圆周角

圆周角
义龙中学 陈航
一、复习圆心角
师：上节课我们学习了圆中的什么角，特点是什么？
生：圆心角，顶点在圆心。
二、圆周角的定义
1、定义
问：∠ACB是圆心角吗？它有什么特点？
生：顶点在圆上，两边与圆都相交
师：这就是我们今天要研究的角
板书：圆周角：顶点在圆上，两边与圆都相交的角。
特征：①顶点在圆上
②两边与圆都相交
2、判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
三、猜想
活动1：在⊙O中画出弧AB所对的圆心角和圆周角。
思考：它们都是同弧所对的角，大小会有什么关系呢？
活动2：用量角器量出这两个角的度数，你能得出什么结论呢？
学生活动：测量得出结论：∠ACB=∠AOB
我们可以猜想：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
该猜想成立吗？如何证明呢？下面进行探讨。
四、验证猜想
1、上面的活动1中，弧AB所对的圆周角有几个，圆心角呢？
（能画一个圆心角，无数个圆周角）
思考：弧AB所对的圆周角有无数个，它们与圆心O有哪几种位置关系？
演示：
圆周角与圆心的位置可能会出现三种情况。
①圆心在圆周角一边上 ②圆心在圆周角内部 ③圆心在圆周角外部
2、分类证明（接下来我们分别就这三种情况证明这一猜想）
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB
证明：（1）圆心在边AC上
∵OB＝OC
　 ∴∠B＝∠C
∵∠AOB是△BOC的外角
∴ ∠AOB＝∠B＋∠C＝2∠C
∴ ∠ACB＝∠AOB
（2）（3）由学生分组讨论，展示结果
（2）圆心在∠ACB内部
作直径CD
∠ACD＝∠AOD ，∠BCD＝∠BOD
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝（∠AOD＋∠BOD）
∴∠ACB＝∠AOB
利用（1）结论得
即∠ACB＝∠AOB
（3）圆心在∠ACB外部
作直径CD
由（1）知
∠BCD＝∠BOD ， ∠ACD＝∠AOD
∴∠ACB＝∠ACD-∠BCD＝∠AOD－∠BOD
∴∠ACB＝（∠BOD－∠AOD）
∴∠ACB＝∠AOB
综上所诉，在一个圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半。这就是圆周角定理。
板书：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
3、思考：同一条弧可以作出无数个圆周角，它们的大小有什么关系呢？
结论：都相等
逆向定理也成立，即相等的圆周角所对的弧相等
板书（结合以上）：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
五、应用
1、求图中∠α的度数
∠α= ∠α=
2、如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠DAC=∠BAC=60°,则△BCD是 三角形。
3、如图，∠B=50°,点A′从点C沿弧AC运动到点A，则∠A′OC变化的范围是
4、　1．如图AB是⊙O直径，你能否求出∠ACB＝？
结论：直径或半圆所对的圆周角都等于90°
5、　如图，若圆周角∠ACB＝90°，那么弦AB是直径吗？
逆向结论：90°的圆周角所对的弦是直径．
板书：直径或半圆所对的圆周角都等于90°
90°的圆周角所对的弦是直径．
6、请你帮助用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？
六、这节课你学到了哪些知识点？
1、圆周角定义
2、圆周角定理：
1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
2、直径或半圆所对的圆周角都等于90°
3、90°的圆周角所对的弦是直径．
40°
O
A
B
C
α
70°
C
B
O
A
α
O
C
A′
A
B
O
C
B
A
A
B
O
C