3.1.2椭圆的简单几何性质
学习目标
掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单性质；
能利用椭圆的简单几何性质来求椭圆的方程；
能利用椭圆的简单几何性质分析简单有关问题；
理解数形结合思想。
重点、难点：
重点:
椭圆的几何性质．
难点：椭圆性质的理解和应用.
课前案
问题导入
椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？
什么是椭圆的离心率？离心率的变化范围是什么？
椭圆的离心率与椭圆的形状有何关系？
课中案
求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。
变式练习：
求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标。
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
经过P（-3,0），Q(0,-2)两点
长轴长等于20，离心率等于
变式练习：
求是和下列条件的椭圆的标准方程
过点（3,0），离心率e=；
过点M（1,2），且与椭圆有相同的离心率。
（1）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
（2）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围
思维导图
课后案
一、单选题
1．椭圆的焦点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知正数m满足，则椭圆的焦点坐标为（
）
A．
B．
C．或
D．或
3．直线过椭圆的一个焦点，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
4．椭圆的焦距是2，则的值是（
）
A．9
B．12或4
C．9或7
D．20
5．若椭圆的焦距为，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．已知椭圆的一个焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程为_______．
8．在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________.
9．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为________.
三、解答题
10．已知椭圆的中心为，左、右焦点分别为、，上顶点为，右顶点为，且、、成等比数列.
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断的形状，并说明理由.
1(共22张PPT)
3.1.2椭圆的简单
几何性质(一)
复习椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
椭圆定义的符号表述：
2a=2c
线段
2a<2c
无轨迹
教学内容：椭圆的简单几何性质.
教学目标：1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率的简单性质。
2.能利用椭圆的简单性质求椭圆方程。
3.能利用椭圆的简单性质分析解决有关问题。
4.理解数形结合思想。
教学重点：1.椭圆离心率变化对椭圆形状的影响;
2.用代数方法求椭圆的离心率.
对称轴
顶点
由
图像可知
探究一、范围
o
x
y
说明：椭圆内切于红色矩形.
思考：如何求解红色四条直线的方程？
由
即
代数变形
同理
讨论1：
椭圆的范围如何
由代数变形得到？
o
x
y
探究二、椭圆的对称性
在
中
将右半图像沿y轴旋转
结论：椭圆关于y轴对称
图像变换
探究二、椭圆的对称性
在
中
将上半图像沿x轴旋转
结论：椭圆关于x轴对称
图像变换
在
中
椭圆关于
轴对称；
说明：
椭圆关于
轴对称；
探究二、椭圆的对称性
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
o
x
y
故，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心
方程变换
把
换成
，把
换成
,方程不变，
椭圆关于
原点对称；
讨论2：
如何由方程的变换
证明对称性？
o
x
y
B2(0,b)
B1(0,-b)
在
中，
令
x=0，得
y=？，说明椭圆与
y轴的交点
令
y=0，得
x=？，说明椭圆与
x轴的交点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
讨论3：
你能由椭圆的方程得出椭圆与坐标轴交点的坐标吗？
探究三、椭圆的顶点
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
在
中，
a
b
c
探究三、椭圆的顶点
o
x
y
B2(0,b)
B1(0,-b)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率。
∴0o
x
y
e越接近1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆越接近于圆.
讨论4：离心率对椭圆的形状有什么影响？
探究四、椭圆的离心率
代数变形
探究四、椭圆的离心率
它的长轴长是：
.短轴长是：
.
焦距是：
.
离心率等于：
.
焦点坐标是：
.顶点坐标是：
.
外切矩形的面积等于：
.
10
8
6
80
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400
题型一：求椭圆的几何性质
已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是：
.短轴长是：
.
焦距是：
.
离心率等于：
.
焦点坐标是：
.
顶点坐标是：
.
外切矩形的面积等于：
.
变式练习：
例2
题型二：由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程
例3.若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的３倍，则椭圆的离心率＝
Y
O
F
题型三：求椭圆的离心率
变式练习：若椭圆的长轴长不大于短轴长的２倍，则椭圆的离心率
.
标准方程
图
象
范
围
对
称
性
顶点坐标
焦点坐标
半
轴
长
焦
距
a,b,c关系
离
心
率
|x|≤
a,|y|≤
b
|x|≤
b,|y|≤
a
（
a
,0
）,(0,
b)
（
b
,0
）,(0,
a)
(
c,0)
(0,
c)
长半轴长为a,
短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称。
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称。
焦距为2c;
a2=b2+c2
讨论5：
焦点在y轴的情况又如何？
x
y
x
y
长半轴长为a,
短半轴长为b.
作业：
1，教材P110探究
2，教材P112，习题
5、6、7
3，预习教材
2.2双曲线
