圆周角的教学设计
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文档简介
28.1.3 圆周角
海口市东山中学 邝展华
教学目标：
知识目标：
⑴理解圆周角的概念，会判断一个角是否为圆周角。
⑵掌握直径所对圆周角的特征、圆周角的性质、同弧所对圆周角与圆心角的关系。
能力目标：
经历探索同弧所对圆周角和圆心角的关系，渗透由“特殊到一般”、 分类讨论及化归等数学思想方法，培养数学推理能力。
⑶ 情感目标：
通过观察、猜想、验证推理，培养学生以严谨求实的态度思考数学。
教学重点、难点：
重点：圆周角的概念及圆周角定理
难点：用分类讨论、化归思想合情推理验证“同弧所对圆周角与圆心角的关系”
课前准备：
教师：课件
学生：画有圆的纸若干张、直尺、圆规、量角器
教学过程：
创设情境，引入概念
问题：如图1，甲、乙两名运动员分别在C、D两地进行射门训练，他们争论不休，都说在自己的位置射门好。
我们把这个问题抽象为一个几何问题，实际上就是在圆O中,比较∠ACB与∠ADB的大小。
提问1：图中∠ADB是圆心角吗？它的顶点在哪？
像∠ADB这样，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角
跟踪练习：判断下列各图形中的角是不是圆周角？并说明理由
二、探究直径所对圆周角的特征
如图28.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？
请同学们对猜想的结论进行测量验证
教师用“几何画板”从以下方面演示“半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°”：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动②改变直径的位置③改变圆的半径大小
证明：连接OC
∵ OA＝OB＝OC，
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2
又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°
∴∠ACB＝∠1＋∠2 =∠A+∠B=＝90°.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
几何推理语言：
① ∵AB是⊙O 的直径
∴∠ACB=90 °
②反之∵∠ACB=90 °
∴AB是⊙O 的直径
跟踪练习：如图28.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
解：
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又 ∵ ∠A=80°
∴ ∠B=180 °- ∠A- ∠ACB
= 180° - 80°- 90°
= 10°
答： ∠ABC的度数为10°
三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
思考：如图2，AB是⊙O 的直径，同弧所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB各是多少度？它们度数的大小有什么关系？你对同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系有什么猜想
可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
是不是所有的圆周角和它同弧所对的圆心角之间都有这种关系呢？一起来探讨
思考：如图3，弧AB所对的圆周角有多少个？那么画弧AB所对的圆周角是否它的一条边一定要经过圆心O呢？试一试：你能画出弧AB所对的圆周角和圆心的多少种不同的位置关系？
教师用“几何画板”动画直观演示，归纳分类如下：
提出问题:
⑴根据上面三种情况，请找出弧AB所对的圆心角
⑵各种不同位置的圆周角∠ACB和它同弧所对的圆心角∠AOB的角度大小有什么关系？
教师用“几何画板”从以下方面直观演示同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动②改变圆心角的度数③改变圆的半径大小
推理证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB
证明：分三种情况讨论
（1）圆心在圆周角的边上，即BC过圆心如图28.1.11（1）
∵OA=OC
∴∠CAO=∠ACB
∵∠AOB是△AOC的外角
∴∠AOB=∠CAO+∠ACB=2∠ACB
∴∠ACB=∠AOB
你能将（2）（3）两种情况分别转化成（1）的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)
（2）圆心在圆周角的内部，如图28.1.11（2）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠1=∠AOD，∠2=∠BOD
∴∠ACB=∠1+∠2=∠AOD +∠BOD =（∠AOD+∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
（3）圆心在圆周角的外部，如图28.1.11（3）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠1=∠AOD，∠2=∠BOD
∴∠ACB =∠1-∠2=∠AOD-∠BOD=（∠AOD-∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
于是，我们得到：同一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
在探索同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系的过程中，我们用到了由“特殊到一般”的思想方法，分类讨论的方法，转化的方法等
思考：同一条弧所对的所有圆周角有什么关系呢？在同圆中，相等的圆周角所对的弧有什么关系？为什么？
精讲： 对于两个相等的圆，有相同的结论
归纳：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半，相等的圆周角所对的弧相等
这一结论称为圆周角定理．此定理不但可以用于证明角相等，也可以利用角的关系进行相关的运算。
四、实践运用：
1、试找出图中所有相等的圆周角
∠1= _____ ∠2= _____ ∠3= _____ ∠5= _____
2、试分别说出图28.1.13中∠x的度数。
3、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x + 100)°和(5x – 30)°，求这条
弧所对的圆心角和圆周角的度数。
4、对于导入新课中的问题，现在请你当教练评一评甲、乙两名运动员谁的射门角度好。
五、课堂小结：
请你选择下面一个或几个关键词谈谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……
六、布置作业：
课本43页习题28.1 6、7
板书设计
28.1.3圆周角圆周角定义: 直径所对圆周角的特征：圆周角定理:
C
A
B
D
O
图1
1
2
图2
图3
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
第一类：圆心在圆周角一边上
第二类：圆心在圆周角内部
第三类：圆心在圆周角外部
A
B
C
D
海口市东山中学 邝展华
教学目标：
知识目标：
⑴理解圆周角的概念，会判断一个角是否为圆周角。
⑵掌握直径所对圆周角的特征、圆周角的性质、同弧所对圆周角与圆心角的关系。
能力目标：
经历探索同弧所对圆周角和圆心角的关系，渗透由“特殊到一般”、 分类讨论及化归等数学思想方法，培养数学推理能力。
⑶ 情感目标：
通过观察、猜想、验证推理，培养学生以严谨求实的态度思考数学。
教学重点、难点：
重点：圆周角的概念及圆周角定理
难点：用分类讨论、化归思想合情推理验证“同弧所对圆周角与圆心角的关系”
课前准备：
教师：课件
学生：画有圆的纸若干张、直尺、圆规、量角器
教学过程：
创设情境，引入概念
问题：如图1，甲、乙两名运动员分别在C、D两地进行射门训练，他们争论不休，都说在自己的位置射门好。
我们把这个问题抽象为一个几何问题，实际上就是在圆O中,比较∠ACB与∠ADB的大小。
提问1：图中∠ADB是圆心角吗？它的顶点在哪？
像∠ADB这样，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角
跟踪练习：判断下列各图形中的角是不是圆周角？并说明理由
二、探究直径所对圆周角的特征
如图28.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？
请同学们对猜想的结论进行测量验证
教师用“几何画板”从以下方面演示“半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°”：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动②改变直径的位置③改变圆的半径大小
证明：连接OC
∵ OA＝OB＝OC，
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2
又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°
∴∠ACB＝∠1＋∠2 =∠A+∠B=＝90°.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
几何推理语言：
① ∵AB是⊙O 的直径
∴∠ACB=90 °
②反之∵∠ACB=90 °
∴AB是⊙O 的直径
跟踪练习：如图28.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
解：
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又 ∵ ∠A=80°
∴ ∠B=180 °- ∠A- ∠ACB
= 180° - 80°- 90°
= 10°
答： ∠ABC的度数为10°
三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
思考：如图2，AB是⊙O 的直径，同弧所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB各是多少度？它们度数的大小有什么关系？你对同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系有什么猜想
可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
是不是所有的圆周角和它同弧所对的圆心角之间都有这种关系呢？一起来探讨
思考：如图3，弧AB所对的圆周角有多少个？那么画弧AB所对的圆周角是否它的一条边一定要经过圆心O呢？试一试：你能画出弧AB所对的圆周角和圆心的多少种不同的位置关系？
教师用“几何画板”动画直观演示，归纳分类如下：
提出问题:
⑴根据上面三种情况，请找出弧AB所对的圆心角
⑵各种不同位置的圆周角∠ACB和它同弧所对的圆心角∠AOB的角度大小有什么关系？
教师用“几何画板”从以下方面直观演示同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动②改变圆心角的度数③改变圆的半径大小
推理证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB
证明：分三种情况讨论
（1）圆心在圆周角的边上，即BC过圆心如图28.1.11（1）
∵OA=OC
∴∠CAO=∠ACB
∵∠AOB是△AOC的外角
∴∠AOB=∠CAO+∠ACB=2∠ACB
∴∠ACB=∠AOB
你能将（2）（3）两种情况分别转化成（1）的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)
（2）圆心在圆周角的内部，如图28.1.11（2）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠1=∠AOD，∠2=∠BOD
∴∠ACB=∠1+∠2=∠AOD +∠BOD =（∠AOD+∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
（3）圆心在圆周角的外部，如图28.1.11（3）
作直径CD
利用（1）的结论，有
∠1=∠AOD，∠2=∠BOD
∴∠ACB =∠1-∠2=∠AOD-∠BOD=（∠AOD-∠BOD）=∠AOB
即∠ACB=∠AOB
于是，我们得到：同一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
在探索同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系的过程中，我们用到了由“特殊到一般”的思想方法，分类讨论的方法，转化的方法等
思考：同一条弧所对的所有圆周角有什么关系呢？在同圆中，相等的圆周角所对的弧有什么关系？为什么？
精讲： 对于两个相等的圆，有相同的结论
归纳：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半，相等的圆周角所对的弧相等
这一结论称为圆周角定理．此定理不但可以用于证明角相等，也可以利用角的关系进行相关的运算。
四、实践运用：
1、试找出图中所有相等的圆周角
∠1= _____ ∠2= _____ ∠3= _____ ∠5= _____
2、试分别说出图28.1.13中∠x的度数。
3、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x + 100)°和(5x – 30)°，求这条
弧所对的圆心角和圆周角的度数。
4、对于导入新课中的问题，现在请你当教练评一评甲、乙两名运动员谁的射门角度好。
五、课堂小结：
请你选择下面一个或几个关键词谈谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……
六、布置作业：
课本43页习题28.1 6、7
板书设计
28.1.3圆周角圆周角定义: 直径所对圆周角的特征：圆周角定理:
C
A
B
D
O
图1
1
2
图2
图3
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
第一类：圆心在圆周角一边上
第二类：圆心在圆周角内部
第三类：圆心在圆周角外部
A
B
C
D