2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第三册第七章 三角函数 单元检测（Word含解析）

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第七章
三角函数
单元检测
一、单项选择题
1.如果P位于第三象限,那么角θ所在的象限是
(　　)
A.第一象限　　
B.第二象限
C.第三象限　　
D.第四象限
2.已知扇形的半径为r,周长为3r,则扇形的圆心角等于
(　　)
A.
B.1
C.
D.3
3.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为
(　　)
A.(3-)π
B.(-1)π
C.(+1)π
D.(-2)π
4.已知sin=,则cos=
(　　)
A.-
B.
C.
D.-
5.把函数y=cos
2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是
(　　)
6.函数y=locos的单调递增区间是
(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
7.函数y=tan的值域为
(　　)
A.[-1,1]　
B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-∞,1]　
D.[-1,+∞)
8.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sin
x-sin
2x在[0,2π]的零点个数为
(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
二、多项选择题(
9.将函数f=sin(ω>0)的图像向左平移个单位,若所得的图像与原图像重合,则ω的值可能为
(　　)
A.
4
B.
6
C.
8
D.
12
10.关于函数y=2sin(0≤x≤9),下列结论正确的是
(　　)
A.x=0时,ymin=-
B.x=0时,ymin=-2
C.x=5时,ymax=2
D.x=9时,ymax=
11.设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是
(　　)
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图像关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
12.在△ABC中,C>,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题不正确的是
(　　)
A.f(cos
A)>f(cos
B)
B.f(sin
A)>f(sin
B)
C.f(sin
A)>f(cos
B)
D.f(sin
B)A)
三、填空题13.(2020·北京高考)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos
x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　.?
14.已知角α的终边上有一点P(1,3),
则tan
α=　　　,=　　　　.?
15.arctan+arcsin=　　　　.?
16.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为　　　　,单调递增区间是　　　　.?
解答题
17.(10分)在与530°角终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)在{α|-720°≤α<-360°}内的角.
18.(12分)已知函数f(x)=1+sin,
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值.
(2)画出函数y=f(x)在区间上的图像.
19.(12分)已知函数y=Asin(A>0,ω>0,<π)的一段图像如图所示.
(1)求此函数的解析式.
(2)求此函数在上的递增区间.
20.在已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R的图像与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,
且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式.
(2)当x∈时,求f(x)的值域.
21.(12分)(2020·合肥高一检测)已知0<ω<2,
函数f(x)=sin,且f(x)=f.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若f(x)在[-t,t]上单调递增,求t的最大值.
22.(12分)已知函数f(x)=2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合.
(2)指出函数y=f(x)的图像可以由函数y=sin
x的图像经过哪些变换得到.
(3)当x∈[0,m]时,函数y=f(x)的值域为[-,2],求实数m的取值范围.
23.(12分)函数f(x)=1-2a-2acos
x-2sin2x的最小值为g(a),a∈R.
(1)求g(a).
(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.
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1.【解析】选B.因为点在第三象限,因此有sin
θcos
θ<0,2cos
θ<0,
所以cos
θ<0,sin
θ>0.
2.【解析】选B.弧长l=3r-2r=r,则圆心角==1.
3.【解析】选A.S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,设S1与S2所在扇形圆心角分别为α,β,则=,又α+β=2π,解得α=(3-)π.
4.【解析】选A.cos=cos
=-sin=-.
5.【解析】选A.把函数y=cos
2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得y=cos
x+1的图像,向左平移1个单位长度,得y=cos(x+1)+1的图像,再向下平移1个单位长度得y=cos(x+1)的图像.则得到的函数为y=cos(x+1),令x=0,
得y=cos
1>0,排除C、D;又令x=-1,
得y=cos=0,排除B..
6.【解析】选B.原函数变形为y=lo(-sin
2x),
定义域为,k∈Z.研究函数y=sin
2x的单调递增区间,
得-+2kπ≤2x<2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x∩
=,k∈Z.
7.【解析】选B.因为x∈且x≠0,
所以-x∈且-x≠,即-x∈∪,当-x∈时,y≥1;
当-x∈时,y≤-1,
所以函数的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).
8.【解析】选B.令f(x)=2sin
x-sin
2x=2sin
x-
2sin
xcos
x=2sin
x(1-cos
x)=0,
则sin
x=0或cos
x=1,又x∈[0,2π],
所以x=0,π,2π,共三个零点.
9.【解析】选A、C、D.因为将函数f=sin的图像向左平移个单位,所得图像与原图像重合,
所以是已知函数的周期的整数倍,
即k·=(k∈N
),解得ω=4k(k∈N
).
10.【解析】选A.C.因为0≤x≤9,所以0≤x≤,
-≤x-≤-,即-≤x-≤,
所以当x-=-,
即x=0时,y=2sin(0≤x≤9)有最小值2sin=-,当x-=,
即x=5时,y=2sin(0≤x≤9)有最大值2sin=2.
11.【解析】选A.B.C.A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z),
所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确;
B项,因为f(x)=cos图像的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),
所以y=f(x)的图像关于直线x=对称,B项正确;
C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),
得x=kπ-(k∈Z),当k=1时,x=,所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确;
D项,因为f(x)=cos的单调递减区间为(k∈Z),
单调递增区间为(k∈Z),
所以是f(x)的单调递减区间,
是f(x)的单调递增区间,D项错误.
12.【解析】选A.B.D.根据0得0所以sin
AB.
cos
A>cos=sin
B,
又y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,
所以f(sin
A)>f(cos
B).
13.【解析】因为f(x)的最大值为2,说明sin(x+φ)和cos
x可同时取得最大值1,可知sin(x+φ)=cos
x,所以φ可以为+2kπ,k∈Z.
答案:(答案不唯一)
14..?【解析】根据任意角的三角函数定义,可得tan
α=3,
所以=
=tan
α-=-=1.
答案:3　1
15.【解析】因为arctan=,arcsin=-,
所以arctan+arcsin=0.
答案:0
16.【解析】由图像可得T=π-π,
所以T=π,则ω=2.
又图像过点,
所以2sin=2,
所以φ=-,
所以f(x)=2sin,
其单调递增区间为(k∈Z).
答案:f(x)=2sin
(k∈Z)
17.【解析】与530°角终边相同的角为k·360°+530°,k∈Z.
(1)由-360°故所求的最大负角为-190°.
(2)由0°故所求的最小正角为170°.
(3)由-720°≤k·360°+530°<-360°且k∈Z,可得k=-3,
故所求的角为-550°.
18.【解析】(1)函数f(x)的最小正周期为T==π,
当sin=1时,f(x)取得最大值1+.
(2)由(1)知:
故函数y=f(x)在区间上的图像如图所示.
19.【解析】(1)由图可知,其振幅为A=2,
由=6-=8,所以周期为T=16,
所以ω===,
此时解析式为y=2sin.
因为点在函数y=2sin的图像上,所以×2+φ=2kπ-,
所以φ=2kπ-.又<π,所以φ=-.
故所求函数的解析式为y=2sin.
(2)由2kπ-≤x-≤2kπ+,
得16k+2≤x≤16k+10,
所以函数y=2sin的递增区间是
.
当k=-1时,有递增区间,当k=0时,有递增区间,与定义区间求交集得此函数在上的递增区间为,.
20.【解析】(1)由最低点为M,得A=2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为,
得=,即T=π,所以ω===2.
由点M在图像上得2sin=-2,
即sin=-1,故+φ=2kπ-(k∈Z),
所以φ=2kπ-(k∈Z).
又φ∈,所以φ=,
故f(x)=2sin.
(2)因为x∈,所以2x+∈,
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;
当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1,
故当x∈时,f(x)的值域为[-1,2].
21.【解析】(1)因为f(x)=f,
所以f(x)的图像关于直线x=对称,
所以ω×+=+kπ(k∈Z),
解得ω=1+4k(k∈Z),
又因为0<ω<2,所以ω=1,
则f(x)的最小正周期T==2π.
(2)因为f(x)=sin,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
因为f(x)在[-t,t]上单调递增,所以,
解得022.【解析】(1)f(x)min=-2,此时2x-=2kπ-,
k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,
即此时自变量x的集合是.
(2)把函数y=sinx的图像向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图像,
再把函数y=sin的图像上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,
得到函数y=sin的图像,最后再把函数y=sin的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到函数y=2sin的图像.
(3)如图,因为当x∈[0,m]时,y=f(x)取到最大值2,所以m≥.
又函数y=f(x)在上是减函数,
故m的最大值为内使函数值为-的值,
令2sin=-,得x=,
所以m的取值范围是.
23.【解析】(1)f(x)=1-2a-2acos
x-2(1-cos2x)
=2cos2x-2acos
x-1-2a
=2--2a-1.
若<-1,即a<-2,则当cosx=-1时,
f(x)有最小值g(a)=2--2a-1=1;
若-1≤≤1,即-2≤a≤2,则当cos
x=时,
f(x)有最小值g(a)=--2a-1;
若>1,即a>2,则当cos
x=1时,f(x)有最小值g(a)=2--2a-1=1-4a.
所以g(a)=
(2)若g(a)=,由所求g(a)的解析式知只能是--2a-1=或1-4a=.
由解得a=-1或a=-3(舍).
由解得a=(舍).
此时f(x)=2+,得f(x)max=5.
所以若g(a)=,应有a=-1,
此时f(x)的最大值是5.
-
1
-