华东师大版九年级数学下册第26章《二次函数》单元测试题（word版，有答案）

第26章
二次函数
单元测试题
（满分100分；时间：90分钟）
一、
选择题
（本题共计
7
小题
，每题
3
分
，共计21分
，
）
?1.
下列函数中是二次函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知二次函数的图象如右图，则下列结论中，正确的结论有（
）
①?
②?
?③???④?
?⑤．
A.个
B.个
C.个
D.个
?
3.
若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知二次函数有最小值，则，的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.不能确定
?
5.
二次函数＝的图象的顶点在第一象限，且过点和．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
设函数＝，，是实数，，当＝时，＝；当＝时，＝，（
）
A.若＝，则
B.若＝，则
C.若＝，则
D.若＝，则
?7.
已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④．则其中结论正确的是（
）
A.①③
B.③④
C.②③
D.①④
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?
8.
抛物线上三点、，，则、、的大小关系是________．
?
9.
将函数图象向________平移________个单位可得函数的图象．
?
10.
抛物线向右平移个单位的抛物线的函数关系式是________．
?
11.
已知二次函数?，在??内，函数的最小值为________.
?
12.
不等式对于一切均成立，则实数的取值范围是________．
?
13.
已知抛物线经过点，则________，这条抛物线的顶点坐标是________．
?
14.
用配方法将抛物线化成的形式是________．
?15.
如图，小明的父亲在相距米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高米的小明距较近的那棵树米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．
?16.
在二次函数的图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④，说法正确的是________（填序号）．
?
17.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接、，则面积的最大值是________．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，共计60分
，
）
?
18.
已知抛物线．
（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）若抛物线与轴的两个交点为、，与轴的一个交点为，画草图，求的面积．
?
19.
利用二次函数的图象和性质，求方程在和之间的根的近似值．（结果精确到）
?
20.
已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求出、的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
?
21.
如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是
．
?
22.
抛物线＝的顶点为，它与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）求的面积；
（4）当点在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
?
23.
已知如图，在平面直角坐标系中，点，，分别为坐标轴上的三个点，且，，.
求经过，，三点的抛物线的解析式；
在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
若点为该抛物线上一动点，在的条件下，请求出使最大时点的坐标，并直接写出的最大值．
参考答案
一、
选择题
（本题共计
7
小题
，每题
3
分
，共计21分
）
1.
【答案】
B
【考点】
二次函数的定义
【解答】
解：、，其中，故本选项错误；
、，故本选项正确；
、，整理后不含二次项，故本选项错误；
、，不是整式，故本选项错误；
故选．
2.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解答】
解：根据图象，当时，，当时，，可知①②正确；
根据图象与轴的交点位置可知，根据对称轴，且抛物线开口向下，，
可知，，故③⑤正确；
根据对称轴得，可知④错误．
正确的是①②③⑤个，故选．
3.
【答案】
D
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解答】
解：原边长为的正方形面积为：，
边长增加后边长变为：，
则面积为：，
∴
．
故选：．
4.
【答案】
A
【考点】
二次函数的最值
【解答】
解：∵
二次函数有最小值，
∴
抛物线开口方向向上，即；
又最小值为，即，∴
，
∴
．
故选．
5.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与系数的关系
抛物线与x轴的交点
【解答】
∵
二次函数＝过点和，
∴
＝，＝．
①∵
抛物线的对称轴在轴右侧，∴
，
∴
与异号，∴
，正确；
②∵
抛物线与轴有两个不同的交点，∴
，
∴
，正确；
③∵
抛物线开口向下，∴
，
∵
，∴
．
∵
＝，＝，∴
＝，
∵
，∴
，，
∴
，正确；
④由图可知，当时，，正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
6.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
待定系数法求二次函数解析式
二次函数图象上点的坐标特征
【解答】
当＝时，＝；当＝时，＝；代入函数式得：，
∴
＝，
整理得：＝，
若＝，则＝，故错误；
若＝，则＝，故错误；
若＝，则＝-，故正确；
若＝，则＝-，故错误；
7.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解答】
解：由抛物线的开口向下，得到，
∵
，∴
，
由抛物线与轴交于正半轴，得到，
∴
，选项①错误；
又抛物线与轴有个交点，∴
，选项②错误；
∵
时对应的函数值为负数，
∴
，选项③正确；
∵
对称轴为直线，∴
，即，选项④正确，
则其中正确的选项有③④．
故选
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
8.
【答案】
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解答】
解：∵
二次函数的解析式为，
∴
抛物线的对称轴为直线，
∵
、，，
∴
点离直线最远，离真相最近，
而抛物线开口向上，
∴
；
故答案为．
9.
【答案】
左,
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解答】
解：由“左加右减”的原则将函数的图象向左平移个单位，所得二次函数的解析式为：；
故答案为：左，．
10.
【答案】
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解答】
解：∵
抛物线顶点坐标为，
向右平移个单位后，顶点坐标为，
由顶点式，得
平移后抛物线解析式为．
故本题答案为：．
11.
【答案】
【考点】
二次函数的最值
【解答】
解：的对称轴为，且，
故时，取最小值，最小值为,
故答案为：.
12.
【答案】
或．
【考点】
二次函数与不等式（组）
【解答】
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
当＝时，，画出函数＝的图象，找出轴上方所对应的的取值范围得到或；
当＝时，，画出函数＝的图象，找出轴上方所对应的的取值范围得到或；
当，
①当，不等式变形为，解得，则；
②当，不等式变形为，则，解得，则；
∴
或；
综上所述，实数的取值范围为或．
13.
【答案】
,
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
【解答】
解：∵
抛物线经过点，
∴
，解得，
∴
此抛物线的解析式为，
配方得，
∴
这条抛物线的顶点坐标是．
14.
【答案】
【考点】
二次函数的三种形式
【解答】
解：．
故化成的形式是．
15.
【答案】
【考点】
二次函数的应用
【解答】
解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为轴，左边树为轴建立平面直角坐标系，
由题意可得，，，
设函数解析式为，
把，，三点分别代入得出，
同时可得，，
解之得，，．
∴
．
∵
，
∴
当时，米．
故答案为：．
16.
【答案】
②③④
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解答】
解：由图可知，抛物线与轴有个交点，所以，故①错误；
对称轴在轴右侧，则，故②正确；
抛物线开口向上，则，
而对称轴在轴右侧，则、异号，所以，
其与轴的交点位于轴的负半轴，则，
所以，故③正确；
∵
，，，∴
，故④正确；
故答案为：②③④．
17.
【答案】
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
抛物线与x轴的交点
【解答】
当时，，则，
当时，，解得，，则，，
∴
，
设，
点在上方时，面积有最大值，
∵
，
∴
当时，面积的最大值为．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，每题
10
分
，共计60分
）
18.
【答案】
解：（1）∵
，
∴
该抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
（2）按点在点的左侧画出草图，如图所示．
∵
，
∴
点，点，
当时，，
∴
点，
∴
．
【考点】
抛物线与x轴的交点
【解答】
解：（1）∵
，
∴
该抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
（2）按点在点的左侧画出草图，如图所示．
∵
，
∴
点，点，
当时，，
∴
点，
∴
．
19.
【答案】
解：方程根是函数与轴交点的横坐标．
如图所示：二次函数的图象，
由图象可知方程有两个根，一个在和之间，另一个在和之间．
当时，；当时，；
因此，是方程的一个近似根，
故方程在和之间的根的近似值为．
【考点】
图象法求一元二次方程的近似根
【解答】
解：方程根是函数与轴交点的横坐标．
如图所示：二次函数的图象，
由图象可知方程有两个根，一个在和之间，另一个在和之间．
当时，；当时，；
因此，是方程的一个近似根，
故方程在和之间的根的近似值为．
20.
【答案】
解：（1）由二次函数的图象经过和两点，
得，
解这个方程组，得；
∴
抛物线的解析式为．
（2）当或时，．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数与不等式（组）
【解答】
解：（1）由二次函数的图象经过和两点，
得，
解这个方程组，得；
∴
抛物线的解析式为．
（2）当或时，．
21.
【答案】
当＝时，，
解之得＝，＝（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是米．
【考点】
二次函数的应用
【解答】
当＝时，，
解之得＝，＝（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是米．
22.
【答案】
函数的对称轴为：＝，
当＝时，＝＝，
故点；
＝的顶点为，它与轴交于，两点，与轴交于点，
则点、、的坐标分别为：、、，
将点、的坐标代入一次函数表达式：＝得：，解得：，
故直线的表达式为：＝；
过点作轴交于点，则点，
的面积＝；
过点作轴的平行线交于点，
设点，点，
则，
∵
，
∴
有最大值，最大值为：，
此时点．
【考点】
二次函数综合题
【解答】
函数的对称轴为：＝，
当＝时，＝＝，
故点；
＝的顶点为，它与轴交于，两点，与轴交于点，
则点、、的坐标分别为：、、，
将点、的坐标代入一次函数表达式：＝得：，解得：，
故直线的表达式为：＝；
过点作轴交于点，则点，
的面积＝；
过点作轴的平行线交于点，
设点，点，
则，
∵
，
∴
有最大值，最大值为：，
此时点．
23.
【答案】
解：设抛物线的解析式为.
由题意可知，，，，
∴
解得：，，，
∴
经过，，三点的抛物线的解析式为.
在平面直角坐标系中存在一点，
使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，理由如下：
如图，
∵
，，，
∴
.
当平行且等于时，四边形为菱形，
∴
，且点到轴的距离等于，
∴
点的坐标为.
当点在第二、三象限时，以点，，，为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点的坐标为时，以点，，，为顶点的四边形为菱形.
设直线的解析式为.
∵
，，
∴
解得：
∴
直线的解析式为.
当点与点，不在同一直线上时，
根据三角形的三边关系可得：，
当点与点，在同一直线上时，，
∴
当点与点，在同一直线上时，的值最大，
即点为直线与抛物线的交点，
解方程组得或
∴
当点的坐标为或时，的值最大，
此时的最大值为．
【考点】
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
【解答】
解：设抛物线的解析式为.
由题意可知，，，，
∴
解得：，，，
∴
经过，，三点的抛物线的解析式为.
在平面直角坐标系中存在一点，
使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，理由如下：
如图，
∵
，，，
∴
.
当平行且等于时，四边形为菱形，
∴
，且点到轴的距离等于，
∴
点的坐标为.
当点在第二、三象限时，以点，，，为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
则当点的坐标为时，以点，，，为顶点的四边形为菱形.
设直线的解析式为.
∵
，，
∴
解得：
∴
直线的解析式为.
当点与点，不在同一直线上时，
根据三角形的三边关系可得：，
当点与点，在同一直线上时，，
∴
当点与点，在同一直线上时，的值最大，
即点为直线与抛物线的交点，
解方程组得或
∴
当点的坐标为或时，的值最大，
此时的最大值为．