安徽省宣城市2021届高三上学期期末调研测试数学(理)试题 Word版含答案

宣城市2020-2021学年度第一学期期末调研测试
高三数学试题（理科）
考生注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.
3.考生作答时，请将答案答在答题卷上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.考试结束时，务必将答题卡交回.
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设全集为false，集合false，false，则false（）
A.false B.false C.false D.false
2.设复数false满足false，false是虚数单位，则false的虚部为（）
A.false B.false C.false D.false
3.已知false，false，false，则false，false，false的大小关系为（）
A.false B.false C.false D.false
4.函数false在false上的图象大致为（）
A. B.
C. D.
5.在二项式false的展开式中，有理项共有（）
A.3项 B.4项 C.5项 D.6项
6.德国著名天文学家开普勒曾说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么黄金分割就是钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰长度之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星是由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金三角形false中，false.由这些信息，可得false
A.false B.false C.false D.false
7.已知非零向量false，false满足false，且false，则false与false的夹角为（）
A.false B.false C.false D.false
8.在等比数列false中，false，false，则false（）
A.false B.false C.false D.false
9.已知函数false，false，则（）
A.false的最大值为1 B.false的图象关于直线false对称
C. false的最小正周期为false D.false在区间false上只有1个零点
10.如图，在圆心角为直角的扇形false中，分别以false，false为直径作两个半圆，在扇形false内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）
A.false B.false C.false D.false
1l.在三棱锥false中，false平面false，false，false，false，false，则三棱锥false外接球的表面积是（）
A.false B.false C.false D.false
12.已知false为坐标原点设false，false分别是双曲线false的左右焦点，false为双曲线左支上的任意一点，过点false作false的角平分线的垂线，垂足为false，则false（）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若曲线false的一条切线与直线false互相垂直，则该切线的方程为 .
14.已知首项为1的数列false的前false项和为false，若false，则数列false的前false项和false .
15.设false，若false的概率为0.45，则false的概率为 .
16.椭圆false的左焦点为false，false，false，false分别为其三个顶点.直线false与false交于点false，若椭圆的离心率false，则false .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分。
17.已知在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false.
（1）求角false的大小；
（2）若false，求false面积的最大值.
18.某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色单车的投放比例为false.监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.
（1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率
（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次。在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用false表示，求false的分布列及数学期望。
19.如图，在五面体false中，四边形false为矩形，false为等边三角形，且平面false平面false，false.
（1）证明：平面false平面false；
（2）若false，求二面角false的余弦值.
20.已知抛物线false的焦点为false，圆false，点false为抛物线上一动点.当false时，false的面积为false.
（1）求抛物线false的方程；
（2）若false，过点false作圆false的两条切线分别交false轴于false，false两点，求false面积的最小值.
21.已知函数false.
（1）当false时，求函数false的极值；
（2）若函数false在区间false内有零点，求实数false的取值范围.
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系false中，已知直线false过点false且倾斜角为60°，曲线false的参数方程为false（false为参数）.
（1）以原点为极点，false轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线false的极坐标方程；
（2）求直线false被曲线false截得的线段长度.
23.已知函数false.
（1）求不等式false的解集；
（2）记集合false，若false，求实数false的取值范围.
宣城市2020—2021学年度第一学期期末调研测试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
A
A
C
A
D
B
D
D
C
二、填空题
17.（1）false，false，
false，false.
又false，false.
（2）由（1）知，false.又false，false.
又false，当且仅当false时等号成立，false，
false.
18.（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为2，用false表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则false服从二项分布，即false，
所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为false；
（2）随机变量false的可能取值为：0、1、2、3、4。
false，false，false，
false，false.
所以false的分布列如下表所示：
false
0
1
2
3
4
false
false
false
false
false
false
false
19.（1）证明：取false中点false，于是false，
∵平面false平面false，且平面false平面false，所以false平面false，
则false，又false，所以false平面false，
∴平面false平面false.
（2）解：取false中点false，得false平面false，如图：以false为坐标原点，false、false为false轴、false轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设false长度为1，得false，false，false，false，false
因为false，所以false平面false，又平面false平面false，则false；
所以设false，所以，点false
那么false，false，由于false，
所以false，解得false.于是false，
∴平面false的一个法向量为false，
又平面false的一个法向量为false，记二面角false大小为false，
所以false，又因为二面角的平面角是锐角，所以二面角false的余弦值为false.
20.（1）由题意抛物线false的焦点为false，
圆false的圆心false为false，
因为false，由抛物线的定义可得false，解得false，
又false，所以false，
又false，即false，整理得false，
所以false或false
解得false或false，
又false，所以false，所以抛物线方程为false.
（2）设false，false，且false，不妨设点false在false轴右侧，
故直线false方程为false，即false
由题设知，圆心false到直线false距离为1，即false，
化简上式得false，同理可得false，
由上可知false，false为false的两根，
则false，且false，false，
所以false，
所以false，
设false，false，false，false，
所以false面积的最小值为2.
21.（1）当false时，false，false的定义域为false
false由false得false，由false得false且false
所以false在false，false上单调递减，在false上单调递增
所false的极小值为false，无极大值
（2）当false时，false
令false，则false在区间false上的零点即false在区间false上的零点false
令false，则false
①当false时，false，false单调递增，即false单调递增
又false，所以当false时false，false在false上单调递减，
又false，false在区间false上没有零点
②当false时，false，故false在false上单调递增
又false，false
所以存在false，使得false
即当false时，false，false单调递减
当false时，false，false单调递增
又因为false，false，所以false在区间false上存在零点
③当false，false时，令false，则false
因为在false上，false，false是减函数，所以false
所以false，所以false
所以false在区间false上没有零点
综上：要使函数false在区间false内有零点，则false的取值范围是false
22.（1）因为曲线false的参数方程为false（false为参数）
所以其普通方程为false，
将false，false代入曲线false的普通方程，可得曲线false的极坐标方程为false.
（2）因为直线false过点false且倾斜角为60°，
则直线false的参数方程为false（false为参数）
将直线false的参数方程代入曲线false的普通方程false中，可得false.
设false为方程false的两个根，
则false，false.
所以直线false被曲线false截得的线段长度为
false.
23.（1）依题意false；
当false时，false，则false，故false；
当false时，false，则false，无解；
当false时，false，则false，故false；
故不等式false的解集为false；
（2）依题意，false，
而false
则可知false，即false的值域为false，
因为false，故false，则false，故实数false的取值范围为false.