2020—2021学年人教版高一数学《直线与圆的方程的应用》课件（27张PPT）

直线与圆的方程的应用
平罗中学 石占军
一、用坐标法解决平面几何问题的步骤：
第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；
第二步:通过代数运算,解决代数问题；
第三步:把代数运算结果翻译成几何结论.
问题1：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
二、知识探究：
1.直线与圆的方程实际应用
思考1:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱A2P2的高度，化归为求一个什么问题？
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
x
y
思考2:取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？
思考3:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多少？
由方程组
答：支柱A2P2的长度约为3.86米
把点P2的横坐标x=-2代入这个圆的方程，得y=3.86(y>0)
下面用待定系数法来确定b和r的值.
x2+（y - b）2=r2
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）满足方程
解得：b=-10.5 r2=14.52
所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52
P2
P
B
A
O
A1
A3
A4
A2
x
y
解：如图建立平面直角坐标系，圆心在y轴上。设圆心的坐标是（0，b）,圆的半径是r，那么圆的方程是
2.直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
证明：连接AP并延长交圆P于点F，连接DF，CF，
∵∠3=∠4
∴在Rt⊿ADF和Rt⊿AHB中
∠1=∠2
∵ ∠5=∠1+ ∠7，
∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ①
又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900
∴ CF∥BD ②
由① ②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD|
又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE |
你能否用学过的平面几何知识加以证明？
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？
X
y
o
思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
A
B
C
D
M
x
y
o
N
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如何？
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？
A
B
C
D
M
x
y
o
N
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？
A
B
C
D
M
N
E
解：如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系。设
过四边形ABCD外接圆圆心Q分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的中点，由线段的中点坐标公式得：
所以，
O
E
M
N
x
Q
A
B
C
D
又

同理，可证其它
所以
即：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半
O1
M
O2
P
N
o
y
x
问题3.如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且使|PM|= |PN|，
试求点P的运动轨迹是什么曲线？
3.直线与圆的方程在求轨迹方程中的应用
A
D
C
E
P
B
1.
1.P132 T4
三、巩固练习：
解：以点B为坐标原点，建如
图所以直角坐标系.
设三角形ABC边长为6，则根据意
有B(0,0），D(2,0)，C(6,0),
E ,A
则根据两点式可知
直线AD,与直线BE的方程，
y
x
(6,0)
(2,0)
(0,0)
A
B(O)
D
C
E
P
2.一座圆拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽12m，若水面下降1m，则水面宽 m？
3.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.当b为何值时，圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离都等于1.
4.在Rt△ABC中,斜边BC为m，以BC的中点O为圆心，作半径为n（nx
y
P
Q
O
5. 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值.
O
A
B
P
C
X
y
6.
（一）用坐标法解决问题的步骤——“三步曲”：
1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
2、通过代数运算，解决代数问题（有目的地）；
3、把代数运算结果“翻译”成几何结论.
四、归纳小结：
几何
代数
几何
（二）对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.
1.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.当b为何值时，圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离都等于1.
五、课后练习：
2.
3.已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△ABO内切圆上一点,求以|PA|?|PB|?|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.
分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.
由于P是△ABO内切圆上的点,若想找到P点坐标,必须先从△ABO内切圆的方程入手.
4.已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P在圆 上运动,求 的最大值和最小值.
(x,y)
5.过原点O作圆 的弦OA.
(1)求弦OA中点M的轨迹方程；
(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.