2020-2021学年八年级数学北师大版下册 1.3线段的垂直平分线 同步练习（Word版 含解析）

1.3线段的垂直平分线 同步练习
一．选择题
1．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）
A．40° B．70° C．30° D．50°
2．如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
3．在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰收的季节．为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（　　）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则∠EBC的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C＝（　　）
A．30° B．40° C．17.5° D．35°
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（　　）
A．8cm B．7cm C．10cm D．9cm
7．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为（　　）
A．58° B．63° C．67° D．70°
8．已知△ABC边AB、AC的垂直平分线DM、EN相交于O，M、N在BC边上，若∠MAN＝20°，则∠BAC的度数为（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
9．如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝4AD，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC＝6cm，则AC＝　 　，DE＝　 　．
12．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为13，△ABC的周长是19，若∠ACD＝60°，则AD＝　 　．
13．如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是　 　cm．
14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠AOC＝76°，则∠1＝　 　．
15．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为　 　．
三．解答题
16．如图，在钝角△ABC中，已知∠A＝135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，交AB、AC于点F、G．若BD＝12，CE＝9．求DE的长度．
17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，求△CDE的周长；
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
18．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
2．解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，
故选：A．
3．解：基站应该建立在B处，
故选：B．
4．解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∵∠A＝30°，∠C＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
∴∠EBC＝40°﹣30°＝10°，
故选：A．
5．解：连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，
∴∠A+∠C＝∠ABC，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，
∴∠DOE＝145°，
∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°；
故选：D．
6．解：∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∵△ABC周长26cm，AF＝5cm，
∴AC＝10（cm），
∴AB+BC＝16（cm），
∴AB+BE+EC＝16（cm），
即2DE+2EC＝16（cm），
∴DE+EC＝8（cm），
∴DC＝DE+EC＝8（cm），
故选：A．
7．解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝EC，BE＝AC，
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝×（180°﹣12°）＝84°，
∴∠EBC＝∠ECB＝∠AEC＝42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠CBF＝21°，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°，
故选：B．
8．解：∵DM是边AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B，
同理，∠NAC＝∠C，
则，
解得，∠BAC＝100°，
故选：A．
9．解：连接OC，作OF⊥BC于点F，
DE＝OD+OE＝3，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°，
∵AD＝DC，ED⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∴EF＝OE＝1，
∴CF＝CE﹣EF＝5，
∴BC＝10，
∴BE＝10﹣6＝4，
故选：B．
10．解：如图，∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠2＝∠C，
∴BE＝CE，
∵AC﹣CE＝AE，
∴AC﹣BE＝AE，故①正确；
∵BE＝CE，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确；
∵∠1＝∠2＝∠C，
∴∠C＝∠1＝30°，
∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠C，故③正确；
在Rt△BAC中，∠C＝30°，
∴BC＝2AB，
在Rt△BDA中，∠1＝30°，
∴AB＝2AD，
∴BC＝4AD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵BC＝6cm，
∴BD＝DC＝3（cm），
∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，
∴AC＝AB＝5（cm），
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴EC＝AC＝5（cm），
∴DE＝DC+EC＝8（cm），
故答案为：5cm；8cm．
12．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵∠ACD＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD＝AC，
∵△ABC的周长是19，
∴AB+BC+AC＝19，
∵△BCD的周长为13，
∴BD+DC+BC＝BD+DA+BC＝AB+BC＝13，
∴AC＝19﹣13＝6，
∴AD＝AC＝6，
故答案为：6．
13．解：∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝5cm，
∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），
故答案为：18．
14．解：如图，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOB，
同理可得∠BOE＝∠BOC，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，
∴∠AOB+∠BOC＝360°﹣76°＝284°，
∴∠BOD+∠BOC＝（∠AOB+∠BOC）＝×284°＝142°，
∴∠1＝180°﹣（∠BOD+∠BOC）＝180°﹣142°＝38°．
故答案为38°．
15．解：连接CE，如图所示：
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CD＝CE，
∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∠DEC＝∠EDC＝72°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE＝72°+∠BAE，
∵∠AEB＝92°，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝180°﹣92°﹣∠BAE＝88°﹣∠BAE，
∴∠EBD＝360°﹣∠CBD﹣∠ABC﹣∠ABE＝360°﹣（72°+∠BAE）﹣72°﹣（88°﹣∠BAE）＝128°，
故答案为：128°．
三．解答题
16．解：连接AD、AE，
∵∠BAC＝135°，
∴∠B+∠C＝45°，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴DA＝DB＝12，EA＝EC＝9，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°，
由勾股定理得，DE＝＝15．
17．解：（1）∵直线l是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
同理，EC＝EB，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DA+DE+EB＝AB＝10；
（2）∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∵DA＝DC，EC＝EB，
∴∠ACD＝∠A，∠ECB＝∠B，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠DCA﹣∠ECB＝∠ACB﹣∠A﹣∠B＝70°．
18．解：连接OA，OC，
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△CDO（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°．