6.2平面向量的运算第一课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（Word）

第六章
平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
第1课时
向量的加法、减法运算
【课程标准】
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算法则及运算律，理解其几何意义
掌握向量加法与减法的关系，并能正确做出两个向量的差向量
【知识要点归纳】
向量加法的定义及运算法则
定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
法则
三角形法则
前提
已知非零向量a，b
作法
在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量
结论
向量叫做a与b的和，记作a＋b，
即a＋b＝＋＝
图形
法则
平行四边形法则
前提
已知不共线的两个向量a，b
作法
在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OACB
结论
对角线就是a与b的和
图形
规定
对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a
注意：
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和，需要根据具体题目选择合适法则。
(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
2．向量的有关性质
一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
（2）在中，.
（3）向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
3．相反向量
(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．
(2)结论
①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
注意：
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
4．向量的减法
(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
(2)作法：在平面内任取一点O，作a，b，则向量a－b，如图所示．
(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
注意：
(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
(3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【经典例题】
例题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：
①＝________；
②＝________；
③＝________.
【答案】①　②　③　
例题2（1）化简等于　　
A．
B．
C．0
D．
（2）．　　
A．
B．
C．
D．
2．化简等于　　
A．
B．
C．0
D．
【分析】根据向量加法的几何意义进行运算即可．
【解答】解：．
故选：．
3．　　
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用向量的加法及减法法则写出结果即可．
【解答】解：由向量加法及减法的运算法则可知：向量．
故选：．
例题3.　(1)如图所示，
①用a，b表示；②用b，c表示.
(2)化简下列各向量的表达式：
①；②；③．
【当堂检测】
一．选择题（共9小题）
1．如图，正方形的边长为1，则　　
A．0
B．
C．2
D．
4．中，，，，则　　
A．
B．
C．
D．
5．下列各式不能化简为的是　　
A．
B．
C．
D．
6．在中，为线段上一点，且，则　　
A．
B．
C．
D．
7．在中，为中点，，，则　　
A．1
B．
C．
D．
8．化简后等于　　
A．
B．3
C．
D．
9．在四边形中，若，则四边形的形状一定是　　
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
二．填空题（共2小题）
10．化简　　．
11．化简　　．
三．解答题（共1小题）
12．判断下列命题正确与否：
（1）向量是共线向量，则、、、在同一直线上；
（2）向量；
（3）；
（4）如果非零向量的方向相同或相反，那么的方向必与之一的方向相同．
当堂检测答案
一．选择题（共9小题）
1．如图，正方形的边长为1，则　　
A．0
B．
C．2
D．
【分析】先化简可得，再将平方后计算即可得解．
【解答】解：，
四边形为正方形，
，即，
由正方形的性质可知，对角线，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的加法，模长的计算，同时还涉及了两向量垂直的性质，属于基础题．
4．中，，，，则　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出．
【解答】解：中，，，，
则，
故选：．
【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．
5．下列各式不能化简为的是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用向量的表示，求出结果即可．
【解答】解：因为，
，
所以．
故选：．
【点评】本题考查向量的加减运算，基本知识的考查．
6．在中，为线段上一点，且，则　　
A．
B．
C．
D．
【分析】可画出图形，根据即可得出，从而得出，解出向量即可．
【解答】解：如图，
；
；
；
．
故选：．
【点评】考查向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算．
7．在中，为中点，，，则　　
A．1
B．
C．
D．
【分析】可画出图形，根据为的中点，，即可得出，然后根据平面向量基本定理即可求出，的值，从而得出的值．
【解答】解：如图，
为中点，；
；
又，且不共线；
根据平面向量基本定理得，；
．
故选：．
【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理．
8．化简后等于　　
A．
B．3
C．
D．
【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了向量的三角形法则与多边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．在四边形中，若，则四边形的形状一定是　　
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
【分析】根据题意，结合平面向量的三角形法则，求出，且，得出四边形是平行四边形．
【解答】解：在四边形中，
，且，
；
即，且，如图所示；
四边形是平行四边形．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应结合图形解答问题，是基础题．
二．填空题（共2小题）
10．化简　　．
【分析】由向量的加法法则把等价转化为，由此能求出其结果．
【解答】
．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的加法及其几何意义，解题时要注意减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
11．化简　　．
【分析】把要求的式子展开重新组合，利用向量加法的三角形法则，化简所给的式子，得出结果
【解答】解：．
故答案为：
【点评】本题考查向量加法的运算法则，向量加法的几何意义，向量加法满足交换律．
三．解答题（共1小题）
12．判断下列命题正确与否：
（1）向量是共线向量，则、、、在同一直线上；
（2）向量；
（3）；
（4）如果非零向量的方向相同或相反，那么的方向必与之一的方向相同．
【分析】本题考查共线向量的性质，对于两个共线的向量，它们的四个起点和终点不一定在同一条直线上，叙述共线向量时常常忽略零向量而使得题目出错．
【解答】解：（1）不正确，因为向量是自由向量，只要两个向量方向相同或相反，这两个向量就是共线向量或说是平行向量，
（2）不正确，因为两个向量平行时对于向量若不做限制，那么这两个向量中可能有零向量，零向量的方向是任意的，不能说相同或相反．
（3）正确，首尾相连的向量之和是零向量．
（4）不正确，共线的两个非零向量向量相加，得到的和向量为零向量时期方向不一定与这两个向量之一方向相同．
【点评】本题考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．