四川省川大附中2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

川大附中2021届高三上半期考试数学试题(文科)
(时间：120分钟 满分：150分)
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知全集false，集合false，false，则false=（ ）
A．false B．false C．false D．false
2. 若复数false满足false，则下列说法正确的是（ ）
A．false的虚部为2 B．false为实数 C．false D．false
3. 设false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 已知变量false满足约束条件false，则false的最大值（ ）
A．false B．1 C．4 D．8
5. 记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（ ）
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
6. 函数y=falsesin2x的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知false，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8. 在△ABC中，false，BC＝1，AC＝5，则AB等于（ ）
A．4 B. C. D．2
467296595259. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．false B．false C．false D．false
10. 已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于（ ）
A．93 B．189 C． D．378
11. 已知false是定义域为false的奇函数，满足false．若false，则falsefalse（ ）
A．false B．0 C．2 D．50
12. 双曲线C：false的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）
A．2sin40° B．2cos40° C．false D．false
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.
13. 曲线false在点（1，2）处的切线方程为 ．
14. 直线false与圆false交于false两点，则false ．
15. 已知向量false，false，false．若false，则false ．
16. 给出以下命题：
（1）已知回归直线方程为false，样本点的中心为false，则false；
（2）已知false，false与false的夹角为钝角，则false是false的充要条件；
（3）函数false图象关于点false对称且在false上单调递增；
（4）命题“存在false”的否定是“对于任意false”.
其中不正确的命题序号为 ．
三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）
46482002413017. （12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
18. （12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．





19. （12分）已知向量false，false，其中false，函数false，若函数false图象的两个相邻对称中心的距离为false.
（1）求函数false的单调递增区间；
（2）将函数false的图象先向左平移false个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数false的图象，当false时，求函数false的值域．




20. （12分）已知椭圆false的上顶点为false，左、右焦点分别为false，false，离心率false，false的面积为false．
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）直线false与椭圈false相交于点false，false，则直线false，false的斜率分别为false，false，且false，其中false是非零常数，则直线false是否经过某个定点false？若是，请求出false的坐标．
21. （12分）已知函数false（a为实常数）
（1）当false时，求函数false在false上的最大值及相应的x值；
（2）当false时，讨论方程false的根的个数；
选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）
22. 选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）
在直角坐标系false中，以坐标原点false为极点，false轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false，曲线false的极坐标方程为false.
（1）求曲线false、false的直角坐标方程;
（2）设曲线false、false交于点false、false，曲线false与false轴交于点false，求线段false的中点到点false的距离.



23. 选修4-5（不等式选讲）（10分）
已知函数false.
（1）解不等式false；
（2）若false，false，且false，求证：false.




川大附中2021届高三上半期考试数学试题(文科)
(时间：120分钟 满分：150分)
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知全集false，集合false，false，则false=（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】∵false，∴false.故选A.
2. 若复数false满足false，则下列说法正确的是（ ）【答案】C
A．false的虚部为2 B．false为实数 C．false D．false
3. 设false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】由false可得false，易知由false推不出false，
由false能推出false，故false是false的必要而不充分条件，
即“false”是“false”的必要而不充分条件.故选B.
4. 已知变量false满足约束条件false，则false的最大值（ ）【答案】D
A．false B．1 C．4 D．8
5. 记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（ ）
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
解　设等差数列{an}的公差为d，∵∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.
6. 函数y=falsesin2x的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令false，因为false，所以false为奇函数，排除选项A,B;因为false时，false，所以排除选项C，故选D．
7. 已知false，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】∵false，false，false，
∴false.故选A.
8. 在△ABC中，false，BC＝1，AC＝5，则AB等于（ ）答案　A
A．4 B. C. D．2
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 【答案】A
A．false B．false C．false D．false
【解析】由三视图知：几何体是以半径为1，母线为3的半圆锥，（如图）
false可得该圆锥的高false．底面面积false，几何体的体积false
10. 已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于（ ）答案　B
A．93 B．189 C. D．378
11. 已知false是定义域为false的奇函数，满足false．若false，则falsefalse（ ）
A．false B．0 C．2 D．50
【解析】因为false是定义域为false的奇函数，且false，
所以false,
因此false，
因为false，所以false，
因为false，从而false.故选C．
12. 双曲线C：false的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）
A．2sin40° B．2cos40° C．false D．false
【解析】由已知可得false，
false，故选D．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.
13. 曲线false在点（1，2）处的切线方程为 ．
【解析】设false，则false，所以false，
所以曲线false在点false处的切线方程为false，即false．
14. 直线false与圆false交于false两点，则false ．
【解析】根据题意，圆的方程可化为false，所以圆的圆心为false，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得false，
结合圆中的特殊三角形，可知false，故答案为false.
15. 已知向量false，false，false．若false，则false ．
【解析】由题可得false，false，false，false，即false，故答案为false.
16. 给出以下命题：
（1）已知回归直线方程为false，样本点的中心为false，则false；
（2）已知false，false与false的夹角为钝角，则false是false的充要条件；
（3）函数false图象关于点false对称且在false上单调递增；
（4）命题“存在false”的否定是“对于任意false”.
其中不正确的命题序号为 ．【答案】（2）（4）
【解】（1）根据回归直线恒过样本的中心点，可得false，故正确；
（2）由false有false，false与false的夹角为钝角或平角，所以根据充要条件的定义可判断错误.故错误；
（3）把false代入函数false，函数值为false，所以函数false关于false对称，由false，可得false所以函数在false上是递增的.所以函数在false上是递增的.故正确；
（4）命题“存在false，false”的否定是“对于任意false，false”故错误；
故答案为：（2）（4）．
三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）
17. （12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．
【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB. 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED. 又因为ED?平面DEC1，A1B1false平面DEC1， 所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC?A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
18. （12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，
因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，
则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=false．

19. （12分）已知向量false，false，其中false，函数false，若函数false图象的两个相邻对称中心的距离为false.
（1）求函数false的单调递增区间；
（2）将函数false的图象先向左平移false个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数false的图象，当false时，求函数false的值域．
解　（1）由题意可得f?(x)＝m·n＋3＝2cos ωx(sin ωx－cos ωx)－2＋3
＝2sin ωxcos ωx－(2cos2ωx－1)＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.
由题意知，T＝＝π，得ω＝1，
则f?(x)＝sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f?(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
（2）将f?(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到g(x)＝sin的图象．
∵x∈，∴4x＋∈，∴－1≤sin≤，故函数g(x)的值域为[－，1]．
20. （12分）已知椭圆false的上顶点为false，左、右焦点分别为false，false，离心率false，false的面积为false．
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）直线false与椭圈false相交于点false，false，则直线false，false的斜率分别为false，false，且false，其中false是非零常数，则直线false是否经过某个定点false？若是，请求出false的坐标．
解：（1）因为false，false的面积false，且false，
故解得false，false，false，则false，false，则椭圆false的标准方程为false．
（2）假设false，false，
直线与椭圆联立得false消去false整理得false，
则false，false，又因为false，
所以false，false，则false，
即false，代入韦达定理得false，
即false，化简得false，因为false，则false，
即false，false代入直线得false，
所以恒过false，故直线false经过定点false．
21. （12分）已知函数false（a为实常数）
（1）当false时，求函数false在false上的最大值及相应的x值；
（2）当false时，讨论方程false的根的个数；
解：（1）当false时，false，函数的定义域为false．
false．当false时，false，
所以函数false在false上为减函数，在false上为增函数．
false，false，
所以函数false在false上的最大值为false，相应的x值为e．
（2）由false，得false．若false，则在false上false，
函数false在false上为增函数，由false知，方程false的根的个数是0；
若false，由false，得false（舍）或false．
若false，即false，false在false上为增函数，
由false知，方程false的根的数是0；
若false，即false，false在false上为减函数，
又false，false，所以方程false在false上有1个实数根；
若false，即false，false在false上为减函数，在false上为增函数，
又false，false．false．
当false，即false时，false，方程false在false上的根的个数是0；
当false时，方程false在false上的根的个数是1；
当false时，false，false，方程false在false上的根的个数是2；
当false时，false，false，方程false上的根的个数是1．
选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）
22. 选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）
在直角坐标系false中，以坐标原点false为极点，false轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false，曲线false的极坐标方程为false.
（1）求曲线false、false的直角坐标方程;
（2）设曲线false、false交于点false、false，曲线false与false轴交于点false，求线段false的中点到点false的距离.
【解】（1）曲线false的极坐标方程可以化为false，
所以曲线false的直角坐标方程为false，即false.
曲线false的极坐标方程可以化为false，
所以曲线false的直角坐标方程为false；
（2）易知点false的坐标为false，直线false的倾斜角为false，
所以false的参数方程为false（false为参数）.
将false的参数方程代入曲线false的直角坐标方程得false，
整理得false，判别式false，
设false、false对应的参数分别为false、false，则线段false的中点对应的参数为false，
所以线段false的中点到点false的距离为false.
23. 选修4-5（不等式选讲）（10分）
已知函数false.
（1）解不等式false；
（2）若false，false，且false，求证：false.
（1）解　依题意，原不等式等价于|x－1|＋|x＋3|≥8.当x<－3时，则－2x－2≥8，解得x≤－5.
当－3≤x≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为?.当x>1时，则2x＋2≥8，解得x≥3.
所以不等式f (x)＋f (x＋4)≥8的解集为{x|x≥3或x≤－5}．
(2)证明　要证f (ab)>|a|·f?，只需证|ab－1|>|b－a|，只需证(ab－1)2>(b－a)2.
因为|a|<1，|b|<1，知a2<1，b2<1，所以(ab－1)2－(b－a)2＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)>0.
故(ab－1)2>(b－a)2成立．从而原不等式成立．