6.1平面向量的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（Word）

第六章
平面向量及其应用
6.1平面向量的概念
【课程标准】
通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义
理解平面向量的几何表示和基本要素
【知识要点归纳】
1．向量的概念及表示
概念：既有大小又有方向的量．
2.有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.　
注意：
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
3．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.
注意：
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
5.向量的表示
【经典例题】
例题1.判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
【答案】（1）不正确
（2）不正确
（3）正确
（4）不正确
（5）
不正确
【解析】(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
例题2：某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求的模．
【解析】　(1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝52＋102＝55(米)，所以||＝55米.
例题3
.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
【解析】　由图可得，牢牢把控定义
【当堂检测】
一．选择题（共6小题）
1．下列说法正确的是　　
A．零向量没有方向
B．向量就是有向线段
C．只有零向量的模长等于0
D．单位向量都相等
2．有下列命题：
①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；
②若，则；
③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则；
⑤若，，则；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中，假命题的个数是　　
A．2
B．3
C．4
D．5
3．下列说法正确的是　　
A．若
B．若
C．若
D．若
4．（共线向量的概念）下列命题中，正确的是　　
A．若，则与方向相同或相反
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，，则
5．在四边形中，且，则四边形的形状一定是　　
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
6．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若，都是单位向量，则；③向量与相等，则所有正确命题的序号是　　
A．①
B．③
C．①③
D．①②
二．多选题（共1小题）
7．下列有关向量命题，不正确的是　　
A．若，则
B．已知，且，则
C．若，，则
D．若，则且
当堂检测答案
一．选择题（共6小题）
1．下列说法正确的是　　
A．零向量没有方向
B．向量就是有向线段
C．只有零向量的模长等于0
D．单位向量都相等
【分析】根据零向量，单位向量、有向线段的定义即可判断出结论．
【解答】解：零向量的方向是任意的，故选项错误；
有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故选项错误；
只有零向量的模长等0，故选项正确；
单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了零向量，单位向量、有向线段的定义，考查了推理能力与概念辨析能力，属于基础题．
2．有下列命题：
①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；
②若，则；
③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则；
⑤若，，则；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中，假命题的个数是　　
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题判断真假性即可．
【解答】解：对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若，则、不一定相同，②错误；
对于③，若，、不一定相等，
四边形不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，若，，
当时，不一定成立，⑤错误；
对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑥错误；
综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是综合题．
3．下列说法正确的是　　
A．若
B．若
C．若
D．若
【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题分析、判断正误即可．
【解答】解：对于，向量是矢量，不能比较大小，错误；
对于，向量相等时，模长相等且方向相同，错误；
对于，若时，与方向相同，则、共线，正确；
对于，若时，也可能与方向相同或相反，即、可能共线，错误．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．
4．（共线向量的概念）下列命题中，正确的是　　
A．若，则与方向相同或相反
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，，则
【分析】本题考查的主要知识点是向量平行（共线）的定义及性质，根据平面向量平行（共线）的定义和性质，对四个答案逐一进行分析，不难得到答案．
【解答】解：由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有，知错；
取，则对于任意向量，都有，，但得不到，知错；
两个单位向量互相平行，方向可能相反，知错；
由两向量相等的概念知正确．
故选：．
【点评】在判断两个向量的关系时，特别是在判断两个向量的平行（共线）关系，一定要注意两个向量的平行（共线）的定义分为两部分：①与任何向量都平行（共线）②如果两个非零向量的方向相同（或相反），则两个向量平行（共线）．故一定要考虑条件中的向量是否为零向量．
5．在四边形中，且，则四边形的形状一定是　　
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
【分析】利用向量的平行四边形法则、菱形的定义即可判断出结论．
【解答】解：在四边形中，，可得四边形的形状一定平行四边形，又，因此平行四边形是菱形．
故选：．
【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、菱形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若，都是单位向量，则；③向量与相等，则所有正确命题的序号是　　
A．①
B．③
C．①③
D．①②
【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误．
【解答】解：根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
与向量互为相反向量，故③错误．
故选：．
【点评】本题考察了向量的基本概念，熟记定义和向量间的相等与相反的含意义，是解决本题的关键，属基础题．
二．多选题（共1小题）
7．下列有关向量命题，不正确的是　　
A．若，则
B．已知，且，则
C．若，，则
D．若，则且
【分析】根据向量的概念与向量的模的概念逐一分析各个选项即可得解．
【解答】解：向量由两个要素方向和长度描述，错误；
若，且与垂直，结果成立，当不一定等于，错误；
若，，由向量的定义可得，正确；
相等向量模相等，方向相同，选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的概念与向量的模的概念的应用，属于基础题．