2020-2021学年高一数学北师大版必修4第三章3.2两角和与差的三角函数（一） 教案Word

§2.1两角和与差的三角函数（一）
一、教学目标：
1.知识与技能
（1）能够利用向量方法，推导两角差的余弦公式。
（2）能够结合诱导公式，利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，两角和、差的正弦公式。
（3）能够运用两角和、差的正、余弦公式进行化简、求值、证明。
2.过程与方法
利用向量方法证明两角差的余弦公式，进一步体会向量作为处理问题的工具的作用；利用诱导公式推导得到两角和的余弦公式，两角和、差的正弦公式，进一步熟悉利用三角函数相关公式进行公式的变换。
3.情感、态度与价值观
通过本节课内容，引发学生学习数学的兴趣，建立数学知识间的联系，提高学生的思维能力。
二、教材分析：
两角和、差的正、余弦公式作为三角函数的进一步学习，更加完善了三角函数的相关运算，而推导两角差的余弦公式，既是得到其他公式的基本公式，又是本节课学习的重点内容。而本节课的学习中又同时涉及到向量、诱导公式等其它知识的复习及结合。
三、重点和难点
重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其推导。
难点：利用向量推导公式；运用公式进行求值，化简。
四、教学方法与手段
启发引导，合作交流
五、教学过程：
[复习引入]
上节课我们学习了任意角的三角函数的基本关系式，请同学们回顾下基本关系式都有哪些？（提问学生）
我们学习过这样的特殊角三角函数值，而像这样的我们不熟悉。但可以表示成或，可以表示成这样特殊的两角和、差的形式，那么的正余弦值和的正余弦值，有什么样的关系呢？
因此我们这节课就来学习任意两个角，它们的和与差的三角函数值与的三角函数值之间存在着怎样的关系。
[新课讲授]
向量的主要作用之一是讨论几何度量问题。两个单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦函数值，因此我们借助于这一关系来研究。
（画一个平面直角坐标系及单位圆）
以轴非负半轴为起始边，逆时针分别作（），假设它们都是锐角，它们的终边分别交于单位圆，。请同学们指出是哪个角？（提问学生）
点可分别表示从原点引出的向量,。刚复习了单位向量的数量积就等于它们之间夹角的余弦值，现在回想下数量积有几种表示？（提问学生）由此我们可以得到：
=||||cos()
=coscos+sinsin
所以，这就是两角差的余弦公式，可以记做。
由于规定了都是锐角，大家现在讨论下：借于刚才的证明过程，是任意角的话，可否得到这个公式？（学生分组讨论）
（讨论结束，提问学生）
既然我们已经得到了的余弦公式，那么的余弦公式如何得到？，的正弦公式呢？（思考后，引导回答）
我们可以借助诱导公式来证明
请同学们跟老师共同证明下的正弦公式
同学们自己证明下（提问学生完成）
这样我们就完成了我们这节课所学的全部公式。请同学们仔细观察，这四个公式各自的特点，好有利于我们记住它们。（思考，提问学生）
公式记住了，那我们就来看看如何来用它们吧。
[例题]
例1：求的值
解：
例2：已知，，求
解：由得，
由得，
所以
=
例3：求的最大值和周期
解：
所以当时，也即是当时，有最大值2，周期。
[课后作业]
教材第120页第3、4题；补充的一些简单应用。
六、教学反思
两角和差的正余弦公式，是将三角函数的计算从特殊值得计算扩展到了更为广阔的范围，因此学习这些公式就有着十分必要的意义。本节课的难点在于如何引导学生能够思考到，利用向量的方法证明公式，因此在复习时有意提及向量的特征，引导学生建立向量与三角函数间的关系。
两角和差的正余弦公式是学生在三角函数学习中，书写复杂的公式，因此在识记上就有一定的难度，因此在课堂中引导学生发现这些公式的特征，总结规律，是帮助他们识记公式十分必要的环节。
两角和差的正余弦公式，从应用上考虑其它三角函数条件就有很多，本节课例题中，分别要考虑到：同角三角函数的转换，象限符号，特殊值化成角的三角函数，化简等等。每一个例题在讲解的过程中，不仅要特别指明两角和与差的正余弦公式的用法，也应指明其它三角函数条件的用法，因此每个例题在讲解完后，都应总结并给学生留有一定回顾思考的时间。