高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程 课件（15张PPT）

4.1.1 圆的标准方程

定点----圆心------确定圆的位置
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
1、在初中我们是如何定义圆？
2、直线可以用一个二元一次方程表示，圆是否也可以用一个方程来表示呢？ 如果可以，那么它方程形式又是怎样的呢?
定长----半径------确定圆的大小
新课引入
x
O
y
A
(a,b)
M
r
(x, y)
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离．
问题1
圆可以视为某些点的集合，你能用描述法来表示这个集合吗？
问题2 圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离如何表示？
根据两点间距离公式：
则点M、A间的距离为：
若点M(x, y)在圆上，则点M的坐标适合方程；
若点????(????,????)的坐标适合方程，则点 M与圆心(????,????)的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
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把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程
一、圆的标准方程
1、说出下列圆的圆心和半径:
（1）(????+????)????+(?????????)????=????；
（2）????????+(????+????)????=????；
（3）????+????????+????+????????=????????(????≠????);
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圆心?????????,????,????=????
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圆心????????,?????,????=????
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圆心?????????,?????,????=|????|
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练习
写出圆心为????(2,?3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点????1(5,?7)，????2(?5,?1)是否在这个圆上.
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问：如何判断点????????在圆内还是圆外？
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点????1(5,?7)在这个圆上，????2(?5,?1)不在这个圆上.
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二、判断点与圆的位置关系
当?????????????????+??????????????????
判断点????(????????,????????)与圆????:?????????????+?????????????=????????的位置关系:
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当?????????????????+?????????????????=????????时,点????在圆????上;
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当?????????????????+?????????????????>????????时,点????在圆????外;
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判断点到圆心的距离与半径的大小关系
三、求圆的标准方程
1、求下列圆的方程:
（1）圆心在C(?3,4), 半径长为5.
（2）圆心在y轴上，半径为5，且过点(3,－4).
（3）已知两点P1(4,9)，P2(6,3)，求以线段P1P2为直径的圆的方程.
（4）求过点????(1,1)，????(?1,?1)的面积最小的圆的标准方程.
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????+????????+?????????????=????
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?????????????+?????????????=????????
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????????+????????=????????或????????+????+????????=????????
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????????+????????=????
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解：法一：设所求圆的标准方程为????－????2＋????－????2＝????2.
因为????(0,5)，????(1,－2)，????(－3,－4)都在圆上，
所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有
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2、已知△ABC的三个顶点坐标分别为????(????,????)，????(????,－????)，????(－????,－????)，求该三角形的外接圆的方程．
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0?????2+5?????2=????21?????2+?2?????2=????2?3?????2+?4?????2=????2，解得????=?3????=1????2=25，
故所求圆的标准方程是(????＋3)2＋(????－1)2＝25.
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三、求圆的标准方程
法二：因为????(0,5)，????(1,－2)，所以线段????????的中点的坐标为(12,32)，
又因为直线????????的斜率????????????＝?2?51?0=?7，
因此线段????????的垂直平分线的方程是?????32=17(?????12)，即????－7????＋10＝0.
同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2????＋????＋5＝0.
由?????7????+10=02????+????+5=0得圆心的坐标为(－3,1)，
又圆的半径长????=?3?02+1?52=5，
所以，所求圆的标准方程是(????＋3)2＋(????－1)2＝25.
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2、已知△ABC的三个顶点坐标分别为????(????,????)，????(????,－????)，????(－????,－????)，求该三角形的外接圆的方程．
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三、求圆的标准方程
3、 求过点????(1,?1)，????(?1,1)且圆心在直线????+?????2＝0上的圆的标准方程．
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法一：设点????为圆心，
因为点????在直线????＋????－2＝0上，
所以可设点????的坐标为(????,2－????)．
又因为该圆经过????，????两点，所以|????????|＝|????????|.
所以?????12+2?????+12=????+12+2??????12，
解得????＝1.
所以圆心坐标为????(1,1)，半径长????＝|????????|＝2.
故所求圆的标准方程为(????－1)2＋(????－1)2＝4.
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三、求圆的标准方程
3、求过点????(1,?1)，????(?1,1)且圆心在直线????+?????2＝0上的圆的标准方程．
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法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，????????????=1??1?1?1=?1，
所以弦????????的垂直平分线过点(0,0)，斜率为k＝1，
所以????????的垂直平分线的方程为????－0＝1·(????－0)，即????＝????.
则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由????=????????+?????2=0解得????=1????=1，
即圆心坐标为(1,1)，圆的半径为1?12+1??12=2，
故所求圆的标准方程为(????－1)2＋(????－1)2＝4.
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三、求圆的标准方程
圆心C(a,b)，半径r
二、点与圆的位置关系：
三、求圆的标准方程：
2、数形结合
1、代数方法：待定系数法求
一、圆的标准方程
（1）点P在圆上
（2）点P在圆内
（3）点P在圆外
四、总结
课时作业22 圆的标准方程
五、作业