2020-2021学年九年级数学人教版下册 第二十七章 相似 训练题（Word版 含答案）

人教版九年级数学下册
第二十七章
相似
训练题
一、选择题
1．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC．则BN:NQ:QM等于（
）
A．6:3:2
B．2:1:1
C．5:3:2
D．1:1:1
2．如图，在中，过点作于点，过点作于点，、交于点，连接．将沿翻折得到，点恰好落在线段上且交于点．若，，，则（
）
A．
B．
C．
D．3
3．如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，正方形ABCD的边长为3，将等腰直角三角板的45°角的顶点放在B处，两边与CD及其延长线交于E、F，若CE=1，则BF的长为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△ABP沿直线AP折叠，使点B落到点B′处；作∠B′PC的角平分线交CD于点E．设BP＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD的反向延长线交y轴负半轴于点E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC=3，则k等于（
）
A．12
B．6
C．3
D．2
7．如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（
）
A．5
B．
C．5或
D．6
8．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（
）
A．11.5米
B．11.75米
C．11.8米
D．12.25米
9．如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（
）
A．4
cm2
B．6
cm2
C．8cm2
D．10cm2
10．已知实数a、b、c、d满足2
005a3=2
006b3=2
007c3=2
008d3，
=
则a-1+b-1+c-1+d-1的值为(
).
A．1
B．0
C．-1
D．±1
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．如图，在边长为1的正方形中，对角线，相交于点，点，点分别是，的中点，交于点，连接，，，得到以下四个结论：①，②，③，④，其中正确的结论是________（填写序号）．
12．如图,在△ABC中,AC=BC,D为AB的中点,F为BC边上一点,连接CD、AF交干点E.若∠FAC=90°-3∠BAF,BF:AC=2:5,EF=2,则AB长为__________.
13．如图，在矩形ABCD中，点E是线段CD上的一个动点，连接AE，过A作AF⊥AE交射线DF于点F，若AD=2AB=4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF=1时，EG=_________．
14．如图，在△ABC中，，平分，点在上，连结交于点，且．以下命题：①；②；③；④；正确的序号为______．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，F为线段DE的中点，连接CF，在点D运动过程中，线段CF长的最小值为_____．
三、解答题
16．如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：CG=BG；
（3）若∠DBA=30°，CG=4，求BE的长．
17．（1）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5；
是三个连续正整数组成的勾股数．
解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？
答：　
　，若存在，试写出一组勾股数：　
　．
②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．
③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．
（2）探索升华：是否存在锐角△ABC三边也为连续正整数；且同时还满足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC=2∠BAC？若存在，求出△ABC三边的长；若不存在，说明理由．
18．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，DC⊥BC，且AD=1，DC=3，点P为边AB上一动点，以P为圆心，BP为半径的圆交边BC于点Q．
(1)求AB的长；
(2)当BQ的长为时，请通过计算说明圆P与直线DC的位置关系．
19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB?AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若=，求BC的长；
②当为何值时，AB?AC的值最大？
20．如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．
21．如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC．连接
DF、EG．
（1）求证：AB＝AC．
（2）已知
AB＝5，BC＝6．求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．
22．如图，直线，为垂足．以圆心，的半径作圆，交于点，，交于点，．在上任取一点，作，使，，顶点，，按顺时针方向分布，点落在射线上，且不在内．若的某一边所在直线与相切，我们称该边为的“相伴切边”．
（1）如图1，为的“相伴切边”，平分．求的长；
（2）是否存在三边中两边都是的“相伴切边”的情形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
23．综合与实践：直角三角形折叠中的数学。数学活动：在综合实践活动课上，老师让同学们以“直角三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动，探究折痕长度的有关问题．在中，．
（1）如图1，勤学组将点沿折叠，使得点与点重合，折痕交于点交于点则的长为
．
如图2，乐学组将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，折痕交于点则的长为
．
（2）如图3，博学组将点沿折叠，使得点与点重合，折痕交于点交于点求线段的长度；
如图4，善思组在博学组的基础上，将点沿折叠，使得点的对应点落在上，则的长度为_
．
（3）如图5，奋进组将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，求的长度；
如图6，创新组在奋进组的基础上，将点沿折叠，使得点的对应点落在上，折痕交于点再把展开，将点沿折叠，使得点的对应点落在的延长线上，折痕交于点得到如图7所示的图形，请直接写出的长．
【参考答案】
1．C
2．C
3．A
4．B
5．D
6．B
7．B
8．C
9．B
10．D
11．①③④
12．
13．或
14．①③④
15．2
16．（1）证明：连接OC，∵∠A=∠CBD，∴，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵CF⊥AB，∴∠ACB=∠CFB=90°，∵∠ABC=∠CBF，∴∠A=∠BCF，∵∠A=∠CBD，∴∠BCF=∠CBD，∴CG=BG；
（3）解：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠DBA=30°，∴∠BAD=60°，∵，∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=30°，∴=tan30°=，∵CE∥BD，∴∠E=∠DBA=30°，∴AC=CE，∴
=，∵∠A=∠BCF=∠CBD=30°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC，∴△CGB∽△CBE，∴
==，∵CG=4，∴BC=，∴BE=．
17．⑴①答：存在；6，8，10.
②答：不存在．
理由：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数.
设三个连续正整数分别是：n－1，n，n＋1(n＞1的整数)，
则：(n－1)2＋n2＝(n＋1)2，
得：n1＝4，n2＝0(舍去)
∴当n＝4时，n－1＝3，n＋1＝5，
∴三个连续正整数仍然为3，4，5，
∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数．
③答：不存在．
理由：假设在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数.
设三个连续奇数分别是：2n－1，2n＋1，2n＋3(n＞1的整数)，
∵(奇数)2＋(奇数)2≠(奇数)2
∴不存在三个连续奇数能组成勾股数．
⑵答：存在．三边长分别是4，5，6．
理由：如图，在△ABC中，设AB＝x，AC＝x＋1，BC＝x－1(x＞1的整数)，
则：∠B＞∠C＞∠A；且∠ABC＝2∠BAC，
延长CB到点D，使BD＝BA，连接AD.
∴∠BAD＝∠BDA，
又∵∠ABC＝∠BAD＋∠BDA＝2∠BDA，且∠ABC＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠BDA.
又∵∠C＝∠C，∴△CAB∽△CDA，
∴AC2＝BC·DC，∴(x＋1)2＝(x－1)[(x－1)＋x]，
得：x1＝5，x2＝0(舍去).
当x＝5时，x－1＝4，x＋1＝6，即：BC＝4，AB＝5，AC＝6，
答：存在锐角△ABC三边为连续正整数，BC＝4，AB＝5，AC＝6；
且同时还满足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC.
18．（1）过A作AE⊥BC于E，
则四边形AECD是矩形，
∴CE=AD=1，AE=CD=3，
∵AB=BC，
∴BE=AB-1，
在Rt△ABE中，∵AB2=AE2+BE2，
∴AB2=32+（AB-1）2，
解得：AB=5；
（2）过P作PF⊥BQ于F，
∴BF=BQ=，
∴△PBF∽△ABE，
∴，
∴，
∴PB=，
∴PA=AB-PB=，
过P作PG⊥CD于G交AE于M，
∴GM=AD=1，
∵DC⊥BC
∴PG∥BC
∴△APM∽△ABE，
∴，
∴，
∴PM=，
∴PG=PM+MG==PB，
∴圆P与直线DC相切．
19．（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC，
∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
由（1）知AC=CE=CD，
∴CF=CG=AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，
∴∠G+∠AEF=180°，
又∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠G=∠BEF，
∵∠EBF=∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴，即BF?BG=BE?AB，
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，
∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB?AC，即BC2﹣AC2=AB?AC；
（3）设AB=5k、AC=3k，
∵BC2﹣AC2=AB?AC，
∴BC=2k，
连接ED交BC于点M，
∵四边形BDCE是菱形，
∴DE垂直平分BC，
则点E、O、M、D共线，
在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=k，
∴DM=，
∴OM=OD﹣DM=3﹣k，
在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣k）2+（k）2=32，
解得：k=或k=0（舍），
∴BC=2k=4；
②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，
∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，
AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，
由（2）得AB?AC=BC2﹣AC2
=﹣4d2+6d+18
=﹣4（d﹣）2+，
∴当d=，即OM=时，AB?AC最大，最大值为，
∴DC2=，
∴AC=DC=，
∴AB=，此时．
20．∵CD∥AB，
∴△EAB∽△ECD，
∴=，即=①，
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴=，即=②，
由①②得=，
解得BD=7.5，
∴=，解得：AB=7．
答：路灯杆AB的高度为7m．
21．（1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，
∵四边形DFGE是矩形，
∴∠DFG＝90°，
∴DG是⊙O直径，
∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵OD＝OE．
∴AN平分∠BAC，∵AB＝AC，
∴AN⊥BC，BN＝BC＝3，
在Rt△ABN中，AN＝，
∵OD⊥AB，AN⊥BC，
∴∠ADO＝∠ANB＝90°，
∵∠OAD＝∠BAN，
∴△AOD∽△ABN，
∴，即，
∴AD＝r，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣r，
∵OD⊥AB，
∴∠GDB＝∠ANB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△GBD∽△ABN，
∴，即，
∴r＝，
∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为
22．（1）如图，连接OA，则，
为的“相伴切边”，
，即，
，平分，
，
则在中，；
（2）存在，求解过程如下：
由题意，分以下三种情况：
①当边AB、BC都是的“相伴切边”时，则，
，即，
点O、A、C共线，
又点C落在射线上，且不在内，
点A只能在点M或点N处，
如图2-1，当点A在点N处时，
设BC与相切于点D，连接OD，则，
，
，
；
如图2-2，当点A在点M处时，
设BC与相切于点D，连接OD，则，
，
，
；
②当边AC、BC都是的“相伴切边”时，则，
，
，即点O、A、B共线，
如图2-3，设BC与相切于点D，连接OD，则，
设，则，
，
在和中，，
，
，即，
解得或（舍去），
经检验，是所列方程的解，
则；
③当边AC、AB都是的“相伴切边”时,
是的“相伴切边”，
，即，
，
，即点O、A、B共线，
不可能是的“相伴切边”，
则边AC、AB不能同时是的“相伴切边”；
综上，AC的长为或或．
23．解：
根据折叠的性质得：AD=BD，ED⊥AB；
，∴DE//BC
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=
由折叠的性质得BE⊥AC，
∴
∴
∴
将点沿折叠与点重合，
是的垂直平分线．
．
又
．
在Rt中，，
由勾股定理得出，则；
根据折叠的性质得出，
∴
∴∴
∴,∴
∴GF=
过点作于如图．
又
即
设
则
将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，
解得
由折叠的性质可得
即