2020-2021学年人教版八年级数学下册18.2第2课时：菱形的判定（28张）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版八年级数学下册18.2第2课时：菱形的判定（28张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 227.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-13 00:17:08 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点）
2.能运用菱形的判定方法判定一个四边形是菱形.. （难点）
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形
复习引入
菱形的定义是什么？性质有哪些？
菱形的性质
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角；
菱形的性质
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
动手操作
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
已知：在 中，AC ⊥ BD，
ABCD
ABCD
求证： 是菱形.
O
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
又∵ AC ⊥ BD，
∴BA=BC .
∴ ABCD是菱形.（菱形的定义）
A
B
C
D
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
提示：此方法包括两个条件——
(1)是一个平行四边形；
(2)两条对角线互相垂直.
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
例 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.
A
D
C
B
O
∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形，
AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形.
证明：
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
命题2：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
D
C
B
O
证明：∵ AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，
∴ ABCD是菱形.
已知：如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
2
A
C
E
D
F
1
B
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形
+ 邻边相等 =
+对角线线互相垂直 =
四条边相等 + =
菱形的判定方法
知识巩固
1.如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥ BC；
③四边形 ABCD 是菱形；
④△ABD≌△CDB.
其中正确的是____________(只填写序号).
①②③④
A
D
C
B
O
2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm
和26cm，那么平行四边形的面积是 .
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下
列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
A
B
D
E
C
4.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
5 如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD的周长为 ( )
A．52 cm
B．40 cm
C．39 cm
D．26 cm
A
A
B
D
C
6.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形
A
D
O
E
M
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
7、判断题
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4)对角线相等的四边形是菱形（ ）
(5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（ ）
(6)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（ ）
×
√
×
×
√
√
如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为EF，然后展开，连接DF，BE．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长
拓展提升
解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠的性质得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE=DE，
∴四边形EBFD是菱形；
解析：（2）解：由（1）得：四边形EBFD是菱形，
∴BF=BE，
设BE=x，则BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
则32+（9-x）2=x2，
解得：x=5．
∴BF=BE=5，AE=4，
作EM⊥BC于M，
如图所示，则EM=AB=3，BM=AE=4，
∴MF=BF-BM=1，
∴EF=EM2+MF2?=32+12?=10．
?
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
回顾与反思
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点）
2.能运用菱形的判定方法判定一个四边形是菱形.. （难点）
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形
复习引入
菱形的定义是什么？性质有哪些？
菱形的性质
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角；
菱形的性质
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
动手操作
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
已知：在 中，AC ⊥ BD，
ABCD
ABCD
求证： 是菱形.
O
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
又∵ AC ⊥ BD，
∴BA=BC .
∴ ABCD是菱形.（菱形的定义）
A
B
C
D
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
提示：此方法包括两个条件——
(1)是一个平行四边形；
(2)两条对角线互相垂直.
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
例 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.
A
D
C
B
O
∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形，
AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形.
证明：
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
命题2：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
D
C
B
O
证明：∵ AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，
∴ ABCD是菱形.
已知：如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
2
A
C
E
D
F
1
B
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形
+ 邻边相等 =
+对角线线互相垂直 =
四条边相等 + =
菱形的判定方法
知识巩固
1.如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥ BC；
③四边形 ABCD 是菱形；
④△ABD≌△CDB.
其中正确的是____________(只填写序号).
①②③④
A
D
C
B
O
2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm
和26cm，那么平行四边形的面积是 .
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下
列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
A
B
D
E
C
4.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
5 如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD的周长为 ( )
A．52 cm
B．40 cm
C．39 cm
D．26 cm
A
A
B
D
C
6.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形
A
D
O
E
M
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
7、判断题
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
(4)对角线相等的四边形是菱形（ ）
(5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（ ）
(6)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（ ）
×
√
×
×
√
√
如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为EF，然后展开，连接DF，BE．
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长
拓展提升
解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折叠的性质得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE=DE，
∴四边形EBFD是菱形；
解析：（2）解：由（1）得：四边形EBFD是菱形，
∴BF=BE，
设BE=x，则BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
则32+（9-x）2=x2，
解得：x=5．
∴BF=BE=5，AE=4，
作EM⊥BC于M，
如图所示，则EM=AB=3，BM=AE=4，
∴MF=BF-BM=1，
∴EF=EM2+MF2?=32+12?=10．
?
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
回顾与反思