高中数学人教A版（2019）必修第一册4.2.1
指数函数的概念
教学设计
一、课程目标
通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念
二、教学重与难点
教学重点
指数函数抽象过程，指数函数对应关系特征的理解.
教学难点
通过运算发现数据的变化规律,利用增长率和衰减率抽象出指数函数的概念.
三、教学支持条件
需要借助计算器、黑板和多媒体投影等辅助教学
四、教学过程
本节课设计了五个环节:创设情境,探究模型;抽象特征,形成概念;概念应用,加深理解;课堂总结,提炼升华;目标检测,练习巩固.
引入：通过前面的学习，我们学习实数指数幂和幂函数，经历了幂函数的研究过程。通过几个实例得出几个幂函数，通过分析它们的结构，抽象出幂函数的概念。今天，我们用类似的方法继续研究一类基本初等函数。
设计意图：回顾旧知，建立新旧知识联系，引出课题。
创设情境，探究模型
问题1游客人数增长模型
随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票，表格中给出了A，B两地景区2001
年至2015年的游客人次以及逐年增加量.
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律?
问题1：这是表格数据给我们的初步认识。为了更便于观察规律，我们还可以采取什么数学方法？
问题2：通过它们的图像，你发现了怎样的变化规律？
问题3:大家想一想什么是线性增长？
问题4：线性增长就是类似一次函数的增长，即横坐标每增加一个单位，纵坐标增加的量是一个定值。我们看一下表格，算一算两地人次的逐年增加量，看看能发现什么规律？
问题5：A地景区年增长量稳定在10万人次左右，是个常量，如果以2001年旅游人次为基数，那么x年后就旅游人次设为y，
x和y之间的函数关系是什么？
追问6：通过作差运算，我们得到A景区旅游人次的逐年增加量是一个定值，用来刻画A景区的增长规律。B景区的年增加量是逐年增大的，无论从表格还是图像都很难发现每年旅游人次的变化规律.
探究2:我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其它运算发现游客人次的变化规律呢?请你试一试.
学生活动：学生尝试不同运算，并且小范围交流，进行比较分析.
从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，商为一个常数。,我们可以将1.11-1=0.11称之为年增长率.提出增长率的概念.像这样,增长率为常数的变化方式,我们成为指数增长(指数部分的变化).因此,B地景区的游客人次近似于指数增长.
探究3:写出B地景区人数变化规律的函数解析式
学生活动引导学生用增长率来描述每年的游客人次,得到游客人次的增长倍数与年数之间的关系显然,从2001年开始,B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为:
1年后,游客人次是2001年的1.11倍;
2年后,游客人次是2001年的1.112倍;
3年后,游客人次是2001年的1.113倍
x年后,游客人次是2001年的1.11x倍
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍,那么y=1.11x
，
这是一个函数,其中指数x是自变量
设计意图：通过问题串,启发学生思维引导学生经历从表格到图象,再到解析式的研究过程,分析游客人次的增长倍数与年份之间的关系,体验数学函数模型的抽象过程,体会函数模型的发生发展过程,体会学会研究问题的一类方法
问题2碳14衰减模型
考古学是一门比较神秘的学科，大家知道考古学家是用什么方法探测某生物体所处的年代的吗？我们看一段科学小短片。
设计意图：引出碳14测年法，通过科学短片让学生了解碳14测年的原理，为下一步学习做准备。
思考1:当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),若年衰减率为P,你能刻画死亡生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系吗?
学生活动：自主尝试建立模型
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,设生物死亡年数为x,生物体内碳14含量为y,
死亡1年后,生物体内碳14含量为(1-p)
死亡2年后,生物体内碳14含量为(1-p)2
死亡3年后,生物体内碳14含量为(1-p)3
死亡x年后,生物体内碳14含量为(1-p)x
则y=(1-p)x,
这也是一个函数,其中指数x是自变量.
思考2:科学家发现,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这段时间称为“半衰期”.你能求出P吗?
，从而，所以
可得
(x∈[0+∞)
这也是一个函数,指数x是自变量.
死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减像这样,衰减率为常数的变化方式,我们称为指数衰减。因此,死亡生物体内碳14含量呈指数衰减。
设计意图：从已有的科学结果出发,引导学生进行数学表达,在数学化的过程中,归纳推理出指数函数模型.两个实例侧重点不同,实例1重在体验函数模型的形成发生过程,实例2重在数学化过程所以教师在处理方法上也应有所区别,体现层次性。
(二)抽象特征,形成概念
思考1:你还能举出其他类似的函数模型吗?
思考2:这些函数有什么共同特征?
思考3:推广到一般，
x∈R,,底数a有什么要求?
设计意图：通过几个不同的函数模型,抽象出指数函数的概念,经历从特殊到一般,具体到抽象的过程,从中体验抽象一类函数概念的方法,提升数学抽象素养.教师引导分析结构特征,理解概念,并通过追问,引发学生思考,完善底数的取值范围.抓住自变量在指数位置这一基本特征,理解底数取值的合理性.
(三)概念应用,加深理解
例1已知指数函数
(a>0,且a≠1),且f（3)=e,求f(0)，f(1)，f(-3)的值,
设计意图：对函数概念的理解和应用
例2(1)：在问题1中,如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入,A地景区的门票价格为150元,比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况.
(2)在问题2中,某生物死亡10000年后,它体内碳14的含量衰减为原来
的百分之几?
思考:连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”?
从特殊到一般,得到一般地指数增长模型:设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则y=N(1+p)(x∈N),简写为y=kax(k∈R,且k≠0a>0,且a≠1)，我们常用它来刻画指数增长或指数衰减.
设计意图:进步加深理解,例1是对指数函数结构形式的应用,例2是实例中的指数函数概念应用,解答中要引导学生恰当得描述结果.
(四)课堂总结,提炼升华
从实际问题到数学问题,经历数学抽象的过程认识、表达、理解指数函数的概念,体会通过运算来发现不变关系,用函数来刻画规律的基本方法
设计意图:总结提炼,内化概念,明晰研究方法
(五)目标检测,练习巩固
1.下列图像中有可能表示指数函数的是（
）
A
B
C
D
设计意图:从图形角度加深对指数函数的概念的理解
2.若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
设计意图:从结构形式角度加深对指数函数的概念的理解
3.已知函数且…,求的一个解析式.
设计意图:从函数概念角度加深对指数函数的概念的理解
4.在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过30天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?
设计意图:指数函数概念在简单情境中的运用,体现数学来源于生活,服务于生活.
研究性问题:类比研究幂函数性质的过程和方法,进一步研究指数函数的图像和性质
设计意图:承上启下,为下一课作铺垫
1(共20张PPT)
4.2.1
指数函数的概念
人民教育出版社A版2019版
高中数学必修第一册
时间/年
A地景区
B地景区
人次/万次
人次/万次
2001
600
278
2002
609
309
2003
620
344
2004
631
383
2005
641
427
2006
650
475
2007
661
528
2008
671
588
2009
681
655
2010
691
729
2011
702
811
2012
711
903
2013
721
1005
2014
732
1118
2015
743
1244
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现怎样的变化规律？
问题1
A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表中给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次.
A地
B地
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现怎样的变化规律？
线性增长
非线性增长
时间/年
A地景区
B地景区
人次/万次
人次/万次
2001
600
278
2002
609
309
2003
620
344
2004
631
383
2005
641
427
2006
650
475
2007
661
528
2008
671
588
2009
681
655
2010
691
729
2011
702
811
2012
711
903
2013
721
1005
2014
732
1118
2015
743
1244
年增加量
/万次
9
11
11
10
9
11
10
10
10
11
9
10
11
11
年增加量
/万次
31
35
39
44
48
53
60
67
74
82
92
102
113
126
问题1
A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表中给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次.
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现怎样的变化规律？
A景区旅游人次年增加量都约为10万人次
时间/年
A地景区
B地景区
人次/万次
人次/万次
2001
600
278
2002
609
309
2003
620
344
2004
631
383
2005
641
427
2006
650
475
2007
661
528
2008
671
588
2009
681
655
2010
691
729
2011
702
811
2012
711
903
2013
721
1005
2014
732
1118
2015
743
1244
年增加量
/万次
9
11
11
10
9
11
10
10
10
11
9
10
11
11
年增加量
/万次
31
35
39
44
48
53
60
67
74
82
92
102
113
126
问题1
A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表中给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次.
探究2.B地景区年增加量越来越大,能否有更好的方法刻画这种变化？
时间/年
A地景区
B地景区
人次/万次
人次/万次
2001
600
278
2002
609
309
2003
620
344
2004
631
383
2005
641
427
2006
650
475
2007
661
528
2008
671
588
2009
681
655
2010
691
729
2011
702
811
2012
711
903
2013
721
1005
2014
732
1118
2015
743
1244
年增加量
/万次
9
11
11
10
9
11
10
10
10
11
9
10
11
11
年增加量
/万次
31
35
39
44
48
53
60
67
74
82
92
102
113
126
年增加量是相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
1.11
增长率为常数的变化方式，称为指数增长.
B景区每年旅游人次约为上一年的1.11倍
1年后，游客人次是2001年的
倍；
2年后，游客人次是2001年的
倍；
3年后，游客人次是2001年的
倍；
……
x年后，游客人次是2001年的
倍.
设经过
x
年后的游客人次为2001年的
y
倍
A地
B地
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现怎样的变化规律？
增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个重要的量.
死亡1年后，生物体内碳14含量为
；
死亡2年后，生物体内碳14含量为
；
死亡3年后，生物体内碳14含量为
；
……
死亡x年后，生物体内碳14含量为
.
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，
设死亡年数为
x，死亡的生物体内碳14含量为
y
衰减率为常数的变化方式，称为指数衰减.
死亡1年后，生物体内碳14含量为
；
死亡2年后，生物体内碳14含量为
；
死亡3年后，生物体内碳14含量为
；
……
死亡x年后，生物体内碳14含量为
.
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，
设死亡年数为
x，死亡的生物体内碳14含量为
y
结构特点
观察得到的这两个函数，它们有什么共同结构特征？
指数幂形式
自变量在指数位置
底数是常量
是
不是
不是
不是
不是
不是
实际问题
这说明2001年…
数学问题
思考：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”？
这说明…
课堂小结4.2.1指数函数的概念评测练习
1.下列图像中有可能表示指数函数的是（
）
A
B
C
D
2.若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
3.已知函数且…,求的一个解析式.
4．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？
