人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质 教案Word

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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三角函数的图像和性质
高考考纲解读：三角函数
的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。
教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像
理解三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质。
教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像伸缩变换和性质。
教学难点：解决三角函数的综合问题
教学手段：合作学习，讲练结合
教学过程：
高考考纲解读
函数
的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
高考母题引领三角函数复习
母题鉴析
(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。本题作为一道高考母题，在三角函数、函数与方程、函数的头像的交汇点处命题，体现了较高的综合性很高，数学内涵丰富，能力要求高．更可贵的是本题对任何一位考生来说，考查背景十分公平。
题目的理解方面：第一问由数据表格大致得出函数的解析式，并完成表格的填充。需要学生观察表格，得出A,w,并计算的值，确定解析式，需要特别注意五点作图法的基本法则，并观察表格；第二问根据第一问求解的f(x)解析式，在此基础上进行图像的平移变换，并研究新函数g(x)的对称中心，在这个过程中除了需要学生注意三角函数的对称中心之外，还需要注意三角函数本身的周期性，确定合适的k的值，找到符合条件的值。
解答：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
因此g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin
x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，
其中离原点O最近的对称中心为.
点评：本题作为2015湖北高考真题，有一定的示范性，多角度考查了三角函数的相关知识。在解决过程中强调知识本身的复习设置几个思考题：
思
考1．函数y=Asin(wx+)的图像和性质
y=sinx
y=Asin(wx+)（A>0>0）
定义域
值
域
周期性
单调性
奇偶性
对称性
思
考2．函数y=Asin(wx+)+b的图像和性质；
思
考3．函数y=Acos(wx+)+b的图像和性质.
几个思考题学生进行小组之间合作探究，加深对知识的重拾和知识体系建构，并借助研究三角函数y=Asin(wx+)图像性质的研究，自主研究y=Asin(wx+)+b和y=Acos(wx+)+b的图像和性质，进一步加深整体代换思想和各系数正负对函数的性质的影响。
变式1　在母题条件下，试作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解析：
在母题的基础上，通过小题变式考查学生的五点作图法的能力，更进一步考查整体代换的思想，帮助学生理解更进一步的五点作图法知识。
答：令，依次求出五个点的横坐标和纵坐标,列出如下表格，
ωx＋φ
0
π
2π
x
Y=Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
由以上表格，在平面直角坐标系中，描出这五个点，并连线，画出一个周期内的图像，如下：
点评：五点作图法对学生的要求不高，考查学生基本的作图常识，帮助学生体会数形结合的思想。在做完图后，有必要学生进行讨论商讨由函数的图像确定解析式的流程。
思
考4.五点法作图画出．函数y=Asin(wx+)+b的图像
变式2
在母题条件下，若将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解析：在母题的基础上通过小题变式，巩固三角函数图像变换和三角函数的对称性的性质，加深对三角函数对称中心的理解。
解：因为f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin
x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
点评：三角函数的平移变换针对x而言，即x本身加减多少值。f(x)＝5sin，图像左平移，得到;三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性的考查主要是类比的对称中心结合复合函数的特性综合考虑。函数y＝sin
x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，对于的对称中心的研究，令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.的对称中心（＋－θ，0）；函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z。由于θ>0，结合三角函数的周期性确定合适的k的值，进而确定相应的θ值，由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值。
变式3
在母题条件下，说明函数f(x)的图象可由y＝sin
x的图象经过怎样的变换而得到的．
解析：在母题的基础上，通过小题变式帮助学生深化理解三角函数的图像变换，这类问题的解决主要有两种途径：先平移后伸缩和先伸缩后平移，二者有一定的差别。
解：法1（先平移后伸缩）把的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象，再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象，最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到的图象．
法2（先伸缩后平移）把的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图像，再把的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象，最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到的图象．
思
考5
函数y=Asin(wx+)+b的图像变换
点评
破译玄机：由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．两者虽有不同，但三角函数的平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移的单位长度。
通解透法
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
(1)五点法：设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换法：由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
破译玄机
由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．两者虽有不同，但平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移的单位长度．
知识内化提升
畅所欲言
对自己说,你有什么收获
对同学说,你有什么温馨提示?
对老师说,你有什么疑惑?
在这部分需要学生学会主动进行变式，多做题做精题，掌握好的复习方法，追求复习效果质的提升，加深对知识本身的深入理解，对数学思想的活化应用。变式学习过程中培养提高学生的数学素养，拓宽学生的数学思维，在二轮专题复习中强调高考题目的变式，一题多解，多题归一等，要求学生进行解题方法的归纳和总结。强调学生回归课本，小组成员之间互相对不懂的题目进行自主变式，在变式中深化知识，同时注意高考答题规范的培养。
作业1（必做）：注意答题规范展示
作业2
二轮复习资料1-12题（必做）
13-15（选做）
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