2020—2021学年人教版高一数学《3.1.2用二分法求方程的近似解》课件（30张PPT）

第三章　函数的应用
3.1　函数与方程
3.1.2　用二分法求方程的近似解
1．会用二分法求方程的近似解．(重点)
2．明确精确度ε与近似值的区别．(易混点)
3．应用二分法解题时，会判断函数零点所在的区间．(难点)
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上__________且___________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
连续不断
f(a)·f(b)＜0
一分为二
零点
以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　)
解析：根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．
答案：C
2．二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证___________，给定精确度ε.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则________________；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈_______)；
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈_______)．
(4)判断a，b是否达到精确度ε：即若_________，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
f(a)·f(b)＜0
c就是函数的零点
(a，c)
(c，b)
|a－b|＜ε
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
1．所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　)
2．函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．(　　)
3．二分法只可用来求方程的近似解．(　　)
答案：1.×　2.×　3.×
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
二分法的概念
解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.
答案：B
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4　　　　　　 B．3,4
C．5,4 D．4,3
解析：由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．
答案：D
求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)．
思路点拨：先确定f(－2)与f(－3)的符号，再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．
解：由于f(－2)＝－1<0，
f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，
用二分法求函数的近似零点
用二分法逐次计算，列表如下：
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062 5
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484 4
(－2.25，－2.125)
－2.187 5
－0.214 8
(－2.25，－2.187 5)
－2.218 75
－0.077 1
【互动探究】 只将本例中的“负”改为“正”呢？
解：由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[2,3]
2.5
1.25
[2,2.5]
2.25
0.062 5
[2,2.25]
2.125
－0.484 4
[2.125,2.25]
2.187 5
－0.214 8
[2.187 5,2.25]
2.218 75
－0.077 1
根据上表计算知，区间[2.187 5,2.25]的长度是0.062 5< 0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值．所以其近似值可以为2.187 5.
1．利用二分法求函数近似零点应关注三点：
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．
求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数解，精确到0.1.
思路点拨：要求方程2x3＋3x－3＝0的正实根，可转化为用二分法求函数f(x)＝2x3＋3x－3的正的零点，故首先要选定初始区间[a，b]，满足f(a)·f(b)＜0，然后逐步逼近．
解：令f(x)＝2x3＋3x－3，易知函数f(x)＝2x3＋3x－3在R上为单调递增函数．经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，所以该函数在(0,1)内存在零点，且为该函数的唯一正数零点．
用二分法求方程的近似解
取(0,1)的中点0.5，经计算，f(0.5)＜0，f(1)＞0，所以该函数在(0.5,1)内存在零点．如此继续下去，得到函数零点所在的区间，如下表：
至此，可看出函数的零点落在区间长度小于0.1的区间(0.687 5,0.75)内．因为该区间内的每一个值精确到0.1都等于0.7，因此0.7就是函数f(x)＝2x3＋3x－3精确到0.1的近似零点，也就是方程2x3＋3x－3＝0的近似解．
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
2．求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．
设f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得：
f(2)<0，f(3)>0?x1∈(2,3)；
f(2.5)<0，f(3)>0?x1∈(2.5,3)；
f(2.5)<0，f(2.75)>0?x1∈(2.5,2.75)；
f(2.5)<0，f(2.625)>0?x1∈(2.5,2.625);
f(2.562 5)<0，f(2.625)>0?x1∈(2.562 5，2.625)．
因为|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.

1．判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．
2．利用二分法求方程近似解的步骤：
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
活页作业(二十四)
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