人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（一）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
已知，，则下列不等式一定成立的是?
A.
B.
C.
D.
已知的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为
A.
21
B.
C.
D.
若，则下列不等式不恒成立的是
A.
B.
C.
D.
不等式的解集是
A.
B.
C.
D.
或
已知函数，则时函数的最大值为
A.
当时，最大值为
B.
当时，最大值为
C.
当时，最大值为1
D.
当时，最大值为2
不等式的解是
A.
B.
C.
D.
设非零实数a、b，则“”是“”成立的
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
建造一个容积为，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为
A.
1680元
B.
1760元
C.
1800元
D.
1820元
已知，，若恒成立，则实数a的取值范围是
A.
或
B.
或
C.
D.
对任意的时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
若直线过点，则的最小值等于?
?
?
?
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
若实数a，b满足，则的最小值为???
?
?
A.
2
B.
C.
4
D.
8
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
不等式的解集______
．
若，则与的大小关系是________．
已知正数a，b满足，则的最小值是______．
设，则的最小值是______
．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
解关于x的不等式：
；????????????????
．
已知正数a，b满足求ab的最小值；已知，求函数的最小值．
已知，．
若函数有最大值，求实数a的值；
若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
若，解不等式．
己知x，，且，求证：．
已知A、B两地的距离是120km，按交通法规规定，A、B两地之间的公路车速应限制在假设汽油的价格是6元升，汽车的油耗率为，司机每小时的工资是42元，设车速单位：，如果不考虑其他费用，行车的总费用为单位：元．
将y表示为x的函数；
最经济的车速是多少？并求出这次行车的最小费用？
已知二次函数满足，且．
求函数的解析式：
求函数在区间上的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】?
?由于，，则由不等式的性质得．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解集和二次函数，解决问题的关键是由题意得出a、b、c的方程组，然后可解．
【解答】
解：因为的值域为
，
又关于x的不等式的解集为，
和为方程的两根，
，
联立可解得．
故选C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
利用不等式的性质逐项分析即可求解．
【解答】
解：，成立；
，成立；
当，时，，但，不成立；
，成立，
故选C．
4.【答案】B
【解析】解：不等式变形得：，
可化为或，
解得：，
则不等式的解集为．
故选B
不等式移项后左边分解因式，利用两数相乘积为负，两因式异号转化为两个一元一次不等式组，求出不等式的组的解集即可．
此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查二次函数在某区间上的最值问题，属于较易题根据函数的图象讨论即可．
【解答】
解：当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，函数图像的对称轴，1离对称轴远，
，
故选A．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了不等式求解，属于基础题．
【解答】
解：原不等式等价于
即或．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：由可得，当且仅当时取等号，
当时，，则不成立，即充分性不成立；
若，则，即，可以推出成立，即必要性成立．
故“”是“”成立的必要不充分条件．
故选B．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，基本不等式，属于基础题．
利用基本不等式成立的条件，结合充分条件和必要条件的定义即可判断．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的实际应用以及利用基本不等式求最值，考查了学生的实际应用能力．
设出池底的一边长为xm，另一边则可表示为，由题意表示出总造价的函数式，化简后可利用基本不等式求出最小值，注意判断取最值时x的取值是否存在．
【解答】
解：设水池池底的一边长为xm，则另一边长为，
则总造价
．
当且仅当，即时，y取最小值为1760．
所以水池的最低造价为1760元．
故选B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题，属基础题．
由基本不等式可得的最小值，由恒成立可得a的不等式，解不等式可得．
【解答】
解：，，
，
当且仅当即时取等号，
恒成立，
，即，
解关于a的不等式可得
故选D．
10.【答案】D
【解析】解：由，得，
当时，的最大值为．
若对任意的时不等式恒成立，
则实数a的取值范围是．
故选：D．
把不等式变形，分离参数a后求在上的最大值，则实数a的取值范围可求．
本题考查了函数恒成立问题，考查了分离变量法求参数的取值范围，训练了二次函数最值的求法，是基础题．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值、基本不等式的实际应用，属于基础题．
直线?过点??，?，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：直线过点，
，
则，
当且仅当时取等号．
故选C．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
直接利用基本不等式求出结果．
【解答】
解：实数a，b满足，
则，
当且仅当时等号成立．
故选C．
13.【答案】R
【解析】解：不等式可化为
，
；
该不等式的解集为R．
故答案为：R．
把不等式化为，由此得出原不等式的解集．
本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应根据不等式的特征进行解答，是基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根式比较大小的方法，考查了不等式性质的应用，首先分别将已知变形，再利用不等式的性质进行比较即可．
【解答】
解：将两个根式变形为：，．
，，，
，
，
即，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是进行1的代换．
由已知可得，，从而，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：正数a，b满足，
，
则，
当且仅当即，时取得等号，
故答案为：．
16.【答案】4
【解析】解：，．
，当且仅当时取等号．
故答案为：4．
变形利用基本不等式即可得出．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：不等式化为，
解得或，
不等式的解集为或；????????????????
不等式中，
，
又方程的两个实数根为和，
所以该不等式的解集为
【解析】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
根据一元二次不等式的解法与步骤，进行解答即可．
18.【答案】解：，设，
，解得或舍去，
当即，时，ab最小值为8．
解：，
．
，
当且仅当，即时，等号成立．
当时，函数取得最小值为9．
【解析】设，由基本不等式得出关于t的不等式，解出t的范围，即可求出的最小值；
因为，然后利用基本不等式求解即可．
本题主要考查基本不等式的应用，注意应用条件“一正二定三相等”．
19.【答案】解：显然，且，解得：或
由得：．
当时，不合题意；
当时，
所以
，即
因为，所以，
因为，
所以当时，，解集为；
当时，，解集为；
当时，，解集为
【解析】本题主要考查一元二次函数的知识．
一元二次函数的最值问题．
一元二次不等式恒成立问题．
分类讨论求二次不等式的解集．
20.【答案】证明：要证，
即证，
即证，
即有，
即有，
由，
当且仅当时，上式取得等号，
以上均可逆，则．
【解析】运用分析法证明，结合基本不等式即可得证．
本题考查不等式的证明，注意运用分析法，以及基本不等式，考查化简变形能力，属于基础题．
21.【答案】解：设汽车以行驶时，行车的总费用为y元，则
，；
?，
当且仅当，即时，这次行车的费用最小，
最经济的车速为，此时行车的总费用为240元．
【解析】利用已知条件设汽车以行驶时，行车的总费用为y元，列出函数关系；
利用基本不等式，求出函数的最值即可．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．
22.【答案】解：由题意：为二次函数，设，
，
，
则
又，
，即，
由，解得：，．
所以函数的解析式：；
由知，
根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴，
函数在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值，，
又，
在处取得最大值，，
故函数在区间上的最大值和最小值分别为3，．
【解析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数在闭区间的最值问题，考查了分析和运算能力，属于中档题．
设函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
利用二次函数的性质求解在区间上的最大值和最小值即可．
第2页，共2页
第1页，共1页人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（三）
一、填空题（本大题共1小题，共5.0分）
若，且a，b同号，则
______
用不等号“”或“”填空．
二、解答题（本大题共9小题，共108.0分）
用不等式表示下列不等关系．
今天的天气预报说：明天早晨最低温度为，明天白天的最高温度为；
的两边之和大于第三边；
是一个非负实数．
已知扇形OAB的半径为r，弧长为l，圆心角为。
若扇形OAB的面积为定值S，求扇形周长C的最小值及对应的圆心角的值；
若扇形OAB的周长为定值C，求扇形面积S的最大值及对应的圆心角的值。
求下列不等式的解集：
；
．
求的最小值，并求取最小值时x的值．
已知函数．
若，求实数m的取值范围
若关于x的不等式的解集为，求实数m，n的值．
某企业在2015年年底共有职工2000人，本年企业利润为3000万，从2016年起计划每年利润增加100万元，职工每年净增a人，设从2016年起的第x年年为第一年该企业人均利润为y万元．
写出y与x之间的函数关系式；
今后为使企业人均利润每年都是增长，那么该企业每年人口的净增不能超过多少人？
分别把下列命题写成“如果，那么”的形式，并指出其题设和结论，判断其真假等角的余角相等；负数之和仍为负数．
某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与内墙各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留宽的通道，如图，设矩形温室的室内长为，三块种植植物的矩形区域的总面积为
求S关于x的函数关系式；
求S的最大值．
用水洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
试规定的值，并解释其实际意义；
试根据假定，写出函数应满足的条件和具有的性质，并画出其大致图象；
设，现有单位的水，考虑以下两种方案清洗这堆蔬菜．
方案一：用a单位的水清洗一次；
方案二：把a单位的水平均分成2份后清洗两次．
试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，若A与B都大于0，则；
若A与B都小于0，仍然有；
故答案为
由于，分“a与b都大于0”或“a与b都小于0”，根据分数中分子相同，分母越大，分数值越小，解答即可；
本题主要考查了不等式的基本性质，根据分数的大小比较的方法：当分子和分母在非0自然数范围内，分子相同时，分母越大，分数值越小．
2.【答案】解：设明天的温度为，则，即．
设的三边长分别为a，b，c，则，且，且．
．
【解析】本题考查了不等关系，是基础题．
设明天的温度为，由题意得得出不等关系即可；
由题意得得出不等关系即可；
由题意得得出不等关系即可．
3.【答案】解：为定值，，
当且仅当时取“”，所以当时，；
为定值，，
当且仅当时取“”，所以当时，．
【解析】本题考查弧长、扇形面积及周长的最值问题，考查利用基本不等式求最值，属基础题．
本题考查求扇形周长C的最小值及对应的圆心角的值，利用基本不等式求最值；
求扇形面积S的最大值及对应的圆心角的值，利用基本不等式求最值．
4.【答案】解：，即，
即，
解得或，
故不等式的解集为，
由可得，
即，
解得或，
故不等式的解集为
【解析】分别用因式分解法即可求出不等式的解集．
本题考查了利用因式分解法解一元二次不等式，属于基础题．
5.【答案】解：，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值12．
【解析】由题意直接利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．
6.【答案】解：由已知，得，
即，
所以或，
所以实数m的取值范围为或．
因为，
所以，
由题意，知，4是方程的两根，
所以，
解得．
【解析】本题考查了二次函数的性质，考查解不等式问题，属于中档题．
将代入函数式，得到关于m的不等式，解出即可；
由不等式的解法以及一元二次方程的根与系数的关系得到关于m，n的方程组，解出即可．
7.【答案】解：依题意得第x年该企业的总利润为万元，
而该企业第x年的人口总数为人，
，
为使该企业的人均利润年年都有增长，则在时，为增函数．
设，则
，，?
?
?
?
?
??
由，
得．
，
又，
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【解析】据人均利润总产值总人数，列出y与x的关系?
是利用单调递增函数的定义，设出有大小的两自变量得到其函数值的大小，列出不等式求出a的范围．
8.【答案】略；
略
【解析】如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等题设：两个角是等角的余角，结论：这两个角相等真命题；如果几个负数相加，那么它们的和为负数题设：几个负数相加，结论：它们的和为负数真命题．
9.【答案】解：由题设得，
因为，
所以，当且仅当时等号成立．
从而．
答：当矩形温室的室内长为时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为．
【解析】【试题解析】
本题考查了函数模型的应用以及利用基本不等式求最值，是一般题．
由题设得，．
利用基本不等式求最值．
10.【答案】解，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样
应满足：，且在定义域上单调递减，的值域为，其大致图像为：
对于方案一，用a单位的水清洗一次，残留的农药量为??
对于方案二：清洗两次后，残留的农药量为．
?因为，
故当时，，方案一蔬菜上残留的农药量比较少；
当时，，两种方案蔬菜上残留的农药量一样；
当时，，方案二蔬菜上残留的农药量比较少．
【解析】?本题主要考查函数模型的应用、比较大小等，属于中档题．
根据的含义求解即可．?
根据实际意义确定函数应该满足的条件和具有的性质；
先设仅清洗一次，计算出残留在农药量，均分两次清洗后，残留的农药量，再比较它们的大小关系即得．
第2页，共2页
第1页，共1页人教A版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（二）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
函数的定义域是
A.
B.
C.
D.
函数的值域是
A.
B.
C.
D.
己知，则的值等于???
A.
5
B.
6
C.
7
D.
9
已知函数，是偶函数，则实数m的值为
A.
B.
C.
D.
6
函数，则的值是
A.
B.
2
C.
D.
3
设函数，若，则?
?
A.
B.
C.
D.
函数的图像可能是?
?
????????
A.
B.
C.
D.
函数和的递增区间依次是
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
设，，则等于
A.
B.
C.
D.
函数的图象可能是
A.
B.
C.
D.
已知，则?
?
?
A.
B.
C.
D.
2x
命题“，是偶函数”的否定是?
?
A.
，是奇函数
B.
，不是偶函数
C.
，是奇函数
D.
，不是偶函数
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知函数为奇函数，，则________．
若函数为奇函数，则实数_______．
设函数，则满足的x的取值范围是______．
已知，，则____．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知函数，且．
求实数k的值及函数的定义域；
判断函数在单调性．
已知函数其中且
??Ⅰ当时，画出函数的图象，并写出函数的单调区间；
?
Ⅱ若在区间上的最小值为，求的表达式．
某质点在25s内运动速度V是时间t的函数，它的图象如图所示，用解析法表示出这个函数，并求出6s时质点的速度．
已知函数是定义在上的减函数，则满足的实数x的取值范围是____．
已知二次函数满足，又在上是增函数，且，求实数a的取值范围．
某辆汽车以x千米小时的速度在高速公路上匀速行驶考虑到高速公路行车安全要求时，每小时的油耗所需要的汽油量为升，其中k为常数，且．
Ⅰ若汽车以120千米小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；
Ⅱ求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，以及分母不为0，得不等式组，解出即可．
本题考查了二次根式的性质，求函数的定义域问题，是一道基础题．
【解答】
解：由，得且，
故选C．
2.【答案】B
【解析】解：；
故函数的值域是；
故选B．
利用配方法求函数的值域．
本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了函数解析式的求法，首先求出函数的解析式，然后由解析式求函数值即可．
【解答】
解：，
，
，
故选C．
4.【答案】B
【解析】解：函数，是偶函数，
故，解得：，
故选：B．
根据偶函数的定义域关于原点对称求出m的值即可．
本题考查了二次函数的性质，考查函数的奇偶性的性质，是一道基础题．
5.【答案】D
【解析】解：函数，
．
故选：D．
由函数，知，由此能求出结果．
本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
直接利用幂函数的性质即可求出结果．
【解答】
解：由题意，函数，
由于：，
所以，
由幂函数的单调性可得：，
故选：A．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的判断，函数的奇偶性，属基础题．
先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断可得结果．
【解答】
解：函数，定义域为
所以．
故为奇函数，排除A，C；
又，排除A．
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：对于，时，是增函数，故递增区间为：；
对于，对称轴，在递增，
故选：C．
对于，讨论x的范围，得出的区间表达式，得出单调区间；对于先配方，得出对称轴，从而得出函数的单调区间．
本题考查了函数的单调性，考查了分段函数，二次函数的性质，是一道基础题．
9.【答案】B
【解析】解：，，
即，
故选B．
本题考查函数的表示方法，属于基础题目由的解析式可得，即得．
10.【答案】A
【解析】解：若使函数的解析式有意义
则，即
即函数的定义域为
可排除B，D答案
当时，，
则
可排除C答案
故选：A．
由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．
本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．
11.【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查了函数的解析式，属于基础题．
直接将2x代入函数中即可求得．
【解答】
解：，
．
故选．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了特称命题的否定，属于基础题根据特称命题的否定为全称命题，“是偶函数”的否定是“不是偶函数”，即可得解．
【解答】
解：特称命题的否定是全称命题，“是偶函数”的否定是“不是偶函数”．
所以命题“是偶函数”的否定是不是偶函数．
故选D．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性的定义，是基础题．
根据函数为奇函数，求出即可．
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
又因为，
所以，
故答案为．
14.【答案】?
【解析】
【分析】本题考查根据函数的奇偶性求参数范围问题，属基础题．
利用奇函数的定义求解．
【解答】解：因为，所以对定义域内任意一个实数恒成立，解得．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：当时，，
若，则，
由得，
即，即，此时恒成立，此时．
若，则，
由得，
即，即，此时，
若，则，
则由得，
即，此时不等式恒成立，此时，
综上，
即不等式的解集为，
故答案为：
根据分段函数的表达式，对变量x进行分类讨论，然后解不等式即可．
本题主要考查不等式的求解，利用分段函数的解析式分别对变量进行讨论是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数值的求法，属于基础题．
表示出可得，从而可解得的值．
【解答】
解：由，得，
所以，
故答案为．
17.【答案】解：由得，．
定义域为；
为增函数．
在任取两数，设，
则
因为，所以，，
所以，
即，
所以在为增函数．
【解析】令代入解析式，求出根据分母不为0易得定义域．
按照函数单调性的定义判断并证明即可．
本题主要考查函数的性质：定义域，单调性，考查推理、计算、论证能力．
18.【答案】解：Ⅰ当时，如图：
则的增区间为和，减区间为?
Ⅱ如图：
在上递增，在上递减，在上递增，
当，即时，在上递增，上递减，
，
若，则，即时，，
若则，即时，，
当，即时，在上递增，上递减，上递增，
，
若则，即，
所以当时，，
综上所述：
【解析】
本题考查了分段函数的图象与性质，考查了函数的单调性和最值，属于中档题．
Ⅰ分段作出函数图象，得出单调区间；
Ⅱ根据函数图象得出结论．
19.【答案】解：根据折线为直线，可设，图中点的坐标：
，，，
代入解析式可得：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以：
当时，，
时，，
出6S时质点的速度．
【解析】据折线为直线，可设，图中点的坐标：，，，代入分段求出解析式．
，代入求函数值，即可得到答案．
本题考查了一次函数在实际问题中的应用，运用图形解决问题的能力，分段函数模型的运用．
20.【答案】解：由题意有：
解得．
所以实数x的取值范围为．
【解析】本题考查函数的定义域与单调性．
由定义域和单调性，列出不等式组，解不等式组即可求解．
21.【答案】解：满足，
对称轴是
又在上是增函数，
则抛物线的开口向下，且在上是减函数，
，则，
所以根据二次函数的单调性并结合图象可得：
．
【解析】先求出函数的对称轴，根据函数的对称性，求出函数的单调区间，从而求出a的范围．
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，对称性，是一道基础题．
22.【答案】?解：Ⅰ由题意，当时，，
．
由，
得，
．
又，
．
Ⅱ设该汽车行驶100千米的油耗为y升，
则
，
令，则，
，
对称轴，
，
．
若，即，
则当，即时，；
若，即，
则当，即时，．
答：当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为．
【解析】
【分析】?本题考查数学知识在实际问题中的应用，属于一般题．
Ⅰ求出k的值，利用条件建立一元二次不等式求解；
Ⅱ利用数量关系建立函数，结合换元法、二次函数等求解最值．
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