人教版八年级数学 下册 第十八章 18.2.1 矩形 课件 第1课时 矩形的性质（共38张PPT）

(共38张PPT)
温故知新
1.什么是平行四边形？
2.平行四边形的性质有哪些？
3.平行四边形的判定方法有哪些？
下面图形,是我们学过的什么图形？
导入新课
想一想：长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
导入新课
18.2.1　矩形
人教版八年级数学
下册
第1课时
矩形的性质
学习目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与
联系。
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问
题。
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用。
独木桥
　　
　
当独木桥静止时，平行四边形ABCD中有一个
角成直角，此时平行四边形ABCD是什么图形？
　　有一个角是直角
的平行四边形叫做矩
形．
　　小学中学习过的
长方形是矩形吗？正
方形是矩形吗？
A
B
C
D
目标导学一：矩形的性质
BY
YUSHEN
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形.
【注意】
1、矩形是一种特殊的平行四边形。
2、平行四边形不一定是矩形。
【矩形的条件】①平行四边形；②其中有一个角是直角。
A
B
Ｄ
Ｃ
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
=90°，AC=DB.
知识归纳
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
合作探究
BY
YUSHEN
A
B
Ｄ
Ｃ
A
B
Ｄ
Ｃ
O
猜想1：任意画一矩形，通过测量你发现∠A,∠B,∠C,∠D之间有什么关系？
猜想2：任意画一矩形，通过测量你发现两条对角线之间有什么关系？
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AO=OC,
BO=OD
AC=BD
合作探究
证明猜想1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴
∠A=90°.
又矩形ABCD是平行四边形,
∴
∠A=∠C
,
∠B
=
∠D,
∠A
+∠B
=
180°,
∴
∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
即矩形的四个角都是直角.
合作探究
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC
=
BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中,
∵∠ABC
=
∠DCB
=
90°.
又∵AB
=
DC
，
BC
=
CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴AC
=
BD
,即矩形的对角线相等.
证明猜想2:矩形的对角线相等.
合作探究
例1
如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4
,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD，
OA=
OC=
AC,OB
=
OD
=
BD
,
∴OA
=
OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
矩形的对角线相等且互相平分
精典例题
例2
如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE
,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD
=AE,∴∠AED
=∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
精典例题
例3
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝
DE·AB＝
×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
精典例题
　　矩形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴，
并用轴对称性质解析矩形的性质．
B　
C　
D　
A　
O
O
B　
C　
D　
A　
合作交流
请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.??矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
矩形的性质：
对称性：
.
对称轴：
.
轴对称图形
2条
合作交流
矩形的
两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形
的两条对角线相等
边
对角线
角
矩形的性质
知识归纳
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是(
)
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
D
即学即练
2.
已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为（
）
　A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
3.
矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于
（
）
　A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
D
A
即学即练
4.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
AO＝
AC，BO＝
BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
即学即练
A
　
B
　
C
　
D
　
O
　
　　如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能
得到什么结论？
B
C
O
A
　　Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜
边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形
都成立吗？
目标导学二：直角三角形斜边上的中线的性质
O
C
B
A
D
证明:
延长BO至D,
使OD=BO,
连接AD、DC.
∵AO=OC,
BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:
BO
=
AC
?
∴BO=
BD=
AC.
1.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质
合作探究
例4
已知矩形ABCD的两条对角线相交于点0，∠AOD=120°，AB
=
4cm，
（1）求矩形对角线的长。（2）求BC边的长。
O
D
C
B
A
解:
(1)
∵
AC
、BD为矩形ABCD的对角线
（矩形的对角线相等且相互平分）
∵OA=
OB
又∵
∠AOD=120°
∴∠AOB
=
60°
∴
△AOB
是等边三角形
∴AC
=BD=
2OA=8cm.
∴AB=OA=OB=4cm
即矩形对角线的长度是8cm。
（有一个角是
60度的等腰三角形是等边三角形）
精典例题
例5：如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO
的度数．
精典例题
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝
AC，BO＝
BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
精典例题
例6
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝
BC，DG＝
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
规律
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
　
2.
已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为
(
)
　A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
D
即学即练
　　三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角
三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个
人的位置对每个人公平吗？请说明理由．
A
B
C
O
精典例题
　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
　　矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两
条对称轴．
矩形　
矩形的对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分．
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
课堂小结
1.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于(???
)
A.100°
B．110°
C．125°
D．135°
检测目标
B
2.三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长是（　　）
A．2.5
B．5
C．10
D．20
B
检测目标
3.若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（　　）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
C
检测目标
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，若CD＝BC，则∠A的度数为(
)
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
B
检测目标
5.如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠BOC＝120°，AB＝3，则BD的长是(
)
A.5
B.6
C.7
D.8
B
检测目标
6.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
=
S矩形ABCD=
×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴
AO·PE+
DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF=
.
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题