1.2.2 直角三角形全等的判定（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.2
直角三角形
第2课时
直角三角形2
【知识清单】
1、判定两个直角三角形全等的方法有HL、SSS、SAS、ASA、AAS
；
2、证明两个直角三角形全等的思路：首先考虑利用HL定理，再考虑利用一般的三角形全等的证明方法.
【经典例题】
例题1、已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E在AB上．求证：CE=DE．
【考点】直角三角形全等的判定方法．
【分析】先利用HL判定Rt△ABC≌Rt△ABD，从而得到对应角相等，对应边相等，再利用SAS判定△BEC≌△BED，从而得到CE=DE．
【解答】证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
AC=AD，AB=AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)．
∴∠ABC=∠ABD．
BC=BD．
在△BEC和△BED中，
BC=BD，∠ABC=∠ABD，BE=BE，
∴△BEC≌△BED(SAS)，
∴CE=DE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等时，首先考虑HL定理，再考虑一般方法有：SSS、SAS、AAS．
例题2、(1)如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．
(2)若直线AE绕点A旋转到图2的位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．
【考点】?直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
【分析】根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；
根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE-CE．
【解答】(1)∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
(2)BD=DE-CE；
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵DE=BD+CE，
∴BD=DE-CE．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，
ASA，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
【夯实基础】
1、已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和?△DEF全等
的是(??
?)?
A．AB=DE，AC=DF??????
???B．AC=EF，BC=DF?
C．AB=DE，BC=EF????????
??D．∠C=∠F，BC=EF
2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据
是(
)
A．HL
B．AAS
C．SSS
D．ASA
3、在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的3倍，则此三角形中最小的角是(
)
A．15°
B．22.5°
?C．30°?
D．45°
4、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有(?
?)?
①有两条直角边对应相等；?②有两个锐角对应相等；?③有斜边和一条直角边对应相等；
?④有一条直角边和一个锐角相等；?⑤有斜边和一个锐角对应相等；??⑥有两条边相等.?
??A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加
一个适当的条件：
，(答案不唯一)，使△ADB≌△CEB．
6、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要
添加的一个条件是
．
7、如图，在Rt△ABC中，AC⊥AB，垂足为A，AD⊥BC，垂足为D，∠1=∠2，有下列结
论：①AB∥DE；②∠B=∠3；③∠C=∠1；④∠B与∠2互余；⑤∠3=∠2．其中正确的
有
(填写正确的序号).
8、在△ABC中，高AD和BE交于F点，且AC
=BF，求:∠ABC的度数.
9、如图，已知AD、AE，分别是两个钝角△ABC和△ABF的高，如果ADAE，ACAF．
?
求证：BCBF．
【提优特训】
10、直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为(
)
?A．100度
B．120度
C．135度
D．140度
11、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=8，BD=6，则AC的长为
积为(
)
A．
B．
C．8
D．
12、如图，AB⊥AC，垂足为A，
DC⊥DB，垂足为D，AE⊥BC，DF⊥BC垂足分别为E、F，AB=DC，则图中全等三角形为(
)
A.
4对
B.
5对
C.
6对
D.
7对
13、如图，已知AB⊥DC，垂足为点P，若点P为DC的中点，AC=BD，则下列结论不成立的是
(
)
A．AC∥BD
B．AP=BP
C．∠A=∠B
D．AB=DC
14、如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别为2和3，则正方形的面积为
.
15、如图，有两个长度相同的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=________度
16、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D
=90°，∠BAD=135°，若AD=4cm，BC=10cm则四边形ABCD的面积为
cm?2.
17、如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，连接BE、CD，若∠ABE=∠ACD=90°，
求证：OD=OE.
18、如图，在△ABC中，BC=12，AB=2AC，D为BC延长线上一点，且CD=4，
(1)当AB=16时，求△ABC的面积；
(2)当AB变化时，求证：AD的值为定值，并求出这个定值．
【中考链接】
19、(2020?山东枣庄)
一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为
?
A．10°
?B．15°
C．18°
D．30°
20、(2020?山东菏泽)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC=ED，求证：CE=DB．
参考答案
1、B
2、A
3、B
4、D
5、BD=BE或AD=CE或AB=BC等
6、AC=DE
7、①②③④
10、C
11、A
12、D
13、D
14、13
15、90
16、84
19、B
8、在△ABC中，高AD和BE交于F点，且AC
=BF，求:∠ABC的度数.
解：45°或135°
有2种情况，如图(1)，(2)
?
∵∠BFD=∠AFE，
又AD和BE是△ABC的高，
∴∠ADC
=∠AEH
=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠FAE+∠AFE=90°，
?
∴∠AFE=∠C，
∴∠C=∠BFD，
∵AC
=
BF，∠DAC
=∠FBD，∠BFD=∠C，?
∴△CAD
≌△
FBD，
?∴AD=BD．
?
如图(1)时∠ABC=45°；
?
如图(2)时∠ABC=135°．
?∵AD=BD，AD⊥BD，
?∴△ADB是等腰直角三角形，
?
∴∠ABD=45°，
?∴∠ABC=180°-45°=135°，?
故答案为：45°或135°．
9、如图，已知AD、AE，分别是两个钝角△ABC和△ABF的高，如果ADAE，ACAF．
?求证：BCBF．
证明：∵AD、AE，分别是两个钝角△ABC和△ABF的高，
∴∠D=∠E=90°，
在Rt△ADB和Rt△AEB中，
∵，
∴Rt△ADB≌Rt△AEB(HL)，
∴
DB=EB，
在Rt△ADC和Rt△AEF中，
∵，
∴Rt△ADC≌Rt△AEF(HL)，
∴
DC=EF，
∴BD-DC=EB-EF，
∴BCBF．
17、如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，连接BE、CD，若∠ABE=∠ACD=90°，
求证：OD=OE.
证明：证法(1)：∵∠ABE=∠ADC=90°，
∴△ABE与△ACD均为直角三角形，
在Rt△ABE和Rt△ACD中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD(HL)，
∴
BE=CD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABE=∠ADC=90°，
∴∠CBE=∠BCD，
∴OB=OC，
∴OD=OE.
证法(2)：∵∠ABE=∠ADC=90°，
∴△ABE与△ACD均为直角三角形，
在Rt△ABE和Rt△ACD中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD(HL)，
∴∠AEB=∠ADC，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠ODE=∠OED，
∴OD=OE.
18、如图，在△ABC中，BC=12，AB=2AC，D为BC延长线上一点，且CD=4，
(1)当AB=16时，求△ABC的面积；
(2)当AB变化时，求证：AD的值为定值，并求出这个定值．
解：(1)如图(1)，过C作CE⊥AB，垂足为点E，
设BE=x，则AE=16-x，
又BC=12，AB=16，AC=AB=8，
在Rt△BEC中，根据勾股定理得：x2+CE2=122①，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：(16-x)2+CE2=82②，
联立①②，消去CE2得：144-x2=64-(16-x)2，
解得：x=，
把x=代入①得：CE=，
则S△ABC=AB·CE=×12×=；
如图(2)
所示：，过A作AF⊥CD，垂足为点F，
设CF=x，AF=y，AC=a，AB=2a，
在Rt△ACF中，根据勾股定理得：x2+y2=a2①，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：(12+x)2+y2=(2a)2②，
②-①得：8x=
a2-48③，
在Rt△AFD中，根据勾股定理得：
AD2=AF2+FD2=y2+(4-x)2=x2+y2-8x+16，
将①和③代入得：AD2=a2+48-a2+16=64，
因为AD>0，
所以开方得：AD=8，
则AD的值为定值，且定值为8．
20、(2020?山东菏泽)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC=ED，求证：CE=DB．
证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE=∠ACB＝90°，∠A=∠A，
BC=DE，
?
∴△ABC≌△AED(AAS)，?
∴AE=AB，AC=AD，?
∴CE=BD．
第18题图
第18题图(2)
第20题图
第15题图
第16题图
第5题图
第9题图
第20题图
第19题图
第14题图
第6题图
第7题图
第12题图
第2题图
第18题图
第13题图
第18题图(1)
第11题图
例题2图
第17题图
第17题图
第9题图
第8题图(1)
第8题图(2)
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精品试卷·第
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