八年级下册数学第16章《二次根式》解答题及计算
1.
计算：
2.
化简：
3.
把根号外的因式移到根号内：
4．计算：
(1)＋(2＋)；
(2)÷＋×－.
5．下列各数中，与2－的积不含二次根式的是( )
A．2＋
B．2－
C.－2
D.
6．计算：(＋1)(－1)＝________．
7．计算：(2＋)2－(2－)2＝________．
8．已知长方形的长为(2
＋3
)cm，宽为(2
－3
)cm，则长方形的面积为________
cm2.
9．计算：
(1)(＋2)2；
(2)(2
－)2.
10．已知x＝＋，y＝－，求x3y－xy3的值．
11．若(2
－3
)2＝m－n(m，n为有理数)，则m，n的值分别为( )
A．m＝30，n＝6
B．m＝30，n＝12
C．m＝30，n＝－12
D．m＝12，n＝－12
12．如果5＋，5－的小数部分分别为a，b，那么a＋b的值为( )
A．0
B．－1
C．1
D．±1
13．若a＝5＋2
，b＝2
－5，则a，b的关系为( )
A．互为相反数
B．互为倒数
C．积为－1
D．绝对值相等
14．计算：
(1)÷2
；
(2)；
(3)×××；
(4)(2＋)2017×(2－)2018.
15．先化简，再求值：1－÷，其中a，b满足(a－
)2＋＝0.
16．进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如，，
这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝；(一)
＝＝；(二)
＝＝－1.(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
我们还可以用以下方法化简：
＝＝＝－1.(四)
(1)请用不同的方法化简：
参照(三)式得＝____________________；
参照(四)式得＝____________________．
(2)化简：＋＋＋…＋.
17．计第：
（1）（﹣）2﹣+
（2）．
18．已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．
19．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．
20．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
21．已知a＝，b＝，
（1）求ab，a+b的值；
（2）求的值．
22．计算：﹣+2﹣．
23．计算：﹣
÷（2×）
24．已知x＝y+3，求x2+x+y2﹣2xy﹣y的值．
25．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b+c|﹣．
26．（1）已知a+3与2a﹣15是一个正数的平方根，求a的值；
（2）已知x，y为实数，且y＝﹣+4，求的值．
27．解答下列各题
（1）计算：3﹣（+）+；
（2）当a＝+，b＝﹣时，求代数式a2﹣ab+b2的值．
26．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则将将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．
例如，5±2＝＝＝（）2，所以
请仿照上例解下列问题：
（1）；
（2）．
27．计算：﹣3+2．
28．计算：4×2÷．
29．已知：a＝+1，求代数式a2﹣2a﹣1的值．
30．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，且|a|＝|b|，化简|a|+|b|+|c|﹣﹣2
、
31．已知＝b+1，（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．
32．求+的值
解：；设x＝+，
两边平方得：x2＝（）2+（）2+2，
即x2＝3++3﹣+4，x2＝10
∴x＝±．
∵+＞0，
∴+＝
请利用上述方法，求+的值．
33．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．
34．如图：面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少？（精确到0.1cm，≈1.732）
35．阅读材料：
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：
（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果是a＝
，b＝
；
（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝
+
；
（3）化简：．
36．观察下列各式：
＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；
＝1+﹣＝1，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
①猜想：＝
＝
；
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
；
③应用：计算．
37．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1＝1；
OA2＝＝；
S1＝×1×1＝；
OA3＝＝； S2＝××1＝；
OA4＝＝； S3＝××1＝；
（1）推算出OA10＝
．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第
个三角形．
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出S12+S22+S23+…+S2100的值．八年级下册数学第16章《二次根式》计算答案
1.
；
2.
；
3.
4．解：(1)原式＝2
＋2
＋5
＝4
＋5.
(2)原式＝＋－2
＝4＋－2
＝4－.
5．A
6．1 [解析]
利用平方差公式计算：(＋1)(－1)＝()2－1＝1.
7．8
[解析]
方法一：(2＋)2－(2－)2＝＝4×2
＝8
.
方法二：(2＋)2－(2－)2＝4＋4
＋3－(4－4
＋3)＝4
＋4
＝8
.
8．2 [解析]
(2
＋3
)(2
－3
)＝(2
)2－(3
)2＝20－18＝2(cm2)．
9．解：(1)原式＝5＋4
＋4＝9＋4
.
(2)原式＝12－4
＋2＝14－4
.
10．解：x3y－xy3＝xy(x2－y2)＝xy(x＋y)(x－y)．把x＝＋，y＝－代入上式，得原式＝(＋)(－)[(＋)＋(－)]×[(＋)－(－)]＝2
×2
＝4
.
11B [解析]
因为(2
－3
)2＝(2
)2－2×2
×3
＋(3
)2＝30－12
，所以m＝30，n＝12.
12．C [解析]
因为5＋，5－的小数部分分别为－2，3－，故a＋b＝(－2)＋(3－)＝1.
13． [解析]
因为ab＝(5＋2
)(2
－5)＝－1，所以a，b的积为－1.
14．
解：(1)原式＝(6
－
＋4
)÷2
＝
÷2
＝.
(2)原式＝＝×＋×
－
×－
×
＝2
＋2－1－
＝1＋
.
(3)原式＝[(1＋)×(1－)]2×[(1＋)×(1－)]2＝(1－2)2×(1－3)2＝4.
(4)(2＋)2017×(2－)2018＝[(2＋)(2－)]2017×(2－)＝2－.
15．]解：
1－÷
＝1－·
＝1－
＝
＝－.
∵a，b满足(a－
)2＋＝0，
∴a－
＝0，b＋1＝0，
∴a＝
，b＝－1.
当a＝
，b＝－1时，
原式＝－＝
.
16解：(1)＝－
＝＝－
(2)原式＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝.
17．解：（1）原式＝6﹣5+3＝4；
（2）原式＝3﹣4×+2+
＝3﹣2+2+
＝+2+．
18．解：∵m﹣2019≥0，
∴m≥2019，
∴2018﹣m≤0，
∴原方程可化为：m﹣2018+＝m，
∴＝2018，
∴m﹣2019＝20182，
∴m﹣20182＝2019．
19．解：当x＝＝＝，
y＝＝＝时，
原式＝xy+3x+3y+9
＝xy+3（x+y）+9
＝×+3×（+）+9
＝+3×+9
＝+3+9
＝+3．
20．解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．
21．解：（1）∵a＝＝＝+，b＝＝＝﹣，
∴ab＝（+）×（﹣）＝1，
a+b＝++﹣＝2；
（2）＝+
＝（﹣）2+（+）2
＝5﹣2+5+2
＝10．
22．计算：﹣+2﹣．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式..
【解答】解：原式＝﹣+2×4﹣
＝﹣+8﹣
＝7+
【点评】本题考查了二次根式的加减，解决本题的关键是把二次根式化为最简二次根式．
23．计算：﹣
÷（2×）
【分析】直接化简二次根式再利用二次根式乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣
÷（2×）
＝﹣×3÷（4×）
＝﹣4÷8
＝﹣
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
24．已知x＝y+3，求x2+x+y2﹣2xy﹣y的值．
【分析】先利用完全平方公式变形得到原式＝（x﹣y）2+（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：原式＝x2﹣2xy+y2+（x﹣y）
＝（x﹣y）2+（x﹣y），
∵x＝y+3，
∴x﹣y＝3，
∴原式＝（3）2+3＝27+3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
25．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b+c|﹣．
【分析】根据图象可知a、b、c的符号，从而可以将绝对值符号去掉，然后化简即可解答此题．
【解答】解：∵c＜a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，b+c＞0，b﹣c＞0，
﹣|b+c|﹣．
＝|a﹣b|﹣|b+c|﹣|b﹣c|
＝b﹣a+b+c﹣b+c
＝b﹣a+2c．
【点评】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，解题的关键是能根据数轴判断出a、b、c的符号，去绝对值符号．
26．（1）已知a+3与2a﹣15是一个正数的平方根，求a的值；
（2）已知x，y为实数，且y＝﹣+4，求的值．
【分析】（1）直接利用平方根的定义分析得出答案；
（2）利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：（1）根据平方根的性质得，
a+3+2a﹣15＝0，
解得：a＝4，
a+3＝2a﹣15，
解得：a＝18，
答：a的值为4或18；
（2）满足二次根式与有意义，则
，
解得：x＝9，
∴y＝4，
∴＝+＝5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．
27．解答下列各题
（1）计算：3﹣（+）+；
（2）当a＝+，b＝﹣时，求代数式a2﹣ab+b2的值．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）将a、b的值代入原式，根据完全平方公式和平方差公式计算可得．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2﹣+3＝；
（2）当a＝+，b＝﹣时，
原式＝（+）2﹣（+）（﹣）+（﹣）2
＝5+2﹣（3﹣2）+5﹣2
＝9．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与运算法则．
28．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则将将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．
例如，5±2＝＝＝（）2，所以
请仿照上例解下列问题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）把3分成2+1计算即可；
（2）把4分成3+1，根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：（1）＝＝﹣1；
（2）＝＝+1．
【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，正确理解阅读材料所示内容、掌握二次根式的性质是解题的关键．
29．计算：﹣3+2．
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣3×3+2×2
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．计算：4×2÷．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝8÷
＝8×3
＝24．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
30．已知：a＝+1，求代数式a2﹣2a﹣1的值．
【分析】利用完全平方公式得到原式＝（a﹣1）2﹣2，再有已知条件得到a﹣1＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：原式＝（a﹣1）2﹣2，
因为a＝+1，
所以a﹣1＝，
所以原式＝（）2﹣2＝5﹣2＝3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
31．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，且|a|＝|b|，化简|a|+|b|+|c|﹣﹣2
【分析】根据数轴上点的位置判断出实数a，b，c的符号，然后利用二次根式与绝对值的性质求解即可求得答案．
【解答】解：由题意得：c＜a＜0＜b，
又∵|a|＝|b|，
∴c﹣a＜0，
∴|a|+|b|+|c|﹣﹣2＝﹣a+b﹣c﹣a+c+2c＝﹣2a+b+2c．
【点评】此题考查了实数与数轴，二次根式以及绝对值的性质，合并同类项，熟练掌握各自的意义是解本题的关键．
32．已知＝b+1
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数解答；
（2）结合（1）求得a、b的值，然后开平方根即可．
【解答】解：（1）∵，有意义，
∴，
解得：a＝5；
（2）由（1）知：b+1＝0，
解得：b＝﹣1，
则a2﹣b2＝52﹣（﹣1）2＝24，则平方根是：．
【点评】考查了二次根式有意义的条件，平方根．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
33．求+的值
解：；设x＝+，
两边平方得：x2＝（）2+（）2+2，
即x2＝3++3﹣+4，x2＝10
∴x＝±．
∵+＞0，
∴+＝
请利用上述方法，求+的值．
【分析】根据题意给出的解法即可求出答案．
【解答】解：设x＝+，
两边平方得：x2＝（）2+（）2+2，
即x2＝4++4﹣+6，
x2＝14
∴x＝±．
∵+＞0，
∴x＝
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
34．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．
【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．
【解答】解：当x＝＝＝，
y＝＝＝时，
原式＝xy+3x+3y+9
＝xy+3（x+y）+9
＝×+3×（+）+9
＝+3×+9
＝+3+9
＝+3．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．
．解：正方形的边长＝＝4cm，
剪掉小正方形的边长＝cm，
所以，长方体盒子的底面边长＝4﹣2＝2≈2×1.732≈3.5cm，
体积＝（2）2?＝12≈12×1.732≈20.8cm3．
答：这个长方体盒子的底面边长是3.5cm，体积是20.8cm3．
35．解：（1）由题意得：a+b＝（m+n）2，
∴a+b＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
故答案为：m2+3n2；2mn；
（2）取m＝2，n＝1，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4，
7+4＝（2+）2；
故答案为：，2，1；
（3）＝＝+1．
36．解：①猜想：＝1+﹣＝1；
故答案为：1+﹣，1；
②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
＝1+﹣＝；
③应用：
＝
＝
＝1+﹣
＝1．
37．解：（1））∵OAn2＝n，
∴OA10＝．
故答案为：；
（2）若一个三角形的面积是，
∵Sn＝＝，
∴＝2＝，
∴它是第20个三角形．
故答案为：20；
（3）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝；
（4）S12+S22+S23+…+S2100
＝++++…+
＝
＝
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