6.4.3余弦定理、正弦定理第二课时 正弦定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义Word

第六章
平面向量及其应用
6.4.3
余弦定理、正弦定理
第二课时
正弦定理
【课程标准】
掌握正弦定理及其推导
掌握面积公式，会求三角形的面积
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题
【知识要点归纳】
正弦定理及其推论
文字表述
在三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等
公式表达
变形
；
；
,
2．三角形面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)．
(2)S＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B.
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径)．
3．三角形中的必备结论
射影定理：
【经典例题】
例1．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，，若．则的面积为　　．
例2．在中，角、、所对的边分别为，，，已知，则的面积为　　．
例3．在中，，，，则　　．
例4．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为　　，周长的取值范围为　　．
例5．在中，已知，，则的面积为　　．
例6．若为锐角三角形，且满足，则的取值范围为　　．
【当堂检测】
一．选择题（共7小题）
1．在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则等于　　
A．
B．
C．
D．2
2．的三个内角、、的对边分别是、、，若的面积是，，，则　　
A．2
B．4
C．6
D．8
3．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则　　
A．
B．
C．
D．
4．在中，内角，，的对边分别是，，，，并且．若为的中点，并且，则的周长为　　
A．20
B．18
C．16
D．14
5．在中，，，是三角形，，的对边，若且，，，则的面积为　　
A．
B．
C．
D．3
6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则　　
A．
B．
C．1
D．0
7．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，则的最大值为　　
A．
B．
C．
D．
二．解答题（共3小题）
8．的内角，，的对边分别为，，，且，，面积为2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求边的值．
9．在中，内角，，所对的边，，满足，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积．
10．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）设是上一点，，若，的面积为3，求的面积．
例题答案
1．【解答】解：由余弦定理知，，
①，
由正弦定理知，，
，
②，
由①②解得，，，
的面积．
故答案为：．
2．【解答】解：由正弦定理知，，即，
，，，
．
故答案为：．
3．【解答】解：中，，，，
所以；
由正弦定理得，
所以．
故答案为：3．
4．【解答】解：因为，，解得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
又由，可得，，当且仅当时等号成立，
所以周长的取值范围为，．
故答案为：，，．
5．【解答】解：因为，
由正弦定理，可得，，即有，
由于，，，
可得，
又，
则的面积．
故答案为：．
6．【解答】解：为锐角三角形，且满足，
由正弦定理和余弦定理得：，
整理得，
化简得：，
由正弦定理得：，
转换为，
由于三角形为锐角三角形，
所以，
故，
由于，，
所以，
故．
故的取值范围为．
故答案为：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：，
，即，
由正弦定理知，，
，，
，，即为锐角，，，
．
故选：．
2．【解答】解：因为的面积是，，，
所以，解得，可得，
由余弦定理可得．
故选：．
3．【解答】解：中，已知，
整理得，
由于，
所以，，
故根据余弦定理，
由于，
所以，
故选：．
4．【解答】解：由于，故，
设，，
代入．
所以或，
根据三角形的三边关系，
所以．
所以，
则的周长为，
由于点为的中点，
由余弦定理：，
解得，
所以的周长为18．
故选：．
5．【解答】解：，
利用正弦定理：，
整理得：，
由于，
所以，
由于，
所以，
由于，，，
所以，
则．
故选：．
6．【解答】解：因为，
由正弦定理可得，
因为为三角形内角，，
可得，
因为，可得，
由于，
由余弦定理可得，可得，
可得．
故选：．
7．【解答】解：因为，且，
所以，由正弦定理可得，即，
因为，，
所以，可得，从而，即，
由正弦定理可得，，
则，其中，，
因为，
所以，
从而当时，取得最大值，为．
故选：．
二．解答题（共3小题）
8．【解答】解：（Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，且，
所以
由正弦定理得：
，
整理得
由于，
所以，
两边平方整理得：，
解得或（由于不符合题意舍去），
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
所以，
解得，
由余弦定理及得：
，
解得．
9．【解答】解：（Ⅰ）在中，内角，，所对的边，，满足．
利用正弦定理，
所以，
所以，
故，
由于，
所以．
利用余弦定理．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当时，，，
，
所以．
10．【解答】解：（1）因为，
所以，
由正弦定理可得，
即，
又因为，
所以，，
所以，
可得．
（2）如图所示，设，，
由正弦定理可得，解得，
又的面积为，所以，
在中，由余弦定理可得，即，可得，不合题意，舍去），
故的面积为．