2020—2021学年人教A版高二数学《双曲线的标准方程教学》课件（27张PPT）

生活中有双曲线，生活中用双曲线


2.6.1双曲线的标准方程
1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程（逻辑推理、数学抽象）
2.掌握双曲线的标准方程及其求法。（数学运算）
3.与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分。（逻辑推理）
对标导学
核心素养

1.双曲线的定义
思考1：结合课本双曲线拉链实验，归纳双曲线的定义包含几个要素？
（1）已知 F1,F2 是平面内两个定点，a是一个正常数，且2a< |F1,F2| ,则平面上满足___________________的动点M的轨迹称为双曲线，其中，两个定点________称为双曲线的焦点，两个焦点的距离_______称为双曲线的焦距。
（2）在双曲线的定义中要注意条件“0<2a< |F1,F2| ”；
2.双曲线的标准方程及其推导
（1）推导双曲线的标准方程，要分几步？采用什么方法化简方程？
（2）当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程是_____。
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程是_____。
（3）标准方程中的两个参数a,b和半焦距c的关系是_____。
（4）怎么判断双曲线的焦点在哪个轴上？

自学静悟

1.双曲线的定义
思考1：结合课本双曲线拉链实验，归纳双曲线的定义包含几个要素？
（1）已知 F1,F2 是平面内两个定点，a是一个正常数，且2a< |F1,F2| ,则平面上满足___________________的动点M的轨迹称为双曲线，其中，两个定点________称为双曲线的焦点，两个焦点的距离_______称为双曲线的焦距。
（2）在双曲线的定义中要注意条件“0<2a< |F1,F2| ”；
2.双曲线的标准方程及其推导
（1）推导双曲线的标准方程，要分几步？采用什么方法化简方程？
（2）当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程是_____。
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程是_____。
（3）标准方程中的两个参数a,b和半焦距c的关系是_____。
（4）怎么判断双曲线的焦点在哪个轴上？

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1.双曲线的定义
椭圆的定义: 平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫椭圆.
思考2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离
之差”，那么动点的轨迹会是怎样的曲线？
椭圆的标准方程:
a2=b2+c2
数学实验
实验准备：一个拉链，两个图钉，一个木板。
如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点 M 处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.
把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?
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用拉链绘制双曲线动画演示
请你归纳出双曲线的定义,它应该包含几个要素?
请你归纳出双曲线的定义,它应该包含几个要素?
(1)由于图钉固定，拉链长度固定，这里截取
由此可知
(2)点M到两个定点的距离之差的绝对值要小于两个定点之间的距离。
即
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
1.双曲线的定义
双曲线定义的文字表述：
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数 (2a )（2a<|F1F2 |）的点的轨迹叫双曲线。
定点F1、F2叫做双曲线的焦点
两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距(2c)
双曲线定义的符号表述：
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探讨：当2a>2c时，M的轨迹？
当2a=2c时，M的轨迹？
图像特征？？？
1、建系设点
2、列式

3、代数方程
4、化简方程
2.双曲线标准方程的推导
①
（-c,0）
（c,0）
(x,y)
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②
①
分子有理化去掉根号
它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标是
其中
2.双曲线的标准方程的推导
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刚才我们得到了焦点在x轴上的双曲线方程，
如何推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程呢？
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焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形






标准方程


(a>0,b>0)


(a>0,b>0)
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系
b2=c2-a2
双曲线的标准方程两种形式
思考3：类比椭圆，如何根据双曲线的标准方程判断其焦
点在哪个坐标轴上？
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Y
对双曲线的标准方程的再认识
(1)双曲线标准方程的形式：左边是两个分式的平方差，右边是1。
(2)双曲线的标准方程中三个参数a、b、c满足c2=a2+b2。
(3)由双曲线的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反之求出a.b.c 的值可写出双曲线的标准方程。
(4)双曲线的标准方程中，看x2，y2项的系数，哪个是正的，焦点就在哪个轴上。
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
口诀：焦点跟着正项走！！！
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则a＝ ，b＝ ；
，则a＝ ，b＝ ；
4
3
3
2
快速反应
焦点坐标为：___________
焦距等于__10_;
焦点坐标为：___________
焦距等于______
根据双曲线的标准方程求参数a,b,c的值。
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例题1：求适合下列条件的双曲线的标准方程。
双曲线的一个焦点坐标是(0,-6)，且双曲线经过点A(-5,6)。
3.应用举例
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为
定义法
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(a>0,b>0)
因为点A在双曲线上，所以点A与两交点的距离的差的绝对值为
变式训练1 ：求适合下列条件的双曲线的标准方程。
两个焦点的坐标分别是(-5,0) ,(5,0),且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8。
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
(a>0,b>0)
待定系数法
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例题2：求下列方程表示的双曲线的焦点坐标
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变式训练2：求下列方程表示的双曲线的焦点坐标
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1.根据下列条件，求双曲线的标准方程。
（1） ， 焦点在y轴上；
（2） ，经过点（-4，0），焦点在x轴上；
2.已知方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取
值范围是多少？
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这节课你收获了什么？
1.双曲线的定义，双曲线图像有两支，且是不封闭的
2.双曲线标准方程的推导中，使用了分子有理化
3.双曲线中a,b,c三者之间的关系
4.根据双曲线的标准方程判断焦点在哪个坐标轴上
点评精讲
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)
完成《同步练习册》与《分层训练》相应章节！！
课后练习
？
思考：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?