴的右侧，则k的值是　
　．
18．一动点P沿抛物线y＝x2﹣x﹣6运动到P′的位置，若开始时点P的纵坐标是﹣6，终点P′的纵坐标也是﹣6，则点P的水平移动距离是　
　．
19．物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间可以用关系式h＝5×t2来描述．建于1998年的上海金茂大厦高420.5米，当时排名世界第三高楼．若从高340米的观光厅上掉下一个物体，自由下落到地面约需　
　秒（精确到1秒）．
20．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为　
　．
三．解答题
21．已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．
22．圆的半径为3，若半径增加x，则面积增加y．求y与x的函数关系式．
23．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m）
与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h＝7t﹣t2．
（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；
（2）经过多少秒钟，球又落到地面．
24．已知是x的二次函数，求出它的解析式．
25．已知抛物线y＝ax2经过点（1，3），求当y＝4时，x的值．
26．已知抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴的一个交点A（2，0），另一个交点为B．
（1）求m的值；
（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、y＝ax2+bx+c，系数a是否为0，不确定，不一定是二次函数；
B、y＝x2+bx+c，二次项系数为1，一定是二次函数；
C、y＝（a2+a）x2+bx+c，二次项系数是否为0，不确定，不一定是二次函数；
D、y＝（a2﹣a）x2+bx+c，二次项系数是否为0，不确定，不一定是二次函数．
故选：B．
2．解：函数y＝﹣2x2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式﹣y＝﹣2x2，所以y＝2x2．
故选：B．
3．解：设所求抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由抛物线过点（0，3），可得：c＝3，
由抛物线形状与y＝﹣x2﹣2相同，
分为两种情况：①开口向下，则a＜0，
又∵对称轴x＝﹣2，则x＝﹣＝﹣2．则b＜0，
由此可得出B选项符合题意．
②开口向下，则a＞0，
又∵对称轴x＝﹣2，则x＝﹣＝﹣2．则b＞0，
由此可得出A选项符合题意，
综合上述，符合条件的是选项D，
故选：D．
4．解：由题意得，解得c＜﹣1，
故选：A．
5．解：∵抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x﹣1＝0的根，
∴可以求出方程x2+3x﹣1＝0的根，
方程x2﹣1＝﹣3x与方程x2+3x﹣1＝0等价，
∴可以求出方程x2﹣1＝﹣3x的根．
故选：A．
6．解：由图可知，抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（2，0），
所以，不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是﹣1＜x＜2．
故选：C．
7．解：∵x取6和14时y的值相等，
∴抛物线y＝ax2+bx的对称轴为直线x＝6+＝10，
即炮弹达到最大高度的时间是10s．
故选：B．
8．解：∵开口方向、形状与抛物线相同，
∴a＝，
∵顶点是（﹣2，0），
∴根据顶点式判断可知为y＝（x+2）2．
二．填空题
9．解：抛物线y＝﹣2x2+3x+1可化简为：y＝﹣2（x﹣）2+，
原抛物线的顶点为（，），向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣，），
则新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+）2+，即y＝﹣2x2﹣9x﹣6．
所以a＝﹣2，b＝﹣9，c＝﹣6．
故答案为：﹣2，﹣9，﹣6．
10．解：∵抛物线y＝﹣2x2中，a＝﹣2＜0，b＝c＝0，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，0）．
故答案为：向下，y轴，（0，0）．
11．解：函数y＝（x2﹣1）的自变量x的取值范围是全体实数．
12．解：①当∠POQ＝∠OAH＝30°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH＝60°，
所以直线y＝﹣x，联立抛物线的解析式，
得：
解得或
故A（﹣，3）；
②当∠POQ＝∠AOH＝60°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH＝30°，则直线y＝﹣x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得或；
故P（﹣，），那么A（﹣，）；
③当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝60°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH＝30°，则直线y＝﹣x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得或；
故P（﹣，），
∴OP＝，QP＝，
∴OH＝OP＝，AH＝QP＝，
故A（﹣，）；
④当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝30°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线y＝﹣x，联立抛物线的解析式，
得：
解得或．
∴P（﹣，3）；
∴QP＝2，OP＝2，
∴OH＝QP＝2，AH＝OP＝2，
故A（﹣2，2）．
综上可知：符合条件的点A有四个，则符合条件的点A的坐标是（﹣，3）；或（﹣，）或（﹣，）或（﹣2，2）．
故答案为：（﹣，3）；或（﹣，）或（﹣，）或（﹣2，2）
13．解：新圆的面积为π×（x+1）2，
∴y＝π×（x+1）2﹣π×12＝πx2+2πx．
14．解：∵方程x2+x﹣12＝0的解就是函数y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点的横坐标，
而y＝x2+x﹣12的图象如图所示：
∴y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）、（3，0），
∴方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝﹣4，x2＝3．
15．解：当x＝0时，y＝﹣2，则抛物线在y轴上的截距为﹣2；
当y＝0时，原式可化为﹣x2+3x﹣2＝0，
整理得，x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝2，x2＝1，于是抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（1，0）．
故答案为﹣2；（2，0），（1，0）．
16．解：顶点式y＝a（x﹣2）2+3，将点（3，1）代入得，
a（3﹣2）2+3＝1，解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）2+3，即y＝﹣2x2+8x﹣5，
∴a＝﹣2，b＝8，c＝﹣5．
17．解：∵图象的对称轴在y轴的右侧，
∴对称轴x＝k+1＞0，
解得k＞﹣1，
∵二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k+3有最小值﹣4，
∴y最小值＝＝k+3﹣（k+1）2＝﹣k2﹣k+2＝﹣4，
整理得k2+k﹣6＝0，
解得k＝2或k＝﹣3，
∵k＝﹣3＜﹣1，不合题意舍去，
∴k＝2．
18．解：由于动点P沿抛物线y＝x2﹣x﹣6运动到P′的位置，且两点纵坐标相同，
则P（x1，﹣6）、P′（x2，﹣6），令y＝﹣6，解得：x1＝0，x2＝1，
因此，点P的水平移动距离|x1﹣x2|＝1．
19．解：依题意，将h＝340代入h＝5×t2解得：t＝8．
20．解：当y＝0时，即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），
当y＜0时，图象在x轴的下方，
此时﹣1＜x＜3．
故填空答案：﹣1＜x＜3．
三．解答题
21．解：∵抛物线顶点坐标为（1，4），
代入抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
得：y＝a（x﹣1）2+4，
∵该抛物线又过点（﹣1，0），
∴4a+4＝0，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．
22．解：由题意得：
y＝π（x+3）2﹣π×9
即：y＝πx2+6πx（x＞0）．
23．解：（1）把h＝10代入函数解析式h＝7t﹣t2得，
7t﹣t2＝10，
解得t1＝2，t2＝5，
答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为10m；
（2）把h＝0代入函数解析式h＝7t﹣t2得，
7t﹣t2＝0，
解得t1＝0（为球开始飞出时间），t2＝7（球又落到地面经过的时间），
答：经过7秒钟，球又落到地面．
24．解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1
又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0
解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）
所以m＝3
故y＝12x2+9．
25．解：根据题意，把点（1，3）代入抛物线解析式y＝ax2得，3＝a，
∴抛物线解析式为y＝3x2，
令y＝4，解得x＝±．
26．解：（1）把点A的坐标代入抛物线解析式得：0＝﹣2+8+m，
∴m＝﹣6．
（2）由（1）知解析式为：y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x﹣4）2+2，
即得顶点P的坐标为：（4，2），
令y＝0，即﹣x2+4x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝6，
∴点B的坐标为：（6，0），
∴S△PAB＝×AB×|yP|＝×4×2＝4．