27.2.1 相似三角形的判定（第三课时 利用角角、斜边直角边判定相似）同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 27.2.1 相似三角形的判定（第三课时 利用角角、斜边直角边判定相似）同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-14 23:15:18 | ||
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文档简介
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27.2.1 相似三角形的判定（第三课时 利用角角、斜边直角边判定相似）练习
一、单选题（共10小题)
1．（2020·石家庄市期末）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD?AC D．
2．（2019·新田县期末）如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·成都市期中）如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD?AB
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2019·抚宁区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2020·太原市期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·利辛县期末）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
7．（2018·温州市期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是
?
A． B． C． D．
8．（2018·合肥市期末）如图，已知P是RtΔABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与ΔABC相似，那么点D的位置最多有（ ）
A．2处 B．3处 C．4处 D．5处
9．（2019·吉林九年级期末）已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）
A．B．C． D．
10．（2020·保定市期末）如图，，，以下结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
二、填空题（共5小题)
11．（2018·泰安市期中）如图，在直角梯形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若?PAE与?PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有________个.
12．（2019·天水市期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
13．（2019·日照市期中）如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.当AB＝_______时，△ABC与△ACD相似．
14．（2020·上海市期中）如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．
15．（2018·扬州市期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有_______对相似三角形．
三、解答题（共3小题）
16．（2019·杭州市期末）如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF
求证：四边形AFCD是平行四边形．
若，，，求AB的长．
17．（2019·德州市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
18．（2020·青神县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
答案
一、单选题（共10小题)
1．【答案】D
【详解】
解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD?AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
2．【答案】D
【详解】
当，，
所以∽,故条件①能判定相似，符合题意；
当，，
所以∽，故条件②能判定相似，符合题意；
当，
即AC：：AC，
因为
所以∽，故条件③能判定相似，符合题意；
当，即PC：：AB，
而，
所以条件④不能判断和相似，不符合题意；
①②③能判定相似，故选D．
3．【答案】C
【详解】
有三个
①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选C
4．【答案】C
【解析】
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽CBD，
△ABC∽CBD，
所以有三对相似三角形．
故选C．
5．【答案】C
【详解】
解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选C．
6．【答案】A
【解析】
①，且，
∴，成立．
②且，
∴，成立．
③，但比一定与相等，故与不一定相似．
④且，
∴，成立．
⑤由，得无法确定出，
故不能证明：与相似．
故答案为．
7．【答案】B
【详解】
∵小正方形的边长为1，∴在△EFG中，EG，FG＝2，EF．
A中，一边＝3，一边，一边，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误；
B中，一边＝1，一边，一边，有，即三边与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确；
C中，一边＝1，一边，一边＝2，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误；
D中，一边＝2，一边，一边，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．
故选B．
8．【答案】B
【详解】
∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，则D点的位置最多有3处．
故选B．
9．【答案】C
【详解】
解: ∵AB=AC=6，∠B=75°
∴∠B=∠C=75°
∴∠A=180°－∠B－∠C=30°，
对于A选项，如下图所示
∵，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于B选项，如下图所示
∵DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形
∴∠E=60°
∴，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于C选项，如下图所示
∵，∠A=∠E=30°
∴∽△EFD，故本选项符合题意；
对于D选项，如下图所示
∵，但∠A≠∠D
∴与△DEF不相似，故本选项不符合题意；
故选C．
10．【答案】C
【详解】
解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x
∴AB=x，AC=x，AD=x，OC=2x，OD=3x，BD=2x ,
∴，
∴
∴．
故答案为C．
二、填空题（共5小题)
11．【答案】3
【解析】
试题解析：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个.
12．【答案】∠B=∠DEC（不唯一）
【解析】
试题解析：答案不唯一，如
可添加
故答案为
13．【答案】3或
【解析】
试题解析：∵∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2，
∴CD=，设AB=x，
当AC：AD=AB：AC时，△ABC∽△ACD
∴，解得AB=3；
当AB：AC=AC：CD时，△ABC∽△CAD，
∴，解得AB=3
∴AB=3或3．
14．【答案】或1.5
【详解】
解：分两种情况：
第一种情况：如图，过D作DE||AC于点E，
则；
第二种情况：如图，ΔADEΔACB
则
故答案为．
15．【答案】4
【详解】
解:由题意的:∠1=∠2=∠3
DE∥BC△ADE~△ABC,
DE//BC∠EDC=∠DCB,又∠ACD=∠ABC,
△EDC~△DCB,
同理:∠3=∠2,∠A=∠A, △ABC~△ACD,
△ADE~ △ABC, △ABC~△ACD,
△ADE~△ACD
相似三角形共4对.
故答案：4.
三、解答题（共3小题）
16．【答案】证明见解析；．
【详解】
是AC的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，即，
四边形AFCD是平行四边形；
，
∽，
，即，
解得：，
四边形AFCD是平行四边形，
，
．
17．【答案】证明见解析．
【详解】
∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
18．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．
【详解】
（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10，
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，，
即，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
即，
解得：AD=．
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27.2.1 相似三角形的判定（第三课时 利用角角、斜边直角边判定相似）练习
一、单选题（共10小题)
1．（2020·石家庄市期末）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD?AC D．
2．（2019·新田县期末）如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·成都市期中）如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD?AB
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2019·抚宁区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2020·太原市期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·利辛县期末）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
7．（2018·温州市期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是
?
A． B． C． D．
8．（2018·合肥市期末）如图，已知P是RtΔABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与ΔABC相似，那么点D的位置最多有（ ）
A．2处 B．3处 C．4处 D．5处
9．（2019·吉林九年级期末）已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）
A．B．C． D．
10．（2020·保定市期末）如图，，，以下结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
二、填空题（共5小题)
11．（2018·泰安市期中）如图，在直角梯形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若?PAE与?PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有________个.
12．（2019·天水市期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
13．（2019·日照市期中）如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.当AB＝_______时，△ABC与△ACD相似．
14．（2020·上海市期中）如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．
15．（2018·扬州市期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有_______对相似三角形．
三、解答题（共3小题）
16．（2019·杭州市期末）如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF
求证：四边形AFCD是平行四边形．
若，，，求AB的长．
17．（2019·德州市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
18．（2020·青神县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
答案
一、单选题（共10小题)
1．【答案】D
【详解】
解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD?AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
2．【答案】D
【详解】
当，，
所以∽,故条件①能判定相似，符合题意；
当，，
所以∽，故条件②能判定相似，符合题意；
当，
即AC：：AC，
因为
所以∽，故条件③能判定相似，符合题意；
当，即PC：：AB，
而，
所以条件④不能判断和相似，不符合题意；
①②③能判定相似，故选D．
3．【答案】C
【详解】
有三个
①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选C
4．【答案】C
【解析】
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽CBD，
△ABC∽CBD，
所以有三对相似三角形．
故选C．
5．【答案】C
【详解】
解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选C．
6．【答案】A
【解析】
①，且，
∴，成立．
②且，
∴，成立．
③，但比一定与相等，故与不一定相似．
④且，
∴，成立．
⑤由，得无法确定出，
故不能证明：与相似．
故答案为．
7．【答案】B
【详解】
∵小正方形的边长为1，∴在△EFG中，EG，FG＝2，EF．
A中，一边＝3，一边，一边，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误；
B中，一边＝1，一边，一边，有，即三边与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确；
C中，一边＝1，一边，一边＝2，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误；
D中，一边＝2，一边，一边，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．
故选B．
8．【答案】B
【详解】
∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，则D点的位置最多有3处．
故选B．
9．【答案】C
【详解】
解: ∵AB=AC=6，∠B=75°
∴∠B=∠C=75°
∴∠A=180°－∠B－∠C=30°，
对于A选项，如下图所示
∵，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于B选项，如下图所示
∵DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形
∴∠E=60°
∴，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于C选项，如下图所示
∵，∠A=∠E=30°
∴∽△EFD，故本选项符合题意；
对于D选项，如下图所示
∵，但∠A≠∠D
∴与△DEF不相似，故本选项不符合题意；
故选C．
10．【答案】C
【详解】
解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x
∴AB=x，AC=x，AD=x，OC=2x，OD=3x，BD=2x ,
∴，
∴
∴．
故答案为C．
二、填空题（共5小题)
11．【答案】3
【解析】
试题解析：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个.
12．【答案】∠B=∠DEC（不唯一）
【解析】
试题解析：答案不唯一，如
可添加
故答案为
13．【答案】3或
【解析】
试题解析：∵∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2，
∴CD=，设AB=x，
当AC：AD=AB：AC时，△ABC∽△ACD
∴，解得AB=3；
当AB：AC=AC：CD时，△ABC∽△CAD，
∴，解得AB=3
∴AB=3或3．
14．【答案】或1.5
【详解】
解：分两种情况：
第一种情况：如图，过D作DE||AC于点E，
则；
第二种情况：如图，ΔADEΔACB
则
故答案为．
15．【答案】4
【详解】
解:由题意的:∠1=∠2=∠3
DE∥BC△ADE~△ABC,
DE//BC∠EDC=∠DCB,又∠ACD=∠ABC,
△EDC~△DCB,
同理:∠3=∠2,∠A=∠A, △ABC~△ACD,
△ADE~ △ABC, △ABC~△ACD,
△ADE~△ACD
相似三角形共4对.
故答案：4.
三、解答题（共3小题）
16．【答案】证明见解析；．
【详解】
是AC的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，即，
四边形AFCD是平行四边形；
，
∽，
，即，
解得：，
四边形AFCD是平行四边形，
，
．
17．【答案】证明见解析．
【详解】
∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
18．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．
【详解】
（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10，
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，，
即，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
即，
解得：AD=．
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