第十八章 平行四边形过关检测题（含答案）
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人教版八年级数学下册
第十八章
过关检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知?ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为
( )
A．4 B．12 C．24 D．28
2．在平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D的度数是( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
3．如图所示，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有
( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某个合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是
( )
A．测量对角线是否互相平行
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
5．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB＝3，则BC的长为( )
A．1
B．2
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝
( )
A．
B．
C．12
D．24
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
7．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
8．已知四边形ABCD，下列说法正确的是
( )
A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD，AC⊥BD，四边形ABCD是正方形
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DG＝3，EC＝1，则DE的长为
( )
A．2
B．
C．2
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为
( )
A．2
B．3
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝270°，则∠C＝
.
12．学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6
m和8
m，则这个花圃的面积为
.
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2
cm，∠B＝60°，BC＝4
cm，则平行四边形ABCD的面积是
cm2.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
如图，直线AE∥BD，点C在直线BD上且AE＝5，BD＝8，
S△ABD＝16，则S△ACE＝
.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.MN∥AB交AD于点M，交BC于点N，在MN上任取一点P、Q，则S阴影＝
.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
16．如图，菱形ABCD的边长为8
cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为
cm2.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))
17．菱形的周长为20
cm，两个相邻的内角度数之比为1∶2，则较长的对角线的长度是
cm.
18．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为
.
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，已知AD＝8，AB＝10，BD＝6.求BC、CD、OB、OA及此平行四边形的面积．
20.(10分)如图，在?ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
21．(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
22．(10分)如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.
(1)求证：四边形EFCD是菱形；
(2)设CD＝4，求D，F两点间的距离．
23.(12分)如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB、BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)求证：∠BAE＝∠FEC；
(2)求证：△AGE≌△ECF；
(3)求△AEF的面积．
24．(16分)在?ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点．连接EG、GF、FH、HE.
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是________；
(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知?ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为
( B )
A．4 B．12 C．24 D．28
2．在平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D的度数是( B )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
3．如图所示，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有
( B )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某个合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是
( D )
A．测量对角线是否互相平行
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
5．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB＝3，则BC的长为( D )
A．1
B．2
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝
( A )
A．
B．
C．12
D．24
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
7．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是( B )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
8．已知四边形ABCD，下列说法正确的是
( B )
A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD，AC⊥BD，四边形ABCD是正方形
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DG＝3，EC＝1，则DE的长为
( C )
A．2
B．
C．2
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为
( A )
A．2
B．3
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝270°，则∠C＝__45°__．
12．学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6
m和8
m，则这个花圃的面积为__24_m2__．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2
cm，∠B＝60°，BC＝4
cm，则平行四边形ABCD的面积是__4__cm2.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
如图，直线AE∥BD，点C在直线BD上且AE＝5，BD＝8，
S△ABD＝16，则S△ACE＝__10__．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.MN∥AB交AD于点M，交BC于点N，在MN上任取一点P、Q，则S阴影＝__5__．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
16．如图，菱形ABCD的边长为8
cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为__16__cm2.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))
17．菱形的周长为20
cm，两个相邻的内角度数之比为1∶2，则较长的对角线的长度是__5__cm.
18．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为__5或6__．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，已知AD＝8，AB＝10，BD＝6.求BC、CD、OB、OA及此平行四边形的面积．
解：由已知可直接写出BC＝8，CD＝10，OB＝3，
由AD2＋BD2＝AB2可知，△ADB为直角三角形，且∠ADB＝90°，∴OA＝＝＝.
S＝AD·DB＝8×
6＝48.
20.(10分)如图，在?ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，FG⊥CD.
∴∠AEB＝∠GFD＝90°.
又∵DF＝BE，
∴△ABE≌△GDF，∴AB＝DG，∴DG＝DC.
21．(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD.∴BE＝CD.
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴?BECD是矩形．
22．(10分)如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.
(1)求证：四边形EFCD是菱形；
(2)设CD＝4，求D，F两点间的距离．
证明：(1)如图．∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴∠1＝∠A＝60°，∠3＝∠2＝60°，DE＝DC，
∴∠1＝∠3，∴DE∥CF.
又∵EF∥AB，
∴∠4＝∠A＝60°，∴∠4＝∠2，∴EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形．
∵DE＝DC，
∴四边形EFCD是菱形．
如图，连接DF交EC于点O，
∵四边形EFCD是菱形，
∴OD＝OF，DF⊥EC，
在Rt△DOC中，由∠2＝60°得∠ODC＝30°，∴OC＝CD＝2.
由勾股定理，得OD＝＝＝2.
∴DF＝2OD＝4.
23.(12分)如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB、BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)求证：∠BAE＝∠FEC；
(2)求证：△AGE≌△ECF；
(3)求△AEF的面积．
(1)证明：∵∠AEF＝90°，
∴∠FEC＋∠AEB＝90°.在Rt△ABE中，∠AEB＋∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC；
(2)证明：∵G、E分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，
∴AG＝GB＝BE＝EC，
∴∠AGE＝180°－45°＝135°.又∵CF是∠DCH的平分线．
∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝90°＋45°＝135°.
∴∠AGE＝∠ECF，
又∵∠BAE＝∠FEC，∴△AGE≌△ECF(ASA)；
证明：由△AGE≌△ECF，得AE＝EF，
又∵∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．由AB＝a，BE＝a，
知AE＝a，∴S△AEF＝a2.
24．(16分)在?ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点．连接EG、GF、FH、HE.
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是________；
(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
解：(1)四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵?ABCD的对角线AC、BD交于点O.
∴点O是?ABCD的对称中心．
∴EO＝FO，GO＝HO.
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)菱形．(3)菱形．(4)四边形EGFH是正方形．
∵AC＝BD，∴?ABCD是矩形．
又∵AC⊥BD，∴?ABCD是菱形．∴?ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°.OB＝OC.
∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°.
∴∠BOG＝∠COF，∴△BOG≌△COF，∴OG＝OF，∴GH＝EF.
由(1)知四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，EF＝GH.
∴四边形EGFH是正方形．
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精品试卷·第
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人教版八年级数学下册
第十八章
过关检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知?ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为
( )
A．4 B．12 C．24 D．28
2．在平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D的度数是( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
3．如图所示，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有
( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某个合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是
( )
A．测量对角线是否互相平行
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
5．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB＝3，则BC的长为( )
A．1
B．2
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝
( )
A．
B．
C．12
D．24
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
7．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
8．已知四边形ABCD，下列说法正确的是
( )
A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD，AC⊥BD，四边形ABCD是正方形
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DG＝3，EC＝1，则DE的长为
( )
A．2
B．
C．2
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为
( )
A．2
B．3
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝270°，则∠C＝
.
12．学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6
m和8
m，则这个花圃的面积为
.
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2
cm，∠B＝60°，BC＝4
cm，则平行四边形ABCD的面积是
cm2.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
如图，直线AE∥BD，点C在直线BD上且AE＝5，BD＝8，
S△ABD＝16，则S△ACE＝
.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.MN∥AB交AD于点M，交BC于点N，在MN上任取一点P、Q，则S阴影＝
.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
16．如图，菱形ABCD的边长为8
cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为
cm2.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))
17．菱形的周长为20
cm，两个相邻的内角度数之比为1∶2，则较长的对角线的长度是
cm.
18．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为
.
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，已知AD＝8，AB＝10，BD＝6.求BC、CD、OB、OA及此平行四边形的面积．
20.(10分)如图，在?ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
21．(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
22．(10分)如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.
(1)求证：四边形EFCD是菱形；
(2)设CD＝4，求D，F两点间的距离．
23.(12分)如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB、BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)求证：∠BAE＝∠FEC；
(2)求证：△AGE≌△ECF；
(3)求△AEF的面积．
24．(16分)在?ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点．连接EG、GF、FH、HE.
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是________；
(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知?ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为
( B )
A．4 B．12 C．24 D．28
2．在平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D的度数是( B )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
3．如图所示，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有
( B )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某个合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是
( D )
A．测量对角线是否互相平行
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
5．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB＝3，则BC的长为( D )
A．1
B．2
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝
( A )
A．
B．
C．12
D．24
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
7．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是( B )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
8．已知四边形ABCD，下列说法正确的是
( B )
A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD，AC⊥BD，四边形ABCD是正方形
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DG＝3，EC＝1，则DE的长为
( C )
A．2
B．
C．2
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为
( A )
A．2
B．3
C．
D．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知平行四边形ABCD中，∠B＋∠D＝270°，则∠C＝__45°__．
12．学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6
m和8
m，则这个花圃的面积为__24_m2__．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2
cm，∠B＝60°，BC＝4
cm，则平行四边形ABCD的面积是__4__cm2.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
如图，直线AE∥BD，点C在直线BD上且AE＝5，BD＝8，
S△ABD＝16，则S△ACE＝__10__．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.MN∥AB交AD于点M，交BC于点N，在MN上任取一点P、Q，则S阴影＝__5__．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
16．如图，菱形ABCD的边长为8
cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为__16__cm2.
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))
17．菱形的周长为20
cm，两个相邻的内角度数之比为1∶2，则较长的对角线的长度是__5__cm.
18．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为__5或6__．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，已知AD＝8，AB＝10，BD＝6.求BC、CD、OB、OA及此平行四边形的面积．
解：由已知可直接写出BC＝8，CD＝10，OB＝3，
由AD2＋BD2＝AB2可知，△ADB为直角三角形，且∠ADB＝90°，∴OA＝＝＝.
S＝AD·DB＝8×
6＝48.
20.(10分)如图，在?ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，FG⊥CD.
∴∠AEB＝∠GFD＝90°.
又∵DF＝BE，
∴△ABE≌△GDF，∴AB＝DG，∴DG＝DC.
21．(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD.∴BE＝CD.
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴?BECD是矩形．
22．(10分)如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.
(1)求证：四边形EFCD是菱形；
(2)设CD＝4，求D，F两点间的距离．
证明：(1)如图．∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴∠1＝∠A＝60°，∠3＝∠2＝60°，DE＝DC，
∴∠1＝∠3，∴DE∥CF.
又∵EF∥AB，
∴∠4＝∠A＝60°，∴∠4＝∠2，∴EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形．
∵DE＝DC，
∴四边形EFCD是菱形．
如图，连接DF交EC于点O，
∵四边形EFCD是菱形，
∴OD＝OF，DF⊥EC，
在Rt△DOC中，由∠2＝60°得∠ODC＝30°，∴OC＝CD＝2.
由勾股定理，得OD＝＝＝2.
∴DF＝2OD＝4.
23.(12分)如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB、BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)求证：∠BAE＝∠FEC；
(2)求证：△AGE≌△ECF；
(3)求△AEF的面积．
(1)证明：∵∠AEF＝90°，
∴∠FEC＋∠AEB＝90°.在Rt△ABE中，∠AEB＋∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC；
(2)证明：∵G、E分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，
∴AG＝GB＝BE＝EC，
∴∠AGE＝180°－45°＝135°.又∵CF是∠DCH的平分线．
∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝90°＋45°＝135°.
∴∠AGE＝∠ECF，
又∵∠BAE＝∠FEC，∴△AGE≌△ECF(ASA)；
证明：由△AGE≌△ECF，得AE＝EF，
又∵∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．由AB＝a，BE＝a，
知AE＝a，∴S△AEF＝a2.
24．(16分)在?ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点．连接EG、GF、FH、HE.
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是________；
(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
解：(1)四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵?ABCD的对角线AC、BD交于点O.
∴点O是?ABCD的对称中心．
∴EO＝FO，GO＝HO.
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)菱形．(3)菱形．(4)四边形EGFH是正方形．
∵AC＝BD，∴?ABCD是矩形．
又∵AC⊥BD，∴?ABCD是菱形．∴?ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°.OB＝OC.
∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°.
∴∠BOG＝∠COF，∴△BOG≌△COF，∴OG＝OF，∴GH＝EF.
由(1)知四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，EF＝GH.
∴四边形EGFH是正方形．
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精品试卷·第
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