2020—2021学年高一下学期（高中数学人教B版（2019）必修第三册）8.2.4.2 三角恒等变换的应用（二）课时检测Word含解析

8.2.4.2 三角恒等变换的应用（二）
一、选择题
1.化简sin 2α-2sin2α+1的结果可以是 (　　)
A.2sin(2α+30°) B.2sin(2α-30°)
C.2sin(2α+60°) D.2sin(2α-60°)
2.由1+2cos(2x-60°)和化积为 (　　)
A.2cos(x-60°)cos x B.2sin(x-60°)sin x
C.4cos(x-60°)cos x D.4cos(x-60°)sin x
3.化简4sin(x+30°)cos x= (　　)
A.sin(2x+30°)+1 B.sin(2x+30°)-1
C.2sin(2x+30°)+1 D.2cos(2x+30°)+1
4.(2019·宁德高一检测)计算cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°的值为 (　　)
A.1 B.0 C. D.
5.函数y=cos+sin具有性质 (　　)
A.最大值为,图像关于对称
B.最大值为1,图像关于对称
C.最大值为,图像关于直线x=-对称
D.最大值为1,图像关于直线x=-对称
6.(多选题)下列关于函数f(x)=2cos(x+45°)cos(x-45°)性质的叙述正确的是 (　　)
A.函数为偶函数 B.函数为奇函数
C.函数的最大值为2 D.最小正周期为π
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.若cos xcos y+sin xsin y=,sin 2x+sin 2y=,则sin(x+y)=　　　　.?
8.下列等式正确的是　　　　.(填所有正确等式的序号)?
①2sin 50°cos 10°=sin 60°+sin 40°
②2cos 45°sin 15°=sin 60°―sin 30°
③2cos 50°cos 10°=cos 60°+cos 40°
④2sin 45°sin 15°=cos 60°―cos 30°
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.计算:tan-4sin.
10.(2020·金华高二检测)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
11.计算sin 105°cos 75°的值是 (　　)
A. B. C.- D.-
12.已知sin=,则cos2的值为 (　　)
A. B. C. D.
13.函数f(x)=cos+cos的最大值为 (　　)
A.- B.1 C. D.2
14.(多选题)下列关于函数f(x)=2coscos x的说法正确的为 (　　)
A.最小正周期为π
B.最大值为2,最小值为-2
C.函数图像关于直线x=-对称
D.函数图像关于点对称
15.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=　　　　.?
16.计算=　　　　.?
17.求值:cos+cos+cos=　　　.?
18.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(如图所示,CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接.试问水深、芦苇的长度各是多少.假设θ=∠BAC,现有下述四个结论:
①水深为12尺;②芦苇长为15尺;③tan=;
④tan=-.
其中所有正确结论的编号是　　　　.?
19.(12分)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈(0,π).若f=-,α∈,求sin的值.
20.(12分)计算:tan 10°+.
21已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求sin(α+β)的值.
22.(14分)已知函数f(x)=cos2-sin cos -.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.
(2)若f(α)=,求sin 2α的值.
1.【解析】选A.sin 2α-2sin2α+1=sin 2α+cos 2α
=2
=2(sin 2αcos 30°+cos 2αsin 30°)=2sin(2α+30°).
2.【解析】选C.由和差化积公式,得1+2cos(2x-60°)
=2
=2[cos 60°+cos(2x-60°)]=4cos xcos(x-60°).
3.【解析】选C.由积化和差公式,得4sin(x+30°)cos x
=2[sin(2x+30°)+sin 30°]=2sin(2x+30°)+1.
4.【解析】选D.cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°
=+cos 80°+2cos 100°cos 60°
=+cos 80°―cos 80°=.
5.【解析】选D.y=cos+sin
=-sin x+cos x+sin x
=cos x-sin x=cos,
所以函数的最大值为1,排除A,C,令x+=0,
求得x=-,可得函数图像关于直线x=-对称.
6.【解析】选AD.函数f(x)=2cos(x+45°)cos(x-45°)
=cos[(x+45°)+(x-45°)]+cos[(x+45°)-(x-45°)]
=cos 2x.所以函数为偶函数,且函数的最大值为1,最小正周期为π.
7.【解析】cos(x-y)=,sin 2x+sin 2y
=2sin(x+y)cos(x-y)=,故sin(x+y)=.
答案:
8.【解析】由和差化积公式,逐个验证可知:①②③正确.
答案:①②③
9.【解析】方法一:tan 20°-4sin 200°=tan 20°+4sin 20°
==
=
=
==.(构造特殊角,即两角和的一半与两角差的一半)
方法二:tan 20°-4sin 200°=tan 20°+4sin 20°
==
==
==.(和差化积公式)
10.【解析】(1)f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x
=-cos 2x-sin 2x=-2sin,
则f=-2sin=2,
(2)由(1)可知f(x)=-2sin,
所以f(x)的最小正周期是π.
由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
11.【解析】选B.方法一:倍角公式
sin 105°cos 75°=cos 15°sin 15°=sin 30°=.
方法二:积化和差公式
sin 105°cos 75°=(sin 180°+sin 30°)=.
12.【解析】选D.因为sin=,
则cos2=cos2
=sin2=.
13【解析】选C.方法一:由和差化积公式,得函数
f(x)=cos+cos
=2coscos
=cos.
所以函数的最大值为.
方法二:由辅助角公式,得函数
f(x)=cos+cos
=sin+cos
=sin
=sin
=-sin
所以函数的最大值为.
14【解析】选ACD.由积化和差公式,
得2coscos x
=cos+cos=cos+.
所以函数的最小正周期为π,最大值为,最小值为-.
由2x+=kπ?x=-,k∈Z,
所以函数图像关于直线x=-对称,
由2x+=kπ+?x=+,k∈Z,
所以函数图像关于点对称.
15【解析】f(x)=sin x-2cos x
==sin(x-φ),
其中sin φ=,cos φ=,
当x-φ=2kπ+(k∈Z)时函数f(x)取到最大值,
即θ=2kπ++φ时函数f(x)取到最大值,
所以cos θ=-sin φ=-.
答案:-
16【解析】
=
==
====2-.
答案:2-
17【解析】cos+cos+cos
=
=
=
==-
答案:-
18【解析】设BC=x尺,则AC=(x+1)尺,因为AB=5,
所以52+x2=(x+1)2,所以x=12.
即水深为12尺,芦苇长为13尺;
所以tan θ==,由tan θ=,
解得tan=(负根舍去).
因为tan θ=,所以tan==-.
答案:①③④
19【解题指南】借助诱导公式解决奇函数的问题,
f=0的条件直接代入即可.先化简解析式,再代入已知条件.
【解析】因为y=(a+2cos2x)是偶函数,
所以g(x)=cos(2x+θ)为奇函数,而θ∈(0,π),故θ=,
所以f(x)=-(a+2cos2x)sin 2x,代入得a=-1.
所以a=-1,θ=.
f(x)=-(-1+2cos2x)sin 2x=-cos 2xsin 2x
=-sin 4x,
因为f=-,
所以f=-sin α=-,故sin α=,
又α∈,所以cos α=-,
sin=×+=.
10【解析】tan 10°+=+
=+=
==
===.
21【解题指南】利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.
【解析】因为cos α-cos β=
所以-2sinsin=①
又因为sin α-sin β=-,
所以2cossin=-.②
因为sin≠0,
所以由,得-tan=-,
即tan=.
所以sin(α+β)=
===.
22【解题指南】(1)先利用二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x)=Acos(ωx+φ)形式,再求解.
(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值.
【解析】(1)由已知f(x)=cos2-sin cos -=(1+cos x)-sin x-=cos.
所以函数f(x)的最小正周期为2π,
值域为.
(2)由(1)知,f(α)=cos=,
所以cos=.
所以cos α-sin α=,平方得1-sin 2α=.
所以sin 2α=.
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