2020-2021学年北师大版八年级下册数学 1.2直角三角形 同步练习（Word版 含解析）

1.2直角三角形 同步练习
一．选择题
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（　　）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
5．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若NM＝4，则OM的值（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（　　）
A．5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
9．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（　　）
A．2﹣x B．3﹣x C．1 D．2+x
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，DE平分∠ADB，则∠DBA等于（　　）
A．22.5° B．30° C．25° D．40°
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠DCB＝30°，BD＝1，则AB的长为　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝　 　．
13．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是　 　海里．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边BC、AB上，CD＝BD，CE＝AB，AD与CE交于点F，如果AB＝6，那么CF的长等于　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD＝BC．求证：∠BAC＝90°．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，AM的长为15cm，求BC的长．
18．如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．
（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝4．
故选：D．
2．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．
故选：C．
3．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
故选：D．
4．解：∵DE垂直平分AB，
∴EB＝EA，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝3（cm），
故选：D．
5．解：过点P作PD⊥CB于点D，
∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，
∴DC＝6，
∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1.5，
∴CM＝6﹣1.5＝4.5．
故选：D．
6．解：过点P作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∵OP＝10，
∴OH＝OP＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝3，
故选：B．
7．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，
∴∠B＝30°．
∵D是AB的中点，
∴BD＝CD．
∴∠DCB＝∠B＝30°．
又∵DE⊥BC于E，
∴∠BDE＝∠CDE＝60°．
∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°．
∴△ACD为等边三角形．
∴∠ADC＝∠DAC＝∠ACD＝∠CDE＝∠BDE＝60°．
故选：D．
8．解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长是＝5，
所以＝2.5，
故选：B．
9．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，
∵PD⊥BC，DE⊥AC，
∴BD＝PB，CE＝CD，
∵PA＝x，
∴BP＝4﹣x，
∴BD＝PB＝2﹣x，
∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，
∴CE＝1+x，
∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，
故选：B．
10．解：在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED．
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE．
∵∠ADC+∠ADE+∠EDB＝180°，DE平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°．
∴∠B+∠EDB＝90°，
∴∠B＝30°．
故选：B．
二．填空题
11．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠DCB＝30°，
∴2BD＝BC，
∵CD⊥AB，
∴∠A＝∠DCB＝30°，
∴2BC＝AB，
∴AB＝4BD，
∵BD＝1，
∴AB＝4．
故答案为：4．
12．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠B＝52°，
∴∠ACD＝52°，
故答案为：52°．
13．解：如图：过P作PD⊥AB于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，
∴∠PDB＝90°，
∵∠PBD＝30°，∠PAB＝15°，
∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAB＝15°＝∠PAB，
∴PB＝AB＝20（海里），
在Rt△PBD中，PB＝20海里，∠PBD＝30°，
∴PD＝PB＝10（海里），
故答案为：10．
14．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°，
∵∠A＝90°，AN＝1，
∴MN＝2AN＝2，
∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，
∴∠AMC＝∠NMC＝60°，
∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝ACB＝30°，
∴∠ACM＝∠NMC，
∴MNCN＝2，
∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC＝2×3＝6，
故答案为：6．
15．解：以E为圆心，CE为半径画圆，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙E的直径，
∵CE＝AB，
∴点E是AB的中点，
连接DE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE＝AB，
∴AE＝BE，∵CD＝BD，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE＝AC，DE∥AC，
∴△ACF∽△DEF，
∴＝＝，
∵AB＝6，
∴CE＝AB＝3，
∴CF＝CE＝2，
故答案为：2．
三．解答题
16．证明：在△ABC中，D是BC的中点，AD＝BC，
∴AD＝DC，AD＝DB，
∴∠C＝∠DAC，∠B＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠B+∠C，
由三角形的内角和定理可得：
∠BAC+（∠B+∠C）＝2∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝90°．
17．解：∵AM是∠BAC的平分线，∠BAC＝60°，
∴∠MAC＝30°，
∴MC＝AM＝7.5cm，
∴AC＝（cm），
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝15（cm），
∴BC＝（cm）．
18．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2（180°﹣∠A）
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连结DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC
＝2（180°﹣∠BAC）
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）
＝2∠BAC﹣180°．