湘教版数学八年级下册 1.4角平分线的性质课件（15张）

画∠AOB,将∠AOB对折,折痕OC ,在OC上任取一点P,过P向角的两边作垂线段PD、PE,并度量所画PD、PE是否等长？
画一画
命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
角平分线的性质定理：
定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
应用定理的书写格式：
OP 是 的平分线
\
PD = PE
（在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等。）
∵
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
练习：
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，
PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。
角平分线的判定
A
O
B
P
D
E
C
定理：
用符号语言表示为：
∵PD=PE
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴ ∠1= ∠2 .
由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
练一练
填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__________
(_ ______________________________________________)
A
C
D
E
B
1
2
∠1= ∠2
DC=DE
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ .
求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .
B
C
A
C′
课堂小结
1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
D
E
F
A
B
C
P
M
N
求证：三角形的三条角平分线交于一点。
利用结论，解决问题
练一练
1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处 B. 两处
C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
作业
练习册P63P64