6.4.3余弦定理、正弦定理第一课时 余弦定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义Word

第六章
平面向量及其应用
6.4.3
余弦定理、正弦定理
第一课时
余弦定理
【课程标准】
借助向量的运算，推导余弦定理
掌握余弦定理及其推论，并能会用余弦定理解决简单的三角形问题
【知识要点归纳】
1．三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
2.余弦定理及其推论
文字表述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos_A，
b2＝a2＋c2－2accos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
；
；
【经典例题】
1．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　
A．
B．
C．
D．
2．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则等于　　
A．
B．
C．
D．6
3．在中，，，，则　　
A．2
B．
C．
D．3
4．已知的顶点为，，，，则常数的值为　　
A．3
B．
C．
D．
【当堂检测】
一．选择题（共6小题）
1．已知的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则　　
A．
B．
C．
D．或
2．已知中，，，，则与的夹角是　　
A．
B．
C．
D．
3．的内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则　　
A．
B．5
C．
D．
4．中，角，，所对的边为，，，已知，，，则　　
A．1
B．
C．
D．2
5．在中，若，则角　　
A．
B．
C．
D．
6．在中，内角，，所对的边长分别为，，，如果，，，那么最大内角的余弦值等于　　
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共2小题）
7．在中，内角为钝角，，，，则　　．
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则角　　
三．解答题（共1小题）
9．在钝角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（Ⅰ）求和角的大小；
（Ⅱ）求的值．
例题答案
1．【解答】解：由，，，
可得，
由，可得，
故选：．
2．【解答】解：在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，
可得．
故选：．
3．【解答】解：因为，
所以可得，
因为，
所以，
因为，，
所以由正弦定理，可得，解得．
故选：．
4．【解答】解：中，顶点，，，
，
，
，
且，
，
，
，
解得．
故选：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：由，且，可得，
根据余弦定理可得：，即，
解得或．
故选：．
2．【解答】解：因为，，，
所以由余弦定理可得，
因为，
所以，
则与的夹角是．
故选：．
3．【解答】解：因为，因为，
所以．
又因为，，
所以，即，
即，解得．
故选：．
4．【解答】解：因为，，，
可得，
由正弦定理，可得．
故选：．
5．【解答】解：已知等式整理得：，
即，
，
为三角形内角，
．
故选：．
6．【解答】解：在中，，，，
是三角形中的最大角，
则，
即的最大内角的余弦值为．
故选：．
二．填空题（共2小题）
7．【解答】解：因为内角为钝角，，可得，
又因为，，
则由余弦定理，可得，整理可得，
解得，或（舍去）．
故答案为：2．
8．【解答】解：，且，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
9．【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在钝角中，因为，，，
所以，
由余弦定理知：，
故．
由正弦定理知：，，
因为为钝角三角形，，
所以为钝角，
故．
（Ⅱ）．