6.3平面向量基本定理及坐标表示第二课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义Word

第六章
平面向量及其应用
6.3平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
【课程标准】
借助直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示
会用坐标表示平面向量的加减及数乘运算
理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线
【知识要点归纳】
1.平面向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．
2.向量坐标与点的坐标之间的联系
在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标．
3.图示
4.平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有：
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
重要结论
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)
数乘
5.平面向量共线的坐标表示
设其中，向量共线的充要条件是.
6.向量的坐标表示重要结论
中点向量坐标
设，P为AB的中点，则
（O为平面内任一点）
三角形的重心坐标公式
中，设，G为的重心，则
（O为平面内任一点）
【经典例题】
例1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，＝4，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(3，－1)，求的坐标．
【解】　(1)设点A(x，y)，则x＝cos
60°＝4cos
60°＝2，y＝sin
60°＝4sin
60°＝，
即A(2，)，所以＝(2，)．
(2)＝(3，-1)－(2，)＝(1，-1-)．
注意：求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
变式提升(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4)　　
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,2)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
例2．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动．若，其中，，求的最大值．
【分析】对，两边平方并根据已知条件可得到：，所以，因为根据向量加法的平行四边形法则可知，，，所以，所以，所以得到，所以的最大值是2．
【解答】解：由已知条件知：；
，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出，，
，；
，，，即的最大值为2．
例3（1）．在平面直角坐标系中，已知向量，，，，若，则的值　　
A．4
B．3
C．
D．0
（2）．已知，，，若，则的值是　　．
（3）．已知向量，，．若向量与向量共线，则实数　　．
答案（1）【分析】由，得，推导出，由此能求出的值．
【解答】解：在平面直角坐标系中，
向量，，，，，
，，
．
故选：．
（2）【分析】由平面向量的坐标表示与共线定理，列方程求出的值．
【解答】解：，，，
所以，，
又，所以，
解得．
故答案为：2．
（3）【分析】根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出的值．
【解答】解：向量，，．
则，
又向量与向量共线，所以，
解得．
故答案为：1．
【当堂检测】
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，，则向量的坐标为　　
A．
B．
C．
D．
2．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，，则向量的坐标是　　
A．
B．
C．
D．
3．已知，若，则实数对，为　　
A．
B．
C．
D．无数对
4．已知向量，，，则的值是　　
A．
B．
C．
D．
5．已知，，则　　
A．
B．
C．
D．
6．已知，，，且，则　　
A．3
B．2
C．1
D．
7．已知平面内两个不共线向量，，且，若向量与共线，则　　
A．3或
B．1或
C．或2
D．或6
8．已知点，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为　　
A．
B．，
C．
D．，
二．填空题（共2小题）
9．设点，，若点在直线上，且满足，则点的坐标为　　．
10．若向量与共线，则　　．
当堂检测答案
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，，则向量的坐标为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平面向量的坐标运算，计算即可．
【解答】解：，，
所以，，．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．
2．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，，则向量的坐标是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】利用平行四边形的性质和向量的相等、向量的三角形法则即可得出．
【解答】解：平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，，
，，，，，，，．
，，，．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和向量的相等、向量的三角形法则，属于基础题．
3．已知，若，则实数对，为　　
A．
B．
C．
D．无数对
【分析】利用向量线性运算法则和向量相等即可得出．
【解答】解：，，，
，解得．
实数对，，．
故选：．
【点评】熟练掌握向量线性运算法则和向量相等是解题的关键．
4．已知向量，，，则的值是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据向量的平行可得，则，代值计算即可．
【解答】解：向量，，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了向量的坐标运算和同角的三角函数的关系，属于基础题．
5．已知，，则　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】解：，，
所以，，，．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题．
6．已知，，，且，则　　
A．3
B．2
C．1
D．
【分析】根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出的值．
【解答】解：，，，
所以，；
又，
所以，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理的应用问题，是基础题．
7．已知平面内两个不共线向量，，且，若向量与共线，则　　
A．3或
B．1或
C．或2
D．或6
【分析】利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：向量与共线，
实数，使得，
，
化为．
，是同一平面内两个不共线的向量，
，解得，或．
故选：．
【点评】熟练掌握向量共线定理和平面向量基本定理是解题的关键，属于基础题．
8．已知点，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为　　
A．
B．，
C．
D．，
【分析】根据题意画出图形，结合图形得出，利用平面向量的坐标运算得出、的值．
【解答】解：点，，点在线段的延长线上，且，
如图所示；
设点的坐标为，则
，；
且，
即，
解得，，
所以点为．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．
二．填空题（共2小题）
9．设点，，若点在直线上，且满足，则点的坐标为　或　．
【分析】根据题意知或，设出点的坐标，利用向量相等列方程组求出即可．
【解答】解：点，，所以；
设点，由在直线上，且，
所以或；
又，
当时，有，
解得，
所以点；
当时，有，
解得，
所以点；
综上知，点的坐标为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
10．若向量与共线，则　3或　．
【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求出的值．
【解答】解：向量与共线，
所以，
化简得，
解得或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，是基础题．