2020—2021学年人教版高一数学《二次方程实根分布》课件（共23张PPT）

二次方程实根分布
设f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞0), 则一元二次方程f(x)＝0实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达定理来确定．
定理：如果连续函数f(x)满足f(m) f(n)＜０ (m＜n),则方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有实数根．
两负根
两正根
一正一负根
图
象
表达式
小结
ax2+bx+c=0，f(x)= ax2+bx+c(a>0)
根的分布
x2≥x1>m
x1≤x２＜m
x1＜m＜x2
m＜x1≤x2＜n
函数图像
韦达定理
图像
方法
m
x2
x1
x1
x2
m
x1
x2
m
x2
x1
n
m
表示比较复杂，繁琐
二次方程f(x)＝ax2+bx+c=0(a>0)的两实根x1、x２的分布情况
例
（或△=0且-3<2m<0）
例
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)（*） 有且仅有一个实根在区间（α，β）内的情形，
令f(x)= ax2+bx+c
2°若x=?是方程的一个实根；
1°若x=?且x=?都不是方程的一个实根；
若△=0，则对称轴在区间内即可;
若△>0，则
3°若x=?是方程的一个实根。
1°若x=?且x=?都不是方程的一个实根，则
结论
2°若x=?是方程的一个实根，则
结论
3°若x=?是方程的一个实根，则
结论
说明：事实上，这两种情形更多的是用求根检验法。
已知一元二次方程ax2+(2a-3)x+4=0(a≠0)有两个不等实根，且只有一个根在区间（0，1）上，求实数a的取值范围。
练习
已知a为实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a。
如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。
例2
已知a为实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a。如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。
例2
已知a为实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a。如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。
例2
已知a为实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a。如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。
例2
在下列条件下，分别求出m的取值范围
（１）方程x2-mx+4=0在[-1，1 ]有解；
练习2
从而有f(1)≤0或f(-1)≤0。
∵x1x2=4,∴ 在[-1，1]内有解，只能有一解，
解：设f(x)=x2-mx+4
设方程x2-mx+4=0的两根为x1,x2,
∴m的取值范围为m≤-5或m≥5。
在下列条件下，分别求出m的取值范围
（２）函数f(x)=x2-3x+4-m的图象与横轴 x在[-1，1 ]上有交点。
从而有f(1)≤0且f(-1)≥0。
∵x1+x2=3,∴ 在[-1，1]内有解，只能有一解，另一解大于1。
解：设f(x)=x2-3x+4-m
设方程x2-3x+4-m=0的两根为x1,x2,
∴m的取值范围为2≤m≤8。
练习2
所以0≤p≤1。
练习3
【解】线段AB的方程为2x－3y+5=0 (－1≤ x≤2), 将之代入曲线方程，
化简得22x2 + 20x+25－18a2＝0.
令f (x) = 22x2 + 20x+25－18a2　 (－1≤ x≤2),
则原题等价于抛物线在[－1,2]上与x轴无交点,
练习4
综上所述，实数a的取值范围是：
练习4
已知满足不等式 x2 －(a+1)x+a≤0的解在区间[1，3]内 , 求实数a取值范围。
解：
若a＞1 ， 则原不等式的解为 1≤x≤a ，
X
3
1
a
则 1 ＜ a≤3
分析: 观察不难发现：a、1是 x2 －(a+1)x +a=0的根.
若a＝1 ， 则原不等式的解为 1，满足条件 ;
例4
已知满足不等式 x2 －(a+1)x+a≤0的解在区间[1，3]内 , 求实数a取值范围。
解：
若a＜1 ， 则原不等式的解为 a ≤ x≤ 1 ，
∴a取值范围是1≤a≤3
a
X
1
3
那么, 不可能满足题意。
例4
小结
一元二次方程实根分布总的来说是通过 数形结合来进行思考的，注意其思想方法的应用；
它的应用比较多，前面的例题都是它的一些典型应用，请同学们好好体会，并多加练习，才能很好的掌握。