上海市2020-2021学年高二学科教师辅导教案12.3椭圆方程及性质Word版

教师辅导教案
学员编号： 年 级： 高二 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：李盼
课程主题： 椭圆的方程及性质
授课时间：
学习目标
1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程
2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a,b,c,e等参数的几何意义及关系．
教学内容
内容回顾
内容回顾
1． 椭圆的两种定义：
(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长
的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| ，0＜e＜1的常数。（为抛物线；为双曲线）
标准方程：
（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；
焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中（一个）
（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；
焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中
（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上），这种形式用起来更方便。
3．性质：对于椭圆：（a＞b＞0）如下性质必须熟练掌握：
①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点;
④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率;
此外还有如下常用性质：
⑦焦半径公式： |PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；(由第二定义推得)

⑧焦准距；准线间距;通径长;
⑨最大角
证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则
对于椭圆：（a＞b＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。
4.点与椭圆的位置关系
设, 椭圆, 焦点为, 则:
点P在椭圆外;
点P在椭圆上;
点P在椭圆内.
5．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：
设椭圆：上弦AB的中点为M(x0,y0),则斜率kAB=,
对椭圆：, 则kAB=．
知识精讲
知识精讲
【例题精讲】
例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，焦距为8，椭圆上一点到两个焦点的距离的和为10；
（2）两个焦点坐标为和，且过点；
（3）焦点在坐标轴上，且关于原点对称，焦距为，且经过点。
解：（1）设椭圆的标准方程为（），由题意知，，
又，，所求椭圆标准方程为；
（2）设椭圆的标准方程为（），由题意知：即
又椭圆过点，，化简此方程可得：
解得：（舍去），，
所求椭圆标准方程为；
说明：此题也可通过求定点到两个焦点的距离和来求标准方程，即
，
，又，，所求椭圆标准方程为；
（3）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（），
由已知可得：，又过点，，
化简方程可得：，解得：（舍去），
所求椭圆标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（），
由已知可得：，又过点，，
化简方程可得：，解得：（舍去），
所求椭圆标准方程为；
综上所述，所求椭圆的标准方程为和。
例2、已知、为两个定点，且，且的周长为16，求顶点的轨迹方程。
403987028575
解：以中点为原点，以方向为轴建立直角坐标系，
由已知可知，
点的轨迹为以、为焦点，的椭圆，
，
当在直线上时，即时，此时、、三点不能构成三角形，
所求顶点的轨迹方程为（）。
例3、求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程。
解：设所求椭圆方程为（），
经过和两点，解此方程组可得：
解得，故所求方程为
例4：在面积为的中，，。建立适当的坐标系，求出以为焦点，且过点的椭圆方程。
解：，，，。
例5、一动圆与已知圆外切，与圆内切，试求这动圆圆心的轨迹方程。
解：由已知两定圆的圆心和半径分别为：，
设动圆圆心为，半径为，则由题意有：，
，由椭圆定义可知：点在以、为焦点的椭圆上，
，故动圆圆心的轨迹方程为：
例6、的底边，和两边上中线之和为30，求此三角形顶点的轨迹。
解：（1）以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系，设点坐标为，
由，知点轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上的点，
，故所求方程为（）
点的轨迹为以为焦点椭圆（除轴上两点外）。
（2）设，则，把点坐标代入方程可得：
点的轨迹方程为：（），
点的轨迹为以为焦点椭圆（除轴上两点外）。
例7、已知椭圆方程（），焦点，，是椭圆上一点，且。求的面积（结果用来表示）
解：如图，设，由椭圆对称性，不妨设在第一象限，
由余弦定理可知：
又由椭圆定义知：代入上式可得：
例8：已知是圆内一定点，是圆上一动点，的垂直平分线与交于，求的轨迹方程。
解：。
4494530112395
知识点二（椭圆的性质）
椭圆几何性质的研究，以为例来研究。
【知识梳理】
1、对称性：既是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
2、顶点：椭圆与两坐标轴的四个交点叫做椭圆的顶点。
线段叫做椭圆的长轴，它的长等于；线段叫做椭圆的短轴，它的长等于，是长半轴的长，是短半轴的长。显然，椭圆的两个焦点都在它的长轴上。
说明：椭圆中，是椭圆上离中心最远的点；而是椭圆上距离中心最近的点。（证明略）
3、范围：，椭圆位于直线和所围成的矩形内。
4、离心率，准线，设是椭圆上任意一点，则。



【例题精讲】
例1、（1）求椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标；
（2）写出与椭圆有相同焦点，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程。
解：（1）将方程化为标准方程：
可知：，
且此椭圆的焦点在轴上，
长轴长为10，短轴长为8，焦点坐标为，顶点坐标为：
。
（2）与椭圆即有相同焦点，且长轴长是短轴长的2倍，
椭圆方程为：，解得，
所求椭圆方程为。
例2、1970年4月24日我国发射了第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，卫星在近地点与地球表面的距离为439千米，在远地点与地球表面距离为2384千米，地球中心与、在同一直线上，已知地球的半径为6371千米，建立适当的坐标系，求卫星轨迹的方程（精确到0.1千米）
解：以卫星轨道的中心为原点，长轴为轴，建立平面直角坐标系，地球中心在，
设所求卫星轨道的方程为：（）
、是与地球表面的两个交点，
，又
得：，因此所求卫星轨迹的方程为：
例3、已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值。
解：设椭圆上一点，又，
又，当时，有最大值5，的最大值为6。
例4、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线方程。
解法一：设所求直线方程为，即代入椭圆方程
可得：
设直线与椭圆交点坐标为，则
解得，故所求直线方程为：
解法二：设直线与椭圆交点坐标为，为的中点，
，又、两点在椭圆上，
两式相减可得：
即
即，故所求直线方程为。
例5、椭圆与直线相交于、两点，是的中点，若，斜率为（为原点），试确定椭圆的方程。
4467225-1212850
解：由方程组可得：
，
设，则
，
则----------①
又-------②
解①、②可得：，椭圆方程为
例6、已知椭圆，
（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程。
分析：此题各小题均与弦的中点有关，因此可用点差法解题。
解：设弦的两个端点分别为，则
两式相减，可得：----（*）
（1）由题意知：，代入可得：，
所求直线方程为即为所求直线方程；
（2）设所求中点轨迹上任意一点坐标为，由
可求的满足条件的点的轨迹方程为：（在椭圆内的部分）
（3）设所求中点轨迹上任意一点坐标为，由
且代入（*）可得：（椭圆内部分）
（4）将①与②式相加，可得：
即：
由，且代入上式可得：
所求轨迹方程为：。
例7：试确定实数的取值范围，使椭圆上存在两点关于直线对称。
解：。
5、 椭圆的参数方程
叫做椭圆的参数方程。
例8、已知点为椭圆上的一个动点。
（1）求的取值范围； （2）求的取值范围；
（3）求点到直线的距离的最大值。
解：（1）椭圆的参数方程为，则
（2）
（3）
例9、求椭圆的内接矩形面积的最大值
解：设是椭圆上的任意一点，则（为参数）
内接矩形面积，当时，最大值为。
【课堂练习】
【巩固练习】
椭圆的左右焦点分别为, 点P在椭圆上, 若线段的中点在y轴上, 则是的_________倍.
解: 由知点P的横坐标为3, 即坐标为, 则由知,
又, 即.
中心在原点, 对称轴为坐标轴, 椭圆的短轴的一个顶点B与两个焦点组成的三角形的周长为, 且, 则椭圆的方程是________________________.
解: 设长半轴长为a, 短半轴长为b, 半焦距为c,
则由, ,
由题意,
因此椭圆的方程为或者.
设是椭圆的两个焦点, 过作倾斜角为的直线AB与椭圆交于A, B两点, 则的面积为____________.
解: 直线l的方程为, 因此直线过点, 即短轴的一个顶点,
如图所示, ,
将直线方程与椭圆方程联立得,
消去y得, 解得或者,
则点A, B的坐标为, 即两个三角形的高分别为,
.
直线与椭圆交于不同的两点P, Q, 若线段PQ的中点的横坐标为2, 则弦PQ的长________.
解: 联立直线与椭圆方程得, 消去y得,
设P, Q的坐标为, 且是上述方程的解, 由题意, 解得,
即方程(1)为, 其判别式,
.
已知椭圆内有一点, 点B是椭圆上的动点, 当取最大值时, 点B的坐标为 _______________.
解: 设B的坐标是, 则,
,
当时, 取到最大值, 即B的坐标为.
设椭圆的中心在原点, 对称轴为坐标轴, 求由下列条件确定的椭圆的标准方程.
长轴长是短轴长的3倍, 且经过点;
解: 由题意,
当焦点在x轴上时, 其方程为,
将点的坐标代入得, 其方程为;
当焦点在y轴上时, 其方程为,
将点的坐标代入得, 其方程为.
经过点和.
解: 设椭圆的方程为, 则, 解得且,
即椭圆方程为.
椭圆C的中心在原点, 以坐标轴为对称轴, 其短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形, 焦点到椭圆上点的最短距离为, 求椭圆C的方程.
解: 由题意, 因此,
若椭圆的焦点在x轴上, 设其方程为,
设是椭圆上一点, 则它到焦点距离为, ,
显然当时距离最短, 即,
即椭圆的方程为,
同理可得焦点在y轴上的椭圆为.
已知两圆的方程分别为, , 动圆M与圆外切于点P, 与圆内切于点Q, 求圆心M的轨迹方程.
解: 设表示圆M的半径,
由圆M与圆外切, 则(其中),
由圆M与圆内切, 则,
两式相加得,
因此其轨迹为以为焦点, 4为长轴长, 不含圆切点的椭圆,
方程为(点除外).
如图所示, 已知椭圆的方程为, 若点P在第二象限, 且, 求的面积.
解: 设, 则, ,
由余弦定理可得,
即,
.
设A, B是椭圆上的两点, O为坐标原点,
若直线AB的斜率为, 且经过椭圆的左焦点, 求;
若直线AB在y轴上的截距为4, 且OA, OB斜率之和等于2, 求直线AB的斜率k.
(1)解: 椭圆的左焦点为, 因此直线AB的方程为,
与椭圆方程联立消去y得,
.
(2)解: 由题意, 直线的斜率存在, 设其方程为,
设点A,B的坐标为,
则, 整理得,
联立直线与椭圆方程消去y得,
由韦达定理, 代入得: , 解得.
【提高练习】
斜率为1的直线l与椭圆交于A, B两点, 点O是坐标原点, 当的面积最大时, 求直线l的方程.
解: 设直线l的方程为,
联立直线与椭圆方程消去y得,判别式,
由韦达定理, ,
原点O到直线AB的距离为, 因此,
设, 则, 考虑函数, 其图像的对称轴为,
当时, 取最大值, 因此即为所求直线方程.
已知椭圆, 过原点的两条直线和分别与椭圆交于点A, B和C, D. 记得到的平行四边形ACBD的面积为S.
设, . 用A, C的坐标表示点C到直线的距离, 并证明;
设与的斜率之积为, 求面积S的值.
(1)解: 由可得, 故直线的一个方向向量为,
由此可知的一个法向量为,
设C的的距离为d, 结合,
得,
.
(2)解: 由题意, 有,
,
由及, 两式相乘得,
将代入得, 即, 也即.