人教新课标A版必修2《第2章点、直线、平面之间的位置关系》单元测试卷（1）
一、单项选择题（本大题共5小题，共25.0分）
在正方体中，M，N分别，BC是的中点，则下列判断正确的是
A.
B.
C.
平面
D.
平面
已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足：，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系
A.
两两垂直
B.
两两平行
C.
两两相交
D.
两两异面
如图，已知正四面体的棱长为2，记二面角的平面角为，直线DA与平面ABC所成的角为，直线DA与BC所成的角为，则
A.
B.
C.
D.
在正方体中，，E为棱上一点，且，则异面直线BE与所成角的正切值为?
?
A.
B.
C.
D.
若长方体中，，，分别与底面ABCD所成的角为、，则该长方体的体积为???
．
A.
B.
C.
3
D.
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：
；；；．
其中正确的命题是_______．
已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则三棱锥A一BCD的体积是________．
在四面体ABCD中，，，，则点A到平面BCD的距离是________．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
如图所示，在三棱锥中，平面ABC，，D、E分别为线段AB、BC上的点，且，．
Ⅰ求证：平面PCD；
Ⅱ求点B到平面PDE的距离．
在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E为PB上一点，且，，．
证明：平面ABCD；
若，求四棱锥的体积．
如图，所有棱长都相等的直四棱柱中中点为．
求证：平面；
求证：．
如图，已知多面体PABCD中，，平面PAB，，，，．
Ⅰ证明：平面ABCD；
Ⅱ求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．
求证：平面PCD；
在线段BD上是否存在点Q，使得平面平面ABCD？若存在，证明你的结论，并求出的值；若不存在，说明理由．
如图，四棱锥中，平面平面ABCD，是正三角形，底面ABCD是直角梯形，，，，M为PC中点．
Ⅰ求证：平面PAD；
Ⅱ求证：直线平面PDC；
Ⅲ求直线PD与平面BDM所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
记，则，利用线面平行的判定可得平面D.
本题考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，判断是关键．
【解答】
解：记．
正方体中，M，N分别，BC是的中点，
，，
为平行四边形，
，
平面，平面，
平面D.
故选：C．
2.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．
直接利用直线和直线的位置关系的性质求出结果．
【解答】解：设，假设：
若l与a，b均不重合，由，可得，，又，可知，
又，可得
若l与a或b重合，则
因为，，两两互相垂直，可知l与相交，即l与c相交或异面，与矛盾．
综上，可知直线a，b，c不可能两两平行故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
设三棱锥是棱长为2的正四面体，取AB中点E，连结DE、CE、过D作，交CE于O，连结AO，则，，取BC的中点F，可证明平面AFD，这样可以求出，由此求出这样可以比较大小．
【解答】
解：如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE，过D作，交CE于O，连接AO，
正四面体，
平面ABC，
，．
由题知，，，
．
，
．
取BC的中点F，连接DF，AF，则，，
又，平面AFD，
，．
．
故选A．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的正切值的求法，属于基础题．
找出异面直线所成角求解即可．
【解答】
解：在三角形ADE
中，?，，
，，
异面直线BE
与所成角即为直线BE
与AB所成角，
或其补角为异面直线BE
与所成角，
又，
．
故选D．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，
依题意，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．
【解答】
解：长方体中，，
C、与底面ABCD所成的角分别为、，
，所以长方体的体积为，
故选C．
6.【答案】．
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于一般题．
【解答】
解：由线面垂直的性质定理与面面平行可得正确；
由可得或，又，则m，l的位置关系是平行相交或异面，故错误；
由，又，由线面垂直的判定定理可知，的位置关系可能不垂直，故错误；
由，又，所以，故正确；
故答案为．
7.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查球的内接体，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
求出球的半径，然后求解三棱锥的高，即可求三棱锥的体积．
【解答】
解：球O的表面积为，可得：，
球的半径为：．
由题意得，
所以AB为球的直径，
又，
所以，三角形BCD外接圆的圆心为BC的中点，
设BC的中点为M，
则平面BCD，
又，
即三棱锥的高为：，
则三棱锥的体积为：．
故答案为：2．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的判定，点到平面的距离，属于基础题．
取BD的中点E，连接AE，取CE的中点连接AH，先证得平面BCD，即点A到平面BCD的距离是AH，再根据数据求得AH．
【解答】
解：如图取BD的中点E，连接AE，取CE的中点连接由题意可得．
，AE，平面ACE，
则平面ACE，且，
因为为CE的中点，所以．
因为平面所以．
平面BCD，
所以平面BCD．
因为，所以．
故答案为
9.【答案】证明：Ⅰ由平面ABC，平面ABC，
故．
由，得为等腰直角三角形，
故CD．
又，PC，面PCD，
故DE平面PCD．
解：Ⅱ由Ⅰ知，为等腰直角三角形，，
过D作DF垂直CE于F，由题意得，
又平面PCD，面PCD，，，
设点B到平面PDE的距离为h，即为三棱锥的高，
由得?，
即，
即，，
点B到平面PDE的距离为．
【解析】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
Ⅰ由平面ABC，得推导出为等腰直角三角形，故CD由此能证明平面PCD．
Ⅱ?过D作DF垂直CE于F，由题意得，，，设点B到平面PDE的距离为h，即为三棱锥的高，由，能求出点B到平面PDE的距离．
10.【答案】证明：四边形ABCD为矩形，，
又，，CD，平面PCD，
平面PCD，
平面PCD，，
同理，又，BA，平面ABCD，
平面ABCD；
解：由，得，则，
由，不妨设，，则，
，，
，
又，
∽，
，即，得．
，．
．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
由四边形ABCD为矩形，得，结合已知证明平面PCD，得到，同理，再由线面垂直的判定可得平面ABCD；
由已知得，，由，不妨设，，则，∽求得t，得到PD，再由棱锥体积公式求解．
11.【答案】证明：连结AC，交BD于点E，
由四边形ABCD的四边相等，得E为AC中点，
连结，由四边形四边相等，得与交于中点，
又在棱柱中，，，
四边形为平行四边形，
，，，，
连结，则四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面．
四边形ABCD四边相等，，
平面ABCD，平面ABCD，，
，平面，平面，
平面，
平面，．
【解析】连结AC，交BD于点E，则E为AC中点，推导出四边形为平行四边形，连结，则四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．
推导出，，从而平面，由此能证明．
本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
12.【答案】Ⅰ证明：在中，，，，
，解得，
，
，
四点共面，
又平面PAB，平面PAB，
，
又，AB、平面ABCD，
平面ABCD；
Ⅱ解：由Ⅰ知，，又，
，在中，由勾股定理得，
平面PAB，平面PAB，
，
在中，由勾股定理得，
在直角梯形ABCD中，，
在中，
，
，
设直线PA与平面PCD所成的角为，设点A到平面PCD的距离为h，
，
，
即，
，．
直线PA与平面PCD所成角的正弦值为．
【解析】【试题解析】
本题考查了线面垂直的判定及线面角的计算，属于中档题．
首先证明A，B，C，D四点共面，接着由线面垂直得到线线垂直，继而可证明线面垂直．
由已知条件得到边长，求出和的面积，利用即可求出h，则正弦值可知．
13.【答案】证明：取PD中点为R，连接NR，CR，N为PA的中点，
，
四边形ABCD为平行四边形，M为BC的中点，
．
四边形MCRN为平行四边形，
，又平面PCD，
平面PCD；
在线段BD上存在点Q，使得平面平面ABCD，．
证明如下：过N作于E，连接EM交BD于Q，
，，
面平面ABCD，面平面，
面ABCD，
平面MNQ，平面平面ABCD，
此时．
【解析】本题考查平面与平面垂直的判定及性质，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力．
取PD中点为R，连接NR，CR，证明四边形MCRN为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理证明平面PCD；
过N作于E，得，又由面面垂直性质定理得面ABCD，再由面面垂直判定定理证明平面平面ABCD，此时．
14.【答案】证明：Ⅰ取PD中点N，连接MN，AN，
为PC的中点，，且，
又，且，
四边形ABMN是平行四边形，，
平面PAD，平面PAD，
平面PAD．
Ⅱ平面平面ABCD，且平面平面，，
平面PAD，
平面PAD，，
是正三角形，PD中点为N，，
又，平面PDC，
，平面PDC．
解：Ⅲ过P作于E，
平面PDC，平面BDM，
平面平面PDC，且平面平面，
平面BDM，
是PD在平面BDM内的射影，
为直线PD与平面BDM所成角，
中，，，
中，，
直线PD与平面BDM所成角的正弦值为．
【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查运用意识，属于中档题．
Ⅰ取PD中点N，连接MN，AN，推导出四边形ABMN是平行四边形，从而，由此能证明平面PAD．
Ⅱ推导出平面PAD，从而，再求出，从而平面PDC，由此利用，能证明平面PDC．
Ⅲ过P作于E，推导出平面BDM，则为直线PD与平面BDM所成角，由此能求出直线PD与平面BDM所成角的正弦值．
第2页，共2页
第1页，共1页人教新课标A版必修2《第2章点、直线、平面之间的位置关系》单元测试卷（1）
一、单项选择题（本大题共3小题，共15.0分）
三棱锥中，若平面ABC，，那么在三棱锥的侧面和底面中，直角三角形的个数为
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
下列四个命题中，正确命题的个数是个
若平面平面，直线平面，则；
若平面平面，且平面平面，则；
平面平面，且，点，，若直线，则；
直线m、n为异面直线，且平面，平面，若，则．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
如图，棱长为2的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于CM，则的面积的最小值为
A.
B.
C.
D.
1
二、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，，O为AD边的中点．
证明：平面平面PAD；
若，求四棱锥的体积．
如图，在直角梯形ABCD中，，，，将沿BD折起，使平面平面BCD．
证明：平面ABD；
求三棱锥的高．
如图，在正四棱台中，，，，E、F分别是AD、AB的中点．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求证：平面．
注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥．用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台．
如图1，为正三角形，为等腰直角三角形，，将沿BC边折叠到的位置，使，E为BD中点，如图2．
Ⅰ求证：平面BCD；
Ⅱ求二面角的余弦值．
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，且，，．
???
设AC与BD交于点O，求证：平面FCD；
???
求证：平面ABF．
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，E，F分别为，BC的中点．
求证：平面平面；
求证：在棱AC上存在一点M，使得平面平面ABE；
求三棱锥的体积．
如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，．
求证：平面PAB；
求四面体PACD的体积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意：三棱锥中，若平面ABC，，
则：整理得几何体为：
由于平面ABC，
所以：，．
则：，
且，
则：平面PAC，
所以：，，，都为直角三角形．
故选：A．
直接利用线面垂直和面面垂直之间的应用求出结果．
本题考查的知识要点：线面垂直和面面垂直之间的转换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】解：若平面平面，直线平面，
则或，故错误；
若平面平面，且平面平面，则与相交或平行，故错误；
当点B不在平面内，满足时，但AB与不垂直，故错误；
直线m、n为异面直线，且平面，平面，
由面面垂直的性质得，故正确．
故选：B．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．
3.【答案】A
【解析】解：以AB，AD，为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则0，，2，，2，，
设0，，则，，
，，即．
取AB的中点N，连结，则P点轨迹为线段，
过B作，则．
又平面，故BC，
的最小值为．
故选：A．
建立坐标系，求出P的轨迹，得出P到B的最小距离，得出三角形的最小面积．
本题考查三角形的面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4.【答案】证明：连接BD，因为底面ABCD是菱形，，所以是正三角形，
所以，因为O为AD的中点，，
所以，且，
所以平面POB，
又平面PAD，所以平面平面PAD；
解：因为是正三角形，所以，
在中，，所以，
又，所以，
所以，即，
又，且，所以平面ABCD，
因为，
所以四棱锥的体积为．
【解析】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象力能力，逻辑推理能力以及计算能力．
连接BD，证明，说明，即可证明平面POB，然后证明平面平面PAD；
求出，，计算，推出，然后证明平面ABCD，即可求解四棱锥的体积．
5.【答案】证明：，，，
又，，
又，；
又平面平面BCD，平面平面，平面BCD，
平面ABD．
由知平面ABD，
所以，CD为三棱锥的高，
，
设棱锥的高为h，
，
，所以棱锥的高为1．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定及性质，训练了等体积法，是中档题．
要证平面ABD，需证，由已知可证；
利用等体积法求解高即可．
6.【答案】本小题满分12分
证明：Ⅰ连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，
由题意，
因为平面，平面，所以平面分又因为，，所以
又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以
所以
又因为，所以
所以四边形为平行四边形
所以
因为平面，平面，所以平面
因为，所以平面平面分
Ⅱ连接，因为，，
所以四边形为平行四边形
因为，所以四边形为菱形
所以分
因为平面ABCD，平面
所以平面平面ABCD，
因为，所以平面
因为平面，所以
因为，所以平面分
【解析】Ⅰ连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，，证明平面，推出，然后证明，得到平面，利用平面与平面平行的判定定理证明平面平面．
Ⅱ连接，说明四边形为平行四边形，证明，推出平面，得到，然后证明平面．
本题考查平面与平面平行的判定定理的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，
7.【答案】Ⅰ证明：连结EC，是BD的中点，，
，
，
又为等腰直角三角形，E是BD的中点，
，
，
，，BD，平面BCD，
平面BCD．
Ⅱ设，以ED、EC、为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则0，，0，，，0，，
，，，
设平面的法向量y，，
则
取，得1，，
设平面的法向量b，，
则
令，得平面的法向量1，，
，，
二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为．
【解析】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
Ⅰ根据线面垂直判断定理证明即可；
Ⅱ建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求夹角余弦值即可．
8.【答案】证明：如图，
取CD的中点G，连结OG，FG，???
在中，因为O，G分别是CA，CD的中点，???
所以，且，???
又由已知得，且，???
所以EF平行且等于OG，所以四边形OGFE是平行四边形，所以，???
又平面FCD，平面FCD，所以平面?
??
设，在四边形ADFE中，因为，，所以∽，???
所以，所以，即，???
又平面ABCD，平面ABCD，所以，???
又因为，，所以平面EADF，所以，???
因为，，所以平面ABF．
【解析】本题考查空间线面平行，线面垂直的判定，
依题意，证得四边形OGFE是平行四边形，所以，?
?根据线面平行的判定定理即可证明结论．
依题意，证得平面EADF，所以，???因为，从而得平面ABF．
9.【答案】证明：三棱柱中，侧棱垂直于底面，
，
，，，平面，
平面，
平面ABE，
平面平面．
证明：取AC
中点M
，连接，FM
，由F
为BC
的中点，知，
平面ABE
，得平面ABE
，
因为，，所以四边形为平行四边形，
则，平面ABE
，得平面ABE
，而点，
平面平面ABE
，即存在AC
中点M
，使得平面平面ABE
；
?解：点E
到底面的距离即为侧棱长，
在中，，，，
所以，，
所以．
【解析】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．
证明平面，可得平面平面；?
利用面面平行的判定定理即可证明；?
利用可得．
10.【答案】证明：平面平面ABCD，且平面平面，，平面ABCD，
平面PAD，
平面PAD，
，
又，且，PA，平面PAB；
平面PAB；
解：取AD中点O，连接PO，则，
又平面平面ABCD，平面平面，
平面PAD，
平面ABCD，
，，，，
在中，由，，
可得．
．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查多面体体积的求法，是中档题．
由已知结合面面垂直的性质可得平面PAD，进一步得到，再由，由线面垂直的判定得到平面PAB；
取AD中点O，连接PO，则，由面面垂直的性质可得平面ABCD，求解三角形得到PO，再求出底面三角形ACD的面积，代入棱锥体积公式得答案．
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