上海市2020-2021学年高二学科教师辅导教案12.2圆的方程Word

学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
课程主题： 圆的方程
授课时间：
学习目标
教学内容
知识梳理
知识梳理
　
1、圆的定义：平面内与定点的距离等于定长(定长大于零)的点的集合(轨迹)叫做圆．定点为圆心，定长为半径．

2、圆的标准方程为
，其中圆心为,半径为r；
3、圆的一般方程
将上述标准方程展开，整理，得，
可见，任何一个圆的方程都可以写成 　　① 的形式。
　　反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？
将①配方得：． 　　　 ②
把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：
（1）当时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程①表示一个点；
（3）当时，方程①不表示任何图形．
结论：当时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．
圆的一般方程为，圆心坐标，半径为。方程表示圆的充要条件是
注意：圆的一般方程形式上的特点：
（1）和的系数相同，且不等于；
（2）没有这样的二次项．
以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．
说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了．
二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：
①项项的系数相同且不为0，即；
②没有x、y项，即B=0；
③。

4、点与圆的位置关系
（1）已知圆，圆心，则点在
（2）若点P是圆C外一定点，则该店与圆上的点的最大距离为，最小距离为.
5、直线和圆位置关系的判定方法：
（1）方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。
①Δ＞0，直线和圆相交； ②Δ=0，直线和圆相切； ③Δ＜0，直线和圆相离。
（2）方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较。
①d＜R，直线和圆相交； ②d=R，直线和圆相切； ③d＞R，直线和圆相离。


例1、求过三点、、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
解：设所求的圆方程为，
∵、、在圆上，
∴解得，
∴所求的圆方程为，
圆心坐标为，半径为．
注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为；
⑵本题也可以换一种说法：已知中，三个顶点的坐标分别、、，求的外接圆的方程．
例2、已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
解：设是曲线上任意一点，由题意：，
∴ ，化简得，　　①
这就是所求的曲线方程．
把方程①配方得：，所以方程①的曲线是以为圆心，为半径的圆．（作图）
注意：本题也可以一般化
已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
提示：以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则可以按照上例的方法求解。可得：
要注意讨论对曲线的形状的影响．
例3、已知圆与直线相交于、两点，定点，若，求实数的值．
解：设、，
由，消去得：， ①
由题意：方程①有两个不等的实数根，∴，，
由韦答定理：，
∵，∴，∴，即，
即， ②
∵，∴，
，代入②得：，即，
∴，适合，所以，实数的值为。
变式练习：已知圆M经过直线l: 2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x－4y+1=0的交点，且圆M的圆心到直线2x+6y－5=0的距离为，求圆M的方程
解：设经过直线l与圆C的交点的圆系方程为x2+y2+2x－4y+1+(2x+y+4 )=0
则x2+y2+2(+1)+ (－4)y+4+1=0
∴圆M的圆心为M（）
由条件可得=
解得=－10或=13
所以所求圆的方程为x2+y2－20x－15y－43=0或x2+y2+28x+9y+53=0
例4、求经过两点P(－2,4)，Q(3,－1),并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程
解：设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0，将点的坐标分别代入得
令y=0得x+Dx+F=0
设x,x是方程x+Dx+F=0的两根
由=6有D－4F=36
解得D=－2,E=－4,F=－8
或D=－6,E=－8,F=0
所求圆的方程为x+y－2x－4y－8=0
或x+y－6x－8y=0
例5、已知圆C和轴相切，圆心C在直线－3＝0上，且被直线＝截得的弦长为，求圆C的方程．
解：设圆心坐标为（3，）．因为圆C和轴相切，得圆的半径为3||，
所以圆心到直线＝的距离为．
由半径、弦心距、半径的关系得
例6、设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，求点的轨迹方程。
解 由及分别在轴的正半轴和轴的正半轴上知，，，
由点与点关于轴对称知，，=，
则.
所以点的轨迹方程为.
例7、过点作圆的切线方程为______________
解：根据题意设直线方程为，圆心到直线距离，求得，所以切线方程为
例8、若圆关于直线对称，则实数的值为
解：由题意知，圆心在直线上，求得或，不满足圆的方程，所以
例9、直线上的点到圆的最近距离是______________
解：圆心到直线的距离 ，则最近距离为
例10、由点引圆的割线，交圆于两点，使的面积为（O为原点），求直线的方程．
解：直线的方程为：或．
例11、已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。
解：由题意可得：联立直线与圆的方程有，建立等式得到

课堂练习
课堂练习
1、若方程x+y+4kx－2y+5k=0表示圆，则k的取值范围是( )
A,1
C. k=或k=1 D.k任意实数
2、已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0,当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是（ ）
A、(0,－1) B、(1,－1)
C、(－1,0) D、(－1,1)
3、如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（ ）
A、D=E　　　B、D=F
C、E=F　　　D、E=F
4、已知x2+y2+4x－2y-4=0，则x2+y2的最大值为( )
A、9 B、14
C、 D、
5、圆x2+y2+2x+4y-3=0上且到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
6、曲线x2+y2+2x-2y=0关于( )对称。
A、直线x= B、直线y=-x
C、点(-2，) D、点(-，0)
7、圆的方程是(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( )
A.(1,－1) B.(,－1)
C.(－1,2) D.(－,－1).
8、圆x2+y2－2x－6y+9=0关于直线x－y－1=0对称的圆的方程是。
已知圆的方程x2+y2-8x-2y+12=0，P(1,1)，则圆上距离P点最远的点的坐标是 。
10、三角形ABC的三个顶点A(1,4)，B(-2，3)，C(4，-5)，则△ABC的外接圆方程是 。
若两圆x2+y2－10x-10y=0与x2+y2－6x+2y-40=0相交于两点，则它们的公共弦所在直线的方程是 。
12、已知直线l：kx-y-3k=0；圆M：x2+y2-8x-2y+9=0，
(1)求证：直线l与圆M必相交；
(2)当圆M截l所得弦最长时，求k的值。
13、已知圆C的方程为x2+y2+(m-2)x+(m+1)y+m-2=0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径。
（1）圆的面积最小；
（2）圆心距离坐标原点最近。
答案：1、B；2、A；3、A；4、D；5、C；6、B；7、D
8、x2+y2-8x+15=0
9、
10、x2+y2－2x+2y-23=0
11、x+3 y -10=0
12、解：(1)证明：直线l可化为：y=k(x-3)，过定点A(3,0)，又圆M：(x-4)2+(y-1)2=8而|AM|==<2，所以点A在圆M内，于是直线l与圆M必相交。
(2)要使圆M截l所得弦最长，则l过圆心M，把点(4,1)代入直线方程得k=1。
13、解：∵(m-2)2 +(m+1)2-4( m-2)
=2m2-6m+13>0恒成立，无论m为何值，方程总表示圆。圆心坐标，圆的半径为r=。
圆的半径最小时，面积最小。r==，当且仅当m=时，等号成立，此时面积最小。圆心坐标为，半径r=。
圆心到坐标原点的距离d=当且仅当m=时，距离最近。此时，圆心坐标为，半径r=。

课后作业
课后作业
1、圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )
A.(x+3)2+(y-4)2=2 B.(x-4)2+(y+3)2=2
C.(x+4)2+(y-3)=2 D.(x-3)2+(y-4)2=2
2、点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是( )
A.｜a｜＜1 B.｜a｜＜
C.｜a｜＜ D.｜a｜＜
3、关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )
A.B=0，且A=C≠0 B.B=1且D2+E2-4AF＞0
C.B=0且A=C≠0，D2+E2-4AF≥0 D.B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF＞0
4、过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( )
A.(，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)
5、若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+2=4的内部，则k的范围是( )
A.- ＜k＜-1 B.- ＜k＜1
C.- ＜k＜1 D.-2＜k＜2
圆x2+y2+ax=0(a≠0)的圆心坐标和半径分别是 .
若方程a2x2+(2a+3)y2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a的值等于 .
8、直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是 .
9、求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.
10、光线l从点P(1，-1)射出，经过y轴反射后与圆C：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l所在的直线方程.
11、ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，(－2,－2),(5,5),求其外接圆方程
答案：1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 6.(- ,0), 7.-1 8.(- ，) 9.(x-2)2+(y-1)2=10
10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0
11、解：设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0
由题设得方程组
解得
的外接圆方程为x+y－4x－20=0