6.4.1平面几何中的向量方法、6.4.2 向量在物理中的应用举例-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义Word

第六章
平面向量及其应用
6.4.1
平面几何中的向量方法
6.4.2
向量在物理中的应用举例
【课程标准】
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用
【知识要点归纳】
1.用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
2.向量在物理中的应用
(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．
(2)用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
【经典例题】
例1．在三角形中，，则三角形的形状是　　
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
例2．已知点，，不在同一条直线上，点为该平面上一点，且，则　　
A．点在线段上
B．点在线段的反向延长线上
C．点在线段的延长线上
D．点不在直线上
例3．如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．
（1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小．
例4．设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．
（1）求的大小；
（2）求，的大小．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．已知作用在坐标原点的三个力，，，则作用在原点的合力的坐标为　　
A．
B．
C．
D．
2．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：约为　　
（参考数据：取重力加速度大小为，
A．63
B．69
C．75
D．81
3．已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为　　
A．
B．
C．
D．
4．一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为　　
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共2小题）
5．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为．给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；
②的范围为，；
③当时，；
④当时，．
其中正确结论的序号是　　．
6．如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则的大小为　　，的大小为　　．
三．解答题（共2小题）
7．如图所示，有两条相交成的直线、，其交点是，甲、乙两辆汽车分别在、上行驶，起初甲离点，乙离点，后来两车均以的速度，甲沿方向，乙沿方向行驶．
（1）起初两车的距离是多少？
（2）小时后两车的距离是多少？
（3）何时两车的距离最短？
8．如图，两条绳提一个物体，每条绳的拉力大小均为，这时两条绳的夹角为，求物重的大小．
参考答案
例题答案
1．【解答】解：，
，
则三角形的形状是直角三角形．
故选：．
2．【解答】解：，
点是线段的中点，
即点在线段的反向延长线上．
故选：．
3．【解答】解：设，，，
则由题意知，，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形为平行四边形．
（1）由此人朝正南方向游去得四边形为矩形，且，如下图所示，
则在直角中，，（2分）
，又，所以；（5分）
（2）由题意知，且，，如下图所示，
则在直角中，，（8分）
，
又，所以，
则，（11分）
答：（1）他实际前进方向与水流方向的夹角为，的大小为；
（2）他游泳的方向与水流方向的夹角为，的大小为．（12分）
4．【解答】解：（1）由题意
，，且与的夹角为，
（2），
，
，
，
，．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：，，，
则，，．
故选：．
2．【解答】解：由题意知，，夹角，
所以，
即；
所以；
，
则该学生的体重（单位：约为，
故选：．
3．【解答】解：由题意可知：对应向量如图
由于，的大小为．
故选：．
4．【解答】解：如图所示，
渔船实际航行的速度为
；
大小为
．
故选：．
二．填空题（共2小题）
5．【解答】解：对于①，由为定值，
所以，
解得；
由题意知时，单调递减，所以单调递增，
即越大越费力，越小越省力；①正确．
对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误．
对于③，当时，，所以，③错误．
对于④，当时，，所以，④正确．
综上知，正确结论的序号是①④．
故答案为：①④．
6．【解答】解：根据题意，，如图所示：
，，，
，
的大小为，的大小为．
故答案为：．
三．解答题（共2小题）
7．【解答】解：（1）设甲、乙两车最初的位置为、，
则．
故．
（2）设甲、乙两车小时后的位置分别为、，
则．
当时，；
当时，．
上面两式可统一为，
即．
（3）因为，
故当，即在第10分钟末时，两车距离最短，最短距离为．
8．【解答】解：由题意，物体的重量与每条绳用力的合力的大小相等，
根据每条绳用力，且两条绳的夹角是，可得，
所以，
所以，
即二力的合力大小为，
所以物体的重量为．