第六章
平面向量及其应用
6.1
平面向量的概念(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在四边形中，且，则四边形的形状一定是
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
2．下列命题中，正确的是（
）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“”的充要条件是且
C．若与共线，与共线，则与共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
3．给出下列结论：
①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.
其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
5.下列关于向量的结论：
（1）若，则或；
（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量与同向，且，则．
其中正确的序号为（
）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（4）
D．（3）
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列有关向量命题，不正确的是
A．若，则
B．已知，且，则
C．若，，则
D．若，则且
7．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（
）
A．共线
B．相等
C．模相等，方向相反
D．模相等
8．下列说法中，正确选项是（
）
A.时间、摩擦力、重力都是向量；
B.向量的模是一个正实数；
C.相等向量一定是平行向量；
D.向量与不共线，则与都是非零向量
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.
图中所示向量与向量长度相等的向量有________________________；图中所示向量与向量相等的向量有____________________
10．如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量
则：（1）与向量相等的向量有_______；
（2）与向量共线，且模相等的向量有________；
11．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
则=___________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量.
13．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
14．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.
（1）画出所有的向量；
（2）求的最大值与最小值．第六章
平面向量及其应用
6.1
平面向量的概念(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在四边形中，且，则四边形的形状一定是
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
【答案】
【解析】在四边形中，，可得四边形的形状一定平行四边形，又，因此平行四边形是菱形．故选：C．
2．下列命题中，正确的是（
）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“”的充要条件是且
C．若与共线，与共线，则与共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
【答案】D
【解析】对于选项A，有相同起点的两个非零向量可能共线，A错误；
对于选项B，“”的充要条件是且与方向相同，故B错误；
对于选项C，若，则与不一定共线，故C错误；
对于选项D，若与中有一个是零向量，则与共线，故D正确，
故选：.
3．给出下列结论：
①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.
其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；
②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；
③数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；
④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.
故选：D.
4．如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【答案】B
【解析】由题，故相等向量有两对故选：B
5.下列关于向量的结论：
（1）若，则或；
（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量与同向，且，则．
其中正确的序号为（
）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（4）
D．（3）
【答案】D
【解析】（1）若，由于的方向不清楚，故不能得出或，故（1）不正确.
（2）由零向量与任何向量平行，当向量与平行时，不能得出与的方向相同或相反，故（2）不正确.
（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确.
（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.
故选:D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列有关向量命题，不正确的是
A．若，则
B．已知，且，则
C．若，，则
D．若，则且
【答案】AB
【解析】对于选项A，向量由两个要素方向和长度描述，错误；
对于选项B，若，且与垂直，结果成立，当不一定等于，错误；
对于选项C，若，，由向量的定义可得，正确；
对于选项D，相等向量模相等，方向相同，选项正确．
故选：．
7．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（
）
A．共线
B．相等
C．模相等，方向相反
D．模相等
【答案】ACD
【解析】∵四边形ABCD是矩形，,
所以共线，模相等,故A、D正确;
∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,
模相等,但的方向不同，故B不正确;
|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，
故C正确.
故选:ACD
8．下列说法中，正确选项是（
）
A.时间、摩擦力、重力都是向量；
B.向量的模是一个正实数；
C.相等向量一定是平行向量；
D.向量与不共线，则与都是非零向量
【答案】CD
【解析】对于选项A,时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故A错误；
对于选项B,零向量的模为零，故B错；
对于选项C,相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故C正确；
对于选项D,零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即D正确.
故选：CD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.
图中所示向量与向量长度相等的向量有________________________；图中所示向量与向量相等的向量有____________________
【答案】(1)，，，，，，，.(2)，.【解析】(1)与长度相等的向量是，，，，，，，．
(2)与相等的向量是，．
10．如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量
则：（1）与向量相等的向量有_______；
（2）与向量共线，且模相等的向量有________；
【答案】，
，，，，
【解析】（1）与向量相等的向量是，；
（2）与向量共线且模相等的向量是，，，，
，
故答案为：（1），；
（2），，，，；
11．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
则=___________.
【答案】
【解析】因为，所以，，即，解得，即。
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量.
【答案】（1）与共线的向量：，，，，，，，，，，.（2）与相等的向量：，，.
【解析】（1）与共线的向量：，，，，，，，，，，.
（2）与相等的向量：，，.
13．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
【答案】答案见解析
【解析】因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又与的方向相同，所以.
同理可证，四边形是平行四边形，所以.
因为，，所以，
又与的方向相同，所以
14．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.
（1）画出所有的向量；
（2）求的最大值与最小值．
【答案】(1)见解析；(2)最大值为，最小值为.
【解析】(1)画出所有的向量，如图所示：
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=；
所以||的最大值为，最小值为．
