四川省川大附中2021届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案

川大附中2021届高三上期末考试数学试题(理科)
(时间：120分钟 满分：150分)
第一部分（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2. 复数false（false为虚数单位）的共轭复数的虚部是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3. 在等差数列false中，若false，则数列false的前13项和false（ ）
A．260 B．520 C．1040 D．2080
40246301187454. 某学校为了解传统教学和网络直播的课堂教学情况，选取20人，平均分成同样水平的两组，甲组采用网络直播教学，乙组采用传统教学，一学期后，根据他们的期末成绩绘制如图的茎叶图，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5. 已知向量false，false，false，则false在false上的投影是（ ）
A．4 B．2 C．false D．false
6. 函数false在区间false上存在最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
32111951664335
7. 已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图是用斜二测画法所画出的直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为（ ）
A．1 B．false C．2 D．2false
8. 将函数false向左至少平移多少个单位，使得到的图像关于false轴对称（ ）
A.false B.false C.false D.false
9. 已知false，false，false，则false，false，false的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10. 已知抛物线false：false，焦点为false，直线false：false，点false，线段false与抛物线false的一个交点为false，若false，则false（ ）．
A．false B．false C．false D．false
417449021272511. 过双曲线falsefalse的右焦点false作垂直于渐近线的直线false交两渐近线于false、false两点，false、false分别在一、四象限，若false，则双曲线false的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12. 已知函数false，false，若false，false，则false的最小值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应的横线上.
13. false的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于
14. 已知false，false满足约束条件false则目标函数false的最大值为
15. 已知正项数列false满足false，false，数列false满足false，记false的前n项和为false，则false的值为
16. 在边长为2的菱形false中，false，将菱形false沿对角线false折起，使得平面false平面false，则所得三棱锥false的外接球表面积为
三、解答题（本大题共7小题，其中17-21题为必做题，每题12分，在22、23题选做一题，10分，共70分）
386715012700017. （12分）如图，在斜△ABC中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且false，D为边BC上一点，false，false，false.
（1）求角B的大小；
（2）求false的面积.
3786505716915
18.（12分）如图，点false是以false为直径的圆上的动点（异于false，false），已知false，false，四边形false为矩形，平面false平面false.设平面false与平面false的交线为false.
（1）证明：false平面false；
（2）当三棱锥false的体积最大时，求直线false与平面false所成角的正弦值.
19.（12分）去年下半年，由于受非洲猪瘟的影响，各大养猪场面临巨大挑战。现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在false内的猪分为三个成长阶段，如下表：
阶段
幼年期
成长期
成年期
重量（Kg）
false
false
false
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布false.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为false，false.
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期健康合格的猪，则可盈利600元，若不合格，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期健康合格的猪，则可盈利500元，若不合格，则亏损200元. 假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场售完所有成年猪的总利润的均值.
（参考数据：若false，false，false，false）
20.（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为false，且椭圆的离心率为false.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点false作直线l交C于P?Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使false为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（12分）已知函数false.
（1）讨论函数false的单调性；
（2）当false时，设函数false的两个零点为false，false，试证明：false.
选做题：（请在下面题目中选择一题完成，注意在答题卡对应位置将你选择的题号用2B铅笔填涂，并将选做题目答案写在规定区域）
22. 选修4-4（极坐标与参数方程）（10分）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为false，曲线C的极坐标方程为false
（1）求直线l和曲线C的普通方程
（2）直线l与y轴交于点M，与曲线C交于P，Q两点，求|MP|+|MQ|的值
川大附中2021届高三上期末考试数学试题(理科)答案
(时间：120分钟 满分：150分)
1.D.
2. C．
3. C.
4. false．
5. D.
6. D.
7. B.
8. B.
9. B
10. C．
11. A.
12. C
13. 6
14. 13
15. 2
16. false.
17.
解：（1）由题意false，所以false
结合余弦定理可求得false，又因为false，
所以false.
（2）设false.在false中，false，false，false.
由正弦定理得false，解得false.因为false，
所以false为锐角，从而false.
因此false
false.
所以false的面积falsefalsefalse.
18.
（1）证明：因为四边形false为矩形，所以false，
因为false是以false为直径的圆上的圆周角，所以false，
因为false，false，false平面false，所以false平面false
因为false，false平面false，false面false，所以false平面false.
平面false与平面false的交线为false，得false.因此false平面false.
3858895318770（2）解：因为平面false平面false，平面false平面false，false，false平面false，所以false平面false。
故false，
欲使三棱锥false的体积最大，则false最大，因为false在圆周上运动，所以当点false为直径false的中垂线与圆周的交点时满足题意。由（1）知，false，所以直线false与平面false所成角即为直线false与平面false所成角。易得false，false，所以false，
以false为坐标原点，以false，false，false所在直线分别为false轴，false轴，false轴建立空间直角坐标系。则false，false，false，false，所以false，false，false，设平面false的法向量false，
则false，令false，故false.
设false为直线false与平面false所成角，则false，
故直线false与平面false所成角的正弦值为false。
19.
解：（1）设各阶段猪的数量分别为false，∵猪的体重false近似服从正态分布false，
false，
false（头）；
false
false（头）；
false，
false（头）
∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头．
（2）记false为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，则false的所有可能取值为1100，400，false
false，
false的分布列为
false
1100
400
false
false
false
false
false
false（元），
由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则售完所有成年猪的总利润的均值为false（元）．
20.
解：（1）由题意得：false，解得false，又false，
所以椭圆C的方程为：false.
（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：false，false，
联立直线与曲线方程false，整理得：false，
则false，false，
假设存在定点false，使得false为定值，
则false
falsefalse
falsefalse
false=false.
当且仅当false，即false时，false(为定值)，这时false，
当直线l与x轴重合时，此时false，false，false，false，false，当false时，false(为定值)，满足题意.所以存在定点false使得对于经过false点的任意一条直线l均有false.
21.
解：（1）易得函数false的定义域为false.对函数false求导得：false.
当false时，false恒成立，即可知false在false上单调递增；
当false时，当false时，false，当false时，false，
故false在false上单调递增，在false上单调递减.
（2）当false时，false，false，
此时false在false上单调递增，在false上单调递减.
false，又false，false，
不妨设false，则有false，令false，false，
false.
当false时，false，false单调递增，
false，false，false，
又false，false，
false，false，false在false上单调递减，false，即false.
22.
解：（1）将false的极坐标方程化为false， 即false的普通方程为false， false可化为普通方程：false．
（2）在false中，令false，得false，
∵false，∴倾斜角为false，∴false的参数方程可设为false（false为参数）， 代入false中整理为false，设P，Q两点所对应的参数为false，
∴false，false， ∴false异号，
∴false．
23.
解：（1）因为false，所以false，
当false时，原不等式可化为false，解得false，所以false；
当false时，原不等式可化为false，解得false，所以false；
当false时，原不等式可化为false，解得false，所以无解；
综上，原不等式的解集为false.
（2）因为false，false,
所以false.