安徽省合肥第六高级中学校2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

学校_______ 班级______ 姓名________ 考生号_____ 考场号_____ 座位号________
绝密★启用前
合肥市第六中学2020—2021学年第一学期高一期末考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知命题false，则它的否定形式为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．设false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若false，则false的值是（ ）
A．false B．5 C．false D．false
5．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为false的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形false中，false．根据这些信息，可求得false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．如果函数false满足对任意false，都有false成立，那么false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知函数false（false为常数），那么false的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数false的图象过点false，若要得到一个奇函数的图象，则需将函数false的图象（ ）
A．向左平移false个单位长度 B．向右平移false个单位长度
C．向左平移false个单位长度 D．向右平移false个单位长度
9．关于false的不等式false的解集为false，则false的最小值是（ ）
A．4 B．false C．2 D．false
10．已知false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．设函数false的定义域为false，若存在常数false，使false对一切实数false均成立，则称false为“倍约束函数”．现给出下列函数：①false；②false；③false；④false是定义在false上的奇函数，且对一切false均有false．其中是“倍约束函数”的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．已知定义在false上的奇函数false满足false，当false时，false，若函数false在区间false上有2021个零点，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知半径为false的扇形false的面积为1，周长为4，则false________．
14．已知函数false的值域为false，则实数false的取值范围是_______．
15．若函数false满足false，且false，则false________．
16．已知函数false的最小正周期为false，若false，不等式false恒成立，则实数false的取值范围是_______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知全集false，集合false．
（Ⅰ）当false时，求false；
（Ⅱ）命题false，命题false，若false是false的必要条件，求实数false的取值范围．
18．（12分）
已知false．
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）求false的值．
19．（12分）
已知函数false是定义在实数集false上的奇函数，且当false时，false．
（Ⅰ）求false的解析式；
（Ⅱ）若false在false上恒成立，求false的取值范围．
20．（12分）
已知函数false．
（Ⅰ）当false时，写出false的单调递减区间（不必证明），并求false的值域；
（Ⅱ）设函数false，若对任意false，总有false，使得false，求实数false的取值范围．
21．（12分）
已知函数false．
（Ⅰ）当false时，求false在区间false上的值域．
（Ⅱ）当false时，是否存在这样的实数false，使方程false在区间false内有且只有一个根？若存在，求出false的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知函数false的图象关于直线false对称，且两相邻对称中心之间的距离为false．
（Ⅰ）求函数false的单调递增区间；
（Ⅱ）若false时，函数false有两个不同的零点false，求false的取值范围及false的值．
2020—2021学年第一学期高一期末考试
数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案 B
解析 因为false，故false．故选B．
2．答案 D
解析 特称命题的否定，需要修改量词并且否定结论．因为命题false，所以它的否定形式false为false．故选D．
3．答案 A
解析 因为false，所以false，所以false，当false时，false成立，而false不成立，所以“false”是“false”的充分而不必要条件，故选A．
4．答案 B
解析 由false，可得false，即false，所以false．故选B．
5．答案 C
解析 由图可知false，且false，所以false，故选C．
6．答案 C
解析 因为对任意false都有false成立，所以false单调递增，所以false解得false，故选C．
7．答案 B
解析 当false时，false，图象如A，所以A可能；因为B中false的图象过原点，所以false，false是减函数，所以B不可能；当false时，false，图象如C，所以C可能；当false时，false是偶函数，图象如D，所以D可能．故选B．
8．答案 C
解析 函数false，由已知false，可知false，解得false．又因为false，所以false，所以false．令false，得false，所以函数false的图象关于点false中心对称，要得到一个奇函数的图象，可将false的图象向左平移false个单位长度．故选C．
9．答案 B
解析 因为false，所以false（当且仅当false时取“=”）．故选B．
10．答案 D
解析 显然false，故false，则false，false，因为false，则false．故选D．
11．答案 C
解析 由题意，若存在常数false，使false对一切实数false均成立，则称false为“倍约束函数”．
对于①，函数false，存在实数false，使得false，所以是“倍约束函数”；
对于②，函数false，因为false，所以不存在满足条件的实数false，使得false，所以不是“倍约束函数”；
对于③，函数false，其中false，所以不是“倍约束函数”；
对于④，函数false是定义在false上的奇函数，且对一切false均有false，所以必有false，所以是“倍约束函数”．故选C．
12．答案 B
解析 由题意，函数false为定义在false上的奇函数，所以false，且false．又false，可得false，可得函数false的图像关于点false对称．又false，所以false是以2为周期的周期函数．函数false的周期为2，且关于点false对称．当false时，false，由图象可知，函数false和false的图象在false上存在false四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数false在区间false上有2021个零点，其中false都是函数的零点，可得实数false满足false，即false．故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 1
解析 设圆心角false．依题意false解得false．（或设弧长，利用弧长和半径列方程解）
14．答案 false
解析 false的值域为false，令false，则false的值域必须包含区间false．因为false，所以当false时，false．当false时，false，符合题意，当false时，false解得false．综上，实数false的取值范围是false．
15．答案 9
解析 因为false，所以令false，可得false，解得false，令false，可得false，解得false，因为false，所以false，则false，故答案为9．
16．答案 false
解析 函数false的最小正周期为false，∴函数false．若false，则false．令false，则false恒成立．false①，且false②，解①可得false，解②可得false．综合可得，实数false的取值范围是false，故答案为false．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．解析 （Ⅰ）false， （2分）
当false时，false， （4分）
false或false． （5分）
（Ⅱ）∵命题false，命题false是false的必要条件，false． （6分）
false，
false． （8分）
又由（Ⅰ）可知false，
false解得false或false，
∴实数false的取值范围为false． （10分）
18．解析 （Ⅰ）false，
false． （2分）
false． （4分）
false． （6分）
（Ⅱ）由false，
解得false． （8分）
false．
false， （10分）
false． （12分）
点睛 （Ⅰ）先根据false的值和二者的平方关系联立求得false的值，再由false即可求出所求值；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）求false的值，最后利用商数关系求得false的值，代入即可得解．
本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．解题的过程中要特别注意根据角的范围确定三角函数值的正负号，属于基本知识的考查．
19．分析 （Ⅰ）由奇函数定义求得．
（Ⅱ）参变分离成false转化成求false在false上的最小值，利用换元法转化成基不等式求最值问题．
解析 （Ⅰ）∵当false时，false．
又false． （2分）
当false时，false． （3分）
false （5分）
（Ⅱ）当false时，false，即false，
也即false． （8分）
令false，则false恒成立．
false，不等式可化为false，
又false，当且仅当false时取等号，
false． （12分）
点睛 （Ⅰ）利用奇函数定义：false来解答．
（Ⅱ）求解恒成立问题一般是参变分离，把问题转化成函数的最值问题．利用换元思想把函数最值问题转化基本不等式模型的函数最值问题处理．
20．解析 （Ⅰ）当false时，false，
故false的单调递减区间是false． （2分）
因为当false时，false，当且仅当false时取“=”，
当false时，false，当且仅当false时取“=”， （4分）
所以false的值域是false． （5分）
（Ⅱ）false，
因为false，所以false，
那么false的值域为false． （7分）
当false时，总有false，使得false，
转化为函数false的值域是false的值域的子集，
即当false时，false恒成立． （8分）
当false时，false在false上单调递增，可得false，
所以false；
当false时，false，满足题意；
当false时，只要false且false，解得false． （11分）
综上可得，实数false的取值范围为false． （l2分）
21．解析 （Ⅰ）当false时，false，对称轴false， （2分）
因为false，
所以false在区间false上的值域为false． （4分）
（Ⅱ）当false时，函数false，在区间false上单调递减， （5分）
当false时，false，函数false在区间false上单调递减， （6分）
当false时，false，函数false在区间false上单调递减， （7分）
所以当false时false在区间false上单调递减， （8分）
令false单调递增． （9分）
原命题等价于两个函数false与false的图象在区间false内有唯一交点，当且仅当false即false时原命题成立，解得false．
又false，所以false． （11分）
（用函数false单调递减解答比照给分）
综上，存在实数false，使方程false在区间false内有且只有一个根． （12分）
22．分析 （Ⅰ）根据相邻对称中心的距离求出周期，得false的值，根据对称轴求出false，得出解析式，即可得到函数的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数零点问题转化为两个函数图象有交点，求值域的问题．
解析 （Ⅰ）false． （2分）
因为函数两相邻对称中心之间的距离为false，所以周期为false，所以false． （3分）
因为函数false的图象关于直线false对称，所以false，
解得false，
又false，
所以false． （4分）
由false，
得false，
所以函数false的单调递增区间为false． （5分）
（Ⅱ）false，因为false，所以false，
所以false，所以false． （7分）
当false有两个不等实根时，
结合函数的图象可得false或false，即false．
（9分）
由false，得false，由false，得false， （10分）
即函数false在false内的对称轴为false和false，
两个根分别关于false和false对称， （11分）
即false或false． （12分）
点睛 此题考查根据函数的周期性和对称性求参数的值，进而得到函数解析式，利用正弦函数的单调性求单调增区间，根据方程有解求参数的取值范围，转化为函数值域的问题．