2020-2021学年高一数学北师大版必修4第三章3.2.3两角和与差的正切函数教案
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高一数学北师大版必修4第三章3.2.3两角和与差的正切函数教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 51.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-14 12:39:29 | ||
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文档简介
§3.2.3两角和与差的三角函数
一、教学目标：
1．知识与技能
（1）能够推导两角和与差的正切公式，并理解记忆公式．
（2）能够灵活利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．
2．过程与方法
在研究复角正切函数与单角正切函数的关系的过程中，引导学生通过观察比对、联系旧知、自主推证，经历问题的分析与解决过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3．情感态度与价值观
培养学生细心观察、认真思考、严谨论证的良好思维品质。
二、教材分析：
本章已学习三角函数的基本关系，两角和与差的余弦、正弦公式。本节课中，这是推导两角和与差的正切公式必备的基础知识。两角和与差的三角函数第一课时中，利用诱导公式将正弦转化为余弦，由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦公式。所应用的转化与化归的数学解题思想为本节课提供分析解决问题的方法。本节课的学习过程既是培养学生联系所学知识分析问题解决问题的能力，也是对所学知识与方法的巩固应用。
本节课的学习，使学生对两角和与差的三角函数公式有完整的认识，初步具备灵活应用所学知识分析与解决三角函数的相关问题的能力，进一步掌握分析相关问题的方法。同时，为二倍角公式的学习奠定基础。
三、教学重难点：
教学重点是两角和与差的正切公式的推导及公式的形式特点；教学难点是灵活应用正切公式及其变形分析解决问题．
四、教学方法与手段
以问题导引学生自主探究归纳新知识．例题教学中体现学生思考分析、动手操作的自主学习方式，教师引导学生小组合作讨论、集体交流讨论，形成结论与方法．
五、教学过程：
【复习提问】
上节课我们学习了两角和与差的余弦与正弦公式，请按照它们之间的逻辑推导顺序分别叙述它们的推导过程及公式.
师生活动：教师提问，引导学生即回顾公式巩固记忆，又对研究公式的方法进行复习归纳.
设计意图：准确掌握上节课所学公式是本节课推导正切公式的重点，上节课公式的推导方法也是研究本节课的重要方法，通过复习回顾，为本节课提供解决问题必要的知识与方法工具.
【问题引入】
上节课我们学习了两角和与差的余弦与正弦公式，了解到，的余弦值、正弦值，可以用与的正余弦值表示．那么，，的正切值是否有类似的公式？
师生活动：教师提出问题，指导学生自主思考、实践操作.
设计意图：渗透类比的思想方法，培养学生发现问题的意识与能力。在问题的导引下，学生能联系已学知识与方法，应用分析探究.
【抽象概括】
问题1：能否将，的正切值用与的正切值表示？
师生活动：组织学生交流讨论，在公式推导过程中突破先“化切为弦”、再“化弦为切”的重难点，逐步得到公式.
两角和的正切公式（）：
.
两角差的正切公式（）：.
设计意图：使学生在公式的形成过程中，把握公式的结构特征以便记忆公式.
问题2：上列公式是否对任意角成立？
师生活动：引导学生联系正切函数的定义分析满足的条件，应保证
都有意义.
，，.
设计意图：使学生能联系所学知识分析解决问题，强化对知识的联系应用能力.
【应用例题】
例1
已知，
，其中，，求的值.
师生活动：教师多媒体展示例题，抽一名学生板书完成，其他学生自主完成例题的分析解答后，共同点评板书，形成正确的解答方法和规范的解答过程．
设计意图：在知识的现学现用中，让学生了解公式的应用，并在应用中熟悉公式形式.
例2
计算：
（1）；
（2）
；
（3）.
师生活动：教师多媒体展示例题，学生思考分析、小组讨论，教师组织学生课堂交流，形成解决问题的方法．
设计意图：题（1）体现非特殊角化特殊角的“变角”的变化技巧，学生多数能自主解决，为学生分析例3提供解决问题的方法；题（2）训练学生熟练辨析和差角的正切公式，是公式的逆用；题（3）既能应用（1）的结论解题，也能利用（2）的方法计算，通过学生的讨论，让学生认识到和差角的正切公式在具体问题中会呈现多种变化形式，需在应用中不断归纳.
例3
若，求的值.
师生活动：教师多媒体展示例题，学生思考分析、小组讨论，教师组织学生课堂交流．多数学生会由已知条件解，再由解，从而解出．教师引导学生分析例1（1），引导发现所求角与已知角的整体关系，变所求角为已知角．
设计意图：引导学生在探究本题的过程中提高辨别能力，透过具体问题的不同形式抽象概括本质特点，提炼解决问题的方法.
【巩固训练】
《课本》P122
练习
【作业布置】
《课本》P123
A组：2（5）（6）
6.7.
六、教学反思
本节课通过引导学生应用所学公式推导两角和与差的正切公式的推导，让学生进一步运用联系的观点、化归的思想方法分析问题，理解数学的逻辑性特征，认识事物之间是相互依存、相互联系的。三个例题的设计让学生逐步掌握三角恒等变换问题的基本变换思想——变角、变函数名称、变式子结构.
公式及例题的研讨过程，培养学生良好的自主学习、探索习惯．教学设计的学生活动不仅是接受、记忆、模仿和联系，而是倡导自主思考、动手实践、合作交流等学习方式．在学习过程中让学生体验数学的发现与创造，逐步培养起数学思维能力与创新能力。
课堂例题与练习没有增加高技巧性的题目，一为准确把握教学要求，控制难度；二为按时完成正常教学课时，不影响教学进度。这也让教师在教学中，重视引导挖掘知识的内涵与外延，在思考分析、操作实践中不断归纳，通过课堂有限的训练，形成自主分析解决问题的思维能力，达到举一反三的教学目的。
一、教学目标：
1．知识与技能
（1）能够推导两角和与差的正切公式，并理解记忆公式．
（2）能够灵活利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．
2．过程与方法
在研究复角正切函数与单角正切函数的关系的过程中，引导学生通过观察比对、联系旧知、自主推证，经历问题的分析与解决过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3．情感态度与价值观
培养学生细心观察、认真思考、严谨论证的良好思维品质。
二、教材分析：
本章已学习三角函数的基本关系，两角和与差的余弦、正弦公式。本节课中，这是推导两角和与差的正切公式必备的基础知识。两角和与差的三角函数第一课时中，利用诱导公式将正弦转化为余弦，由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦公式。所应用的转化与化归的数学解题思想为本节课提供分析解决问题的方法。本节课的学习过程既是培养学生联系所学知识分析问题解决问题的能力，也是对所学知识与方法的巩固应用。
本节课的学习，使学生对两角和与差的三角函数公式有完整的认识，初步具备灵活应用所学知识分析与解决三角函数的相关问题的能力，进一步掌握分析相关问题的方法。同时，为二倍角公式的学习奠定基础。
三、教学重难点：
教学重点是两角和与差的正切公式的推导及公式的形式特点；教学难点是灵活应用正切公式及其变形分析解决问题．
四、教学方法与手段
以问题导引学生自主探究归纳新知识．例题教学中体现学生思考分析、动手操作的自主学习方式，教师引导学生小组合作讨论、集体交流讨论，形成结论与方法．
五、教学过程：
【复习提问】
上节课我们学习了两角和与差的余弦与正弦公式，请按照它们之间的逻辑推导顺序分别叙述它们的推导过程及公式.
师生活动：教师提问，引导学生即回顾公式巩固记忆，又对研究公式的方法进行复习归纳.
设计意图：准确掌握上节课所学公式是本节课推导正切公式的重点，上节课公式的推导方法也是研究本节课的重要方法，通过复习回顾，为本节课提供解决问题必要的知识与方法工具.
【问题引入】
上节课我们学习了两角和与差的余弦与正弦公式，了解到，的余弦值、正弦值，可以用与的正余弦值表示．那么，，的正切值是否有类似的公式？
师生活动：教师提出问题，指导学生自主思考、实践操作.
设计意图：渗透类比的思想方法，培养学生发现问题的意识与能力。在问题的导引下，学生能联系已学知识与方法，应用分析探究.
【抽象概括】
问题1：能否将，的正切值用与的正切值表示？
师生活动：组织学生交流讨论，在公式推导过程中突破先“化切为弦”、再“化弦为切”的重难点，逐步得到公式.
两角和的正切公式（）：
.
两角差的正切公式（）：.
设计意图：使学生在公式的形成过程中，把握公式的结构特征以便记忆公式.
问题2：上列公式是否对任意角成立？
师生活动：引导学生联系正切函数的定义分析满足的条件，应保证
都有意义.
，，.
设计意图：使学生能联系所学知识分析解决问题，强化对知识的联系应用能力.
【应用例题】
例1
已知，
，其中，，求的值.
师生活动：教师多媒体展示例题，抽一名学生板书完成，其他学生自主完成例题的分析解答后，共同点评板书，形成正确的解答方法和规范的解答过程．
设计意图：在知识的现学现用中，让学生了解公式的应用，并在应用中熟悉公式形式.
例2
计算：
（1）；
（2）
；
（3）.
师生活动：教师多媒体展示例题，学生思考分析、小组讨论，教师组织学生课堂交流，形成解决问题的方法．
设计意图：题（1）体现非特殊角化特殊角的“变角”的变化技巧，学生多数能自主解决，为学生分析例3提供解决问题的方法；题（2）训练学生熟练辨析和差角的正切公式，是公式的逆用；题（3）既能应用（1）的结论解题，也能利用（2）的方法计算，通过学生的讨论，让学生认识到和差角的正切公式在具体问题中会呈现多种变化形式，需在应用中不断归纳.
例3
若，求的值.
师生活动：教师多媒体展示例题，学生思考分析、小组讨论，教师组织学生课堂交流．多数学生会由已知条件解，再由解，从而解出．教师引导学生分析例1（1），引导发现所求角与已知角的整体关系，变所求角为已知角．
设计意图：引导学生在探究本题的过程中提高辨别能力，透过具体问题的不同形式抽象概括本质特点，提炼解决问题的方法.
【巩固训练】
《课本》P122
练习
【作业布置】
《课本》P123
A组：2（5）（6）
6.7.
六、教学反思
本节课通过引导学生应用所学公式推导两角和与差的正切公式的推导，让学生进一步运用联系的观点、化归的思想方法分析问题，理解数学的逻辑性特征，认识事物之间是相互依存、相互联系的。三个例题的设计让学生逐步掌握三角恒等变换问题的基本变换思想——变角、变函数名称、变式子结构.
公式及例题的研讨过程，培养学生良好的自主学习、探索习惯．教学设计的学生活动不仅是接受、记忆、模仿和联系，而是倡导自主思考、动手实践、合作交流等学习方式．在学习过程中让学生体验数学的发现与创造，逐步培养起数学思维能力与创新能力。
课堂例题与练习没有增加高技巧性的题目，一为准确把握教学要求，控制难度；二为按时完成正常教学课时，不影响教学进度。这也让教师在教学中，重视引导挖掘知识的内涵与外延，在思考分析、操作实践中不断归纳，通过课堂有限的训练，形成自主分析解决问题的思维能力，达到举一反三的教学目的。