湘教版必修3单元试卷：第6章立体几何初步（
1）
一、单项选择题（本大题共11小题，共55.0分）
已知等腰直角三角形直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转而形成的曲面所围成的立体图形的体积为
A.
B.
C.
D.
九章算术卷五“商功篇”记载了如下问题：“今有委菽依垣，下周三丈，高七尺．问积及为菽各几何？”其意思为“在屋内墙边堆放大豆形状为一个半圆锥，豆堆底部的弧长为3丈，高为7尺，问豆堆的体积单位：立方尺和堆放的大豆单位：斛各为多少？”已知1斛大豆的体积约为立方尺，1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆约有?
?
A.
73斛
B.
144斛
C.
287斛
D.
432斛
已知中，，，将绕BC所在直线旋转一周，形成几何体K，则几何体K的表面积为?
?
?
A.
B.
C.
D.
正三棱锥的侧棱长为3，高为，则这个正三棱锥的体积为???
A.
B.
C.
D.
圆锥的底面半径为2，高为，则圆锥的侧面积为
A.
B.
C.
D.
若一个正四棱锥的左视图是一个边长为2的正三角形如图，则该正四棱锥的体积是
A.
1
B.
C.
D.
设计用的材料制造某种长方体车厢无盖，按交通法规定厢宽为，则车厢的最大容积是???
A.
?
B.
C.
?
D.
在四面体中，，，则此四面体体积的最大值为
A.
1
B.
C.
D.
已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为
A.
4
B.
6
C.
8
D.
12
九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积底面的圆周长的平方高，则该问题中的体积为估算值，其实际体积单位：立方尺应为???
A.
B.
C.
D.
将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，令，三棱锥的体积为y，则函数的单调递增区间为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）
底面半径为3的圆锥的体积与底面半径为2，高为3的圆柱的体积相等，则该圆锥的侧面积为__________．
如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则：______．
某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为如果池底每?
的造价为150元，池壁每的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为??
?
?m
若圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为______．
一个圆锥的高和底面半径相等，且这个圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等，则圆锥和圆柱的侧面积的比值为_____．
三棱锥中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则：______．
底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积为?
?
?
?
?
?．
已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是边长为2的正三角形，正视图是矩形，且，则此几何体的体积为______
．
如图，三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，则______．
三、解答题（本大题共10小题，共120.0分）
如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，E，F分别是棱BC，上的动点，且，，，．
Ⅰ证明：无论点E怎样运动，四边形都为矩形；
Ⅱ当时，求几何体的体积．
如图所示，正方体的棱长为a，连接，，，BD，，，得到一个三棱锥．求：
三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
三棱锥的体积．
已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积和体积．
直三棱柱中，，，，E，F分别是，BC的中点，求：
异面直线EF和所成的角；
直三棱柱的体积．
如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，平面PAD，M是PB的中点．
Ⅰ求证：平面PAD；
Ⅱ求三棱锥的体积．
如图，在空间四边形PABC中，，，，，，且平面平面ABC．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，求三棱锥的高．
如图，四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
Ⅰ求证：平面PBE；
Ⅱ若，试求的值．
如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为．
求证：平面平面BDE；
求三棱锥的体积．
已知在三棱锥中，平面平面BCD，且，，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．
求证：；
求三棱锥的体积．
如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且底面ABCD，，．
证明：平面PAC．
若Q为PD的中点，求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图为等腰直角三角形旋转而成旋转体．
．
故选：B．
画图形，根距圆锥的体积公式直接算即可．
本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题以数学文化背景考查圆锥体积公式，属于基础题．
设出圆锥底面半径，则结合已知求出半径，进而求出堆放的大豆数．
【解答】
解：设圆锥底面半径为r，则，
所以尺．
所以豆堆的体积为立方尺，
即堆放的大豆约有斛
故选B．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查旋转体的定义，圆锥的侧面积计算公式．
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积计算可得．
【解答】
解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中母线长均为2，底面圆半径为，
故选：B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了棱锥的体积，由已知条件求得棱锥的底面边长，再求体积，属于容易题．
【解答】
解：正三棱锥的侧棱长为3，高为，
如图所示：
设点P到底面ABC的投影为O，
则，
设的边长为a，，
即，
则三棱锥的体积为．
故选A．
5.【答案】D
【解析】求出圆锥的母线，代入侧面积公式即可．圆锥的母线，圆锥的侧面积．
6.【答案】C
【解析】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，
斜高为2，棱锥的高为的正四棱锥，
故其体积．
故选：C．
三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．
本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的实际应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题令，
先求出，再利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：设车厢的长为，高为由已知得，即，
．
设，
则，当且仅当，即时取“”，
此时．
故选B．
8.【答案】D
【解析】解：如图，，，
当且仅当平面平面ABC时，三棱锥的体积最大，
取BC中点D，连结AD，BD，
则BD是三棱锥的高，
设，则，，
，，
，解得，
，，
此四面体体积的最大值：
．
故选：D．
当且仅当平面平面ABC时，三棱锥的体积最大，取BC中点D，连结AD，BD，则BD是三棱锥的高，推导出，，由此能求出此四面体体积的最大值．
本题考查四面体体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】C
【解析】解：设正四棱锥的底面边长等于a，
底面到球心O的距离等于x，
则，
而正四棱锥的高为，
故正四棱锥体积为：
，
当且仅当时，等号成立，即正四棱锥体积取得最大值．
那么正四棱锥的高为．
故选：C．
先设正四棱锥的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为，从而得出正四棱锥体积关于x的函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值．
本题主要考查了球内接多面体、棱锥的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查圆柱的体积的求法，考查学生的阅读能力，属于基础题．
由题意得到实际体积估算体积，即可求解．
【解答】
解：设圆柱的底面半径为r，高为h，
由题意可得，
又，
故实际体积估算体积．
故选B．
11.【答案】B
【解析】解：取AC的中点O，连接DO，EO，可得平面，过点作，则平面ABC，所以即为三棱锥的高，则，
显然，当x的取值从0开始增大时，DF也在增大，直到，此时三棱锥的体积达到最大，
，所以函数的单调递增区间为．
故选：B
利用三棱锥体积公式得到，结合图形明确DF的变化范围．
本题考查出棱锥的体积，函数的单调区间，结合图形将问题转化为线段长度最值问题是关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的侧面积，属于基础题．
由圆柱的体积，得到圆锥的高，从而得到圆锥的侧面积．
【解答】
解：圆柱体积为，
圆锥的高为，
圆锥的母线长为5，
圆锥的侧面积为．
故答案为．
13.【答案】1：24
【解析】
【分析】
本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，属于中档题．
由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．
【解答】
解：因为D，E分别是AB，AC的中点，所以，
又F是的中点，
所以到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．
即三棱柱的高是三棱锥高的2倍．
所以．
故答案为1：24．
14.【答案】160
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式的实际应用，解题关键是由长方体的容积和深度，求出底面积，设出长方体的长为?x?m，则宽为，，根本题目列出池的总造价为，从而基本不等式即可求最值，由等号成立的条件即可求出底部的长和宽．
【解答】
解：长方体的容积为，深度为3
m
?长方体的底面积是；
设长方体的长为?x?m，则宽为，
那么水池的总造价为
当且仅当取等号，
此时底部长为40m，宽为40m，水池底部的周长为
故答案为160．
15.【答案】
【解析】解：圆锥的底面周长为，圆锥的底面半径，
设圆锥母线为l，则侧面积，，
圆锥的高．
圆锥的体积．
故答案为：．
根据底面周长计算底面半径，根据侧面积计算母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算体积．
本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查旋转体的侧面积和体积，根据条件直接计算即可，属基础题．
设圆锥的底面半径为r，其母线长，圆柱的高为h，根据圆锥和圆柱的体积相等，可求得，分别求出圆锥和圆柱的侧面积，即可求出答案．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，其母线长，圆柱的高为h，
则，所以，
圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
．
故答案为．
17.【答案】1：4
【解析】解：如图，
，E为PB，PC的中点，
，
则，
，
，
且三棱锥与三棱锥高相等，
：：：4．
故答案为：1：4．
由题意画出图形，把两个三棱锥的体积转化，由相似三角形的关系得到：：4，从而得到答案．
本题考查了棱锥的体积，考查了相似三角形面积比和相似比的关系，属中档题．
18.【答案】8
【解析】
【分析】
本题主要考查空间几何体的体积，属于基础题．
求出棱锥的高，再利用棱锥的体积公式求解即可．
【解答】
解：依题意作出几何体的空间图形，
，，
作，连接BD，则有O为BD中点，
，
所以，
则，
所以，
所以正四棱锥的体积为8．
故答案为8．
19.【答案】
【解析】解：由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱，根据左视图是边长为2，，
几何体的底面积，高，
所求几何体的体积，
故答案为：．
由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱，根据左视图是边长为2，，我们分别确定出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，即可得到答案．
本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状，进而根据正三棱柱的几何特征，得到其中的线面关系是解答本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：设三棱柱的底面积为S，高为h，则，
三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，
，
．
故答案为：．
设三棱柱的底面积为S，高为h，则，三棱锥的体积为，可得四棱锥的体积为，即可得出结论．
本题考查三棱柱、棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ在直四棱柱中，，
，，
又平面平面，
平面平面，
平面平面，
，四边形为平行四边形，
侧棱底面ABCD，又平面ABCD内，
，四边形为矩形；
Ⅱ证明：连接AE，四棱柱为直四棱柱，
侧棱底面ABCD，又平面ABCD内，
在中，，，则；
在中，，，则；
在直角梯形ABCD中，；
，即，
又，ED，DD1平面，
平面；
由Ⅰ可知，四边形为矩形，且，，
矩形的面积为，
几何体的体积为．
【解析】本题考查的知识点是棱锥的体积公式及平面的基本性质及推论，其中求几何体的体积，关键是要找到棱锥的高，求出高和底面面积后，代入棱锥体积公式即可得到答案．
Ⅰ要证明无论点E怎样运动，四边形都为矩形，我们可根据已知中直四棱柱的底面是直角梯形，，，E，F分别是棱BC，上的动点，且，先由线面平行的性质定理，判断出四边形为平行四边形，再证明其邻边相互垂直，进而得到答案．
Ⅱ连接AE，我们易根据已知条件，结合直棱柱的几何特征和勾股定理，判断出AE到为四棱锥的高，根据，，及，我们计算出四棱锥底面面积的和高，代入棱锥体积公式即可得到答案．
22.【答案】解：正方体的棱长为a，则三棱锥的棱长为，表面积为，正方体表面积为，
三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为：3；
三棱锥的体积为．
【解析】求出三棱锥的棱长为，即可求出三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
利用割补法，即可求出三棱锥的体积．
本题考查三棱锥、正方体表面积、体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23.【答案】解：如图所示，
由等边三角形的面积计算公式可得：的面积．
四面体的表面积为．
设O为的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则底面ABC，D为BC的中点．
，，
．
．
【解析】由等边三角形的面积计算公式可得：的面积即可得出四面体的表面积．设O为的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则底面ABC，D为BC的中点．可得，，利用即可得出．
本题考查了等边三角形的性质及其面积计算公式、正三棱锥的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24.【答案】解：连接，
，F分别是，BC的中点，
是的中位线，
则，
即与所成的角，即为异面直线EF和所成的角；
在直三棱柱中，，，，
为直角三角形，
则，，
则，
即，即异面直线EF和所成的角是．
直三棱柱的体积．
【解析】根据异面直线所成角的定义即可求异面直线EF和所成的角；
直接利用三棱柱的体积公式即可求直三棱柱的体积．
本题主要考查异面直线所成角的求解以及三棱柱的体积的计算，根据相应的定义进行求解是解决本题的关键．属于基础题．
25.【答案】证明：Ⅰ取PA的中点N，连接MN，DN
，N分别是PB，PA的中点，
，
，四边形CMND为平行四边形，
不在平面PAD内，平面PAD，
平面PAD；
Ⅱ，平面PAB，
平面PAB，
．
为正三角形，N为PA中点，
，
平面PAD，平面PAB，
平面平面PAD，
平面平面，?平面PAD，
平面PAB
，
，
，
，
三棱锥的体积为．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定和面面垂直的性质，以及利用等体积法求体积，属于中档题．
Ⅰ利用直线与平面平行的判定定理即可得证；
Ⅱ利用三棱锥的特点，转化为面积和高易得的三棱锥的体积．
26.【答案】Ⅰ证明：
平面平面ABC，平面平面，
平面PAC，平面PAC，，
平面ABC，
又平面ABC，
．
Ⅱ过点M在平面PAC内作，垂足为H，连接BH，
由Ⅰ知平面ABC，所以平面ABC，
所以，
由题知，，，
所以，，
解得，，，，
在中，有，即，
设三棱锥的高为h，
，
，
，
解得，
三棱锥的高为．
【解析】Ⅰ推出平面ABC，由此能证明．
Ⅱ过点M在平面PAC内作，垂足为H，连接BH，推导出平面ABC，，设三棱锥的高为h，由，能求出三棱锥的高．
本题考查线线垂直的证明，考查几三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
27.【答案】Ⅰ证明：由E是AD的中点，，所以；
又底面ABCD是菱形，
所以，
又因为E是AD的中点，
所以，分
又，所以平面分
Ⅱ解：设四棱锥，的高分别为，，所以，，分
又因为，且底面积，分
所以分
【解析】Ⅰ证明，，即可证明：平面PBE；
Ⅱ若，利用底面积，求的值．
本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
28.【答案】证明：平面ABCD，平面．
又底面ABCD是正方形，，又，平面BDE，
又平面ACE，平面平面BDE．
解：
平面ABCD，平面，
又底面ABCD是正方形，，
又因为，并且平面CDEF，
平面CDEF，与平面ABCD所成的角为，
底面ABCD是边长为3的正方形，
，
，
，
．
【解析】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．属于基础题．
证明，推出平面BDE，然后证明平面平面BDE．
利用转化求解即可．
29.【答案】证明：，
≌，，为AD的中点，．
又，，
，平面BGC，
、F为AC、DC的中点
，
平面BCG；又平面BCG．
解：如图：
在平面ABC内，作，交CB的延长线于O，
和所在平面互相垂直，平面平面
?平面BCD，为AD的中点，
到平面BCD的距离h是AO长度的一半．在中，，
?．
【解析】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．
先证明平面BGC，利用，可得平面BCG，又平面BCG，；
在平面ABC内，作，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，利用，即可求三棱锥的体积．
30.【答案】证明：在中，由余弦定理得，
则，
，
，
．
又底面ABCD，平面ABCD，
．
，AC，平面PAC，
平面PAC．
解：Q为PD的中点，则，于是三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
而，
所以三棱锥的体积．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理，几何体的体积的求法，属于中档题．
根据余弦定理求出AC，即可得到，即，进而得到再根据底面ABCD，平面ABCD，即可得到利用线面垂直的判定定理即可得证平面PAC．
根据Q为PD的中点，可知，即三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，利用三棱锥的体积公式即可得解三棱锥的体积．
第2页，共2页
第1页，共1页湘教版必修3单元试卷：第6章立体几何初步（
2）
一、单项选择题（本大题共11小题，共55.0分）
将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈．问积及为粟几何”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛立方寸，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子单位换算：1立方丈立方寸是?
?．
A.
800两
B.
1200两
C.
2400两
D.
3200两
已知中，，，将绕BC所在直线旋转一周，形成几何体K，则几何体K的表面积为?
?
?
A.
B.
C.
D.
若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长，则此三棱锥的体积为
A.
B.
C.
D.
以上均不对
长方体的高等于h，底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于
A.
B.
C.
D.
已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为
A.
24
B.
80
C.
64
D.
240
一个长方体的长、宽、高的比为，它的体积为，则该长方体的高为??
A.
B.
C.
D.
设A，B，C，D是半径等于13的球面上的四点，的三边长度依次等于6，8，10，则四面体ABCD
的体积的最大值为
A.
248
B.
200
C.
144
D.
104
已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为
A.
4
B.
6
C.
8
D.
12
若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是?
A.
1
B.
C.
D.
如图，在三棱锥中，平面平面ABC，为等边三角形，，，其中O，M分别为AB，VA的中点，则三棱锥的体积为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）
底面半径为3的圆锥的体积与底面半径为2，高为3的圆柱的体积相等，则该圆锥的侧面积为__________．
已知三棱锥的体积为1，、、分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥的体积为______．
某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为如果池底每?
的造价为150元，池壁每的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为??
?
?m
已知圆锥的底面半径与高都是1，则该圆锥的侧面积为_______________．
一个圆锥的高和底面半径相等，且这个圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等，则圆锥和圆柱的侧面积的比值为_____．
三棱锥中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则：______．
已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为__________．
已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是边长为2的正三角形，正视图是矩形，且，则此几何体的体积为______
．
如图，已知三棱柱的体积为V，则三棱锥的体积是______
．
三、解答题（本大题共10小题，共120.0分）
如图，在三棱柱中，点D是BC的中点，欲过点作一截面与平面平行．
问应当怎样画线，并说明理由；
求所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比．
如图所示，正方体的棱长为a，连接，，，BD，，，得到一个三棱锥．求：
三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
三棱锥的体积．
已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积和体积．
直三棱柱中，，，，E，F分别是，BC的中点，求：
异面直线EF和所成的角；
直三棱柱的体积．
如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，平面PAD，M是PB的中点．
Ⅰ求证：平面PAD；
Ⅱ求三棱锥的体积．
如图，在空间四边形PABC中，，，，，，且平面平面ABC．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，求三棱锥的高．
如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱底面ABCD，且，，点E在SD上，且．
证明：平面SDC；
求三棱锥的体积．
已知直三棱柱中，，点D是AB的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥的体积．
如图，三棱柱中，底面ABC，，，点D是棱的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求三棱锥的体积．
如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且底面ABCD，，．
证明：平面PAC．
若Q为PD的中点，求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，属于基础题．
根据题意可知几何体为圆锥，根据圆锥体积公式计算即可．
【解答】
解：直角边长为2的等腰直角三角形，绕直角边旋转一周所形成几何体是：
底面半径为，高，母线长为的圆锥，
故该几何体的体积，
故选A．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题是以数学文化为背影，考查圆锥的体积计算，主要考查学生的空间想象能力与数学计算能力．
【解答】
解：设圆锥底面圆的半径为r，因为，圆周率约为3，
所以，
因为高为2丈，
所以该堆粟米的体积为立方丈，
所以两
故选A．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查旋转体的定义，圆锥的侧面积计算公式．
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积计算可得．
【解答】
解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中母线长均为2，底面圆半径为，
故选：B．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三棱锥的体积计算，是基础题．
由题意，过S作平面ABC，求出三棱锥的高SO，即可得解．
【解答】
解：由题意，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，
如图：画出正三棱锥，即为图中的三棱锥，过S作平面ABC，
可知SO即为三棱锥的高，
为底面正三角形ABC的高，且，
三棱锥的高，
此三棱锥的体积为，
故选C．
5.【答案】C
【解析】设长方体的底面边长分别为x、y，则得，故长方体的侧面积为?．
6.【答案】B
【解析】解：由已知中的棱锥的俯视图，可得：
该四棱锥的体积，
故选：B
根据已知中四棱锥的俯视图，得到底面的长和宽，代入棱锥体积公式，可得答案．
本题考查的知识点是棱锥的体积，难度不大，熟练掌握棱锥的体积公式，是解答的关键．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查长方体的体积公式、列方程求解．
【解答】
解：设长方体的高为，
则长，宽，
由题意得，
解得．
故选A．
8.【答案】B
【解析】解：的三边长度依次等于6，8，10，
是直角三角形，
设球心O到平面的距离等于d，
则，解得，
球面上的点D到平面的距离的最大值等于，
从而四面体ABCD的体积的最大值为．
故选：B．
推导出是直角三角形，设球心O到平面的距离等于d，则，解得，从而球面上的点D到平面的距离的最大值等于，由此能求出四面体ABCD的体积的最大值．
本题考查四面体的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】C
【解析】解：设正四棱锥的底面边长等于a，
底面到球心O的距离等于x，
则，
而正四棱锥的高为，
故正四棱锥体积为：
，
当且仅当时，等号成立，即正四棱锥体积取得最大值．
那么正四棱锥的高为．
故选：C．
先设正四棱锥的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为，从而得出正四棱锥体积关于x的函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值．
本题主要考查了球内接多面体、棱锥的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有，所以，，，故．
11.【答案】D
【解析】解：连接VO，为等边三角形，，
又平面平面ABC，且平面平面，
平面ABC，
又M为VA的中点，则M到平面ABC的距离．
，，，
，
．
．
故选：D．
连接VO，由为等边三角形，可得，再由面面垂直的性质得平面ABC，又M为VA的中点，则M到平面ABC的距离然后利用等积法求三棱锥的体积．
本题考查利用等积法求多面体体积，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的侧面积，属于基础题．
由圆柱的体积，得到圆锥的高，从而得到圆锥的侧面积．
【解答】
解：圆柱体积为，
圆锥的高为，
圆锥的母线长为5，
圆锥的侧面积为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：如图，
、、分别为OA、OB、OC的中点，
∽，则，
过O作平面ABC，交平面于，则．
．
故答案为：．
由、、分别为OA、OB、OC的中点，可得∽，则，过O作平面ABC，交平面于，则，再由棱锥的体积公式计算得答案．
本题考查了棱锥的体积，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14.【答案】160
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式的实际应用，解题关键是由长方体的容积和深度，求出底面积，设出长方体的长为?x?m，则宽为，，根本题目列出池的总造价为，从而基本不等式即可求最值，由等号成立的条件即可求出底部的长和宽．
【解答】
解：长方体的容积为，深度为3
m
?长方体的底面积是；
设长方体的长为?x?m，则宽为，
那么水池的总造价为
当且仅当取等号，
此时底部长为40m，宽为40m，水池底部的周长为
故答案为160．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥侧面积公式，属于基础题．
首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【解答】
解：圆锥的底面半径为1，高为1，
母线长l为：，
圆锥的侧面积为：
故答案为
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查旋转体的侧面积和体积，根据条件直接计算即可，属基础题．
设圆锥的底面半径为r，其母线长，圆柱的高为h，根据圆锥和圆柱的体积相等，可求得，分别求出圆锥和圆柱的侧面积，即可求出答案．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，其母线长，圆柱的高为h，
则，所以，
圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
．
故答案为．
17.【答案】1：4
【解析】解：如图，
，E为PB，PC的中点，
，
则，
，
，
且三棱锥与三棱锥高相等，
：：：4．
故答案为：1：4．
由题意画出图形，把两个三棱锥的体积转化，由相似三角形的关系得到：：4，从而得到答案．
本题考查了棱锥的体积，考查了相似三角形面积比和相似比的关系，属中档题．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成的角，棱锥的体积，是基础的计算题．
设正四棱锥底面边长为2a，由侧棱与底面所成角为求出棱锥的高，进一步得到斜高，再由侧面积求解a，然后利用棱锥体积公式求解．
【解答】
解：设正四棱锥底面边长为2a，且侧棱与底面所成角为，
则四棱锥高为，侧面三角形的高为，
侧面积为，单个侧面三角形面积为，
，得．
正四棱锥的高为．
则该棱锥的体积为．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】解：由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱，根据左视图是边长为2，，
几何体的底面积，高，
所求几何体的体积，
故答案为：．
由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱，根据左视图是边长为2，，我们分别确定出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，即可得到答案．
本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状，进而根据正三棱柱的几何特征，得到其中的线面关系是解答本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：三棱锥的底面为ABC，高与三棱柱的高相同，
三棱柱的体积为V，
三棱锥的体积是，
故答案为：
三棱锥的底面为ABC，高与三棱柱的高相同，利用三棱锥的体积公式，即可得出结论．
本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，比较基础．
21.【答案】解：在三棱柱中，点D是BC的中点，取的中点E，
连接，，BE，则平面平面，，，BE即为应画的线．
理由如下：因为D为BC的中点，E为的中点，所以．
又因为，所以四边形为平行四边形，所以．
平面平面平面．
连接DE，则DE平行等于，
所以，
所以四边形是平行四边形，从而平面平面．
平面又因为，平面，平面，
所以平面平面．
设棱柱的底面积为S，高为h．
则．
所以三棱柱夹在平面与平面间
的体积为．
所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比为比的顺序不同，结果就不同
【解析】本题考查直线与平面以及平面与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
取的中点E，连接，，BE，则平面平面，，，BE即为应画的线．证明平面连接DE，则DE平行等于，证明四边形是平行四边形，然后证明平面推出平面平面．
设棱柱的底面积为S，高为通过然后转化求解所作截面与平面将三棱柱分成的三部分的体积之比．
22.【答案】解：正方体的棱长为a，则三棱锥的棱长为，表面积为，正方体表面积为，
三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为：3；
三棱锥的体积为．
【解析】求出三棱锥的棱长为，即可求出三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
利用割补法，即可求出三棱锥的体积．
本题考查三棱锥、正方体表面积、体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23.【答案】解：如图所示，
由等边三角形的面积计算公式可得：的面积．
四面体的表面积为．
设O为的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则底面ABC，D为BC的中点．
，，
．
．
【解析】由等边三角形的面积计算公式可得：的面积即可得出四面体的表面积．设O为的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则底面ABC，D为BC的中点．可得，，利用即可得出．
本题考查了等边三角形的性质及其面积计算公式、正三棱锥的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24.【答案】解：连接，
，F分别是，BC的中点，
是的中位线，
则，
即与所成的角，即为异面直线EF和所成的角；
在直三棱柱中，，，，
为直角三角形，
则，，
则，
即，即异面直线EF和所成的角是．
直三棱柱的体积．
【解析】根据异面直线所成角的定义即可求异面直线EF和所成的角；
直接利用三棱柱的体积公式即可求直三棱柱的体积．
本题主要考查异面直线所成角的求解以及三棱柱的体积的计算，根据相应的定义进行求解是解决本题的关键．属于基础题．
25.【答案】证明：Ⅰ取PA的中点N，连接MN，DN
，N分别是PB，PA的中点，
，
，四边形CMND为平行四边形，
不在平面PAD内，平面PAD，
平面PAD；
Ⅱ，平面PAB，
平面PAB，
．
为正三角形，N为PA中点，
，
平面PAD，平面PAB，
平面平面PAD，
平面平面，?平面PAD，
平面PAB
，
，
，
，
三棱锥的体积为．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定和面面垂直的性质，以及利用等体积法求体积，属于中档题．
Ⅰ利用直线与平面平行的判定定理即可得证；
Ⅱ利用三棱锥的特点，转化为面积和高易得的三棱锥的体积．
26.【答案】Ⅰ证明：
平面平面ABC，平面平面，
平面PAC，平面PAC，，
平面ABC，
又平面ABC，
．
Ⅱ过点M在平面PAC内作，垂足为H，连接BH，
由Ⅰ知平面ABC，所以平面ABC，
所以，
由题知，，，
所以，，
解得，，，，
在中，有，即，
设三棱锥的高为h，
，
，
，
解得，
三棱锥的高为．
【解析】Ⅰ推出平面ABC，由此能证明．
Ⅱ过点M在平面PAC内作，垂足为H，连接BH，推导出平面ABC，，设三棱锥的高为h，由，能求出三棱锥的高．
本题考查线线垂直的证明，考查几三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
27.【答案】证明：侧棱底面ABCD，底面ABCD，
分
底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，
，
又，
侧面SAD，分
侧面SAD
，
，，
平面分
Ⅱ解：，，，
平面ASD，
，
?分
在中，，，，
，
，分
又，平面SCD，平面SCD，
平面SCD，
点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE?????????????????分
????????????????????????????????分
【解析】证明平面SDC，只需证明，利用证明侧面SAD可得；
证明平面ASD，平面SCD，可得点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE，即可求三棱锥的体积．
本题考查线面垂直的判断与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力．
28.【答案】证明：连接交于点E，连接DE
四边形是矩形，则E为的中点
又是AB的中点，，
又面，面，
平面；
，D是AB的中点，
，
又面ABC，面ABC，
，
，
面，
又面，
平面平面
则由知面，
三棱锥底面上的高就是，
又，，
，，
三棱锥的体积
【解析】本题主要考查了线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证能力和空间想象能力，注意证明过程的严密性．
连接交于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得，进而由线面平行的判定定理得到结论；
先利用面面垂直的性质定理证明直线平面，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可
三棱锥的体积，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．
29.【答案】Ⅰ证明：平面ABC，平面，
又平面，，
又，D为的中点，，
又，平面C.
Ⅱ解：，，
，，
．
【解析】本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面垂直的判定定理是关键．
Ⅰ证明，，利用线面垂直的判定定理，即可证明平面；
Ⅱ转换底面，即可求三棱锥的体积．
30.【答案】证明：在中，由余弦定理得，
则，
，
，
．
又底面ABCD，平面ABCD，
．
，AC，平面PAC，
平面PAC．
解：Q为PD的中点，则，于是三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
而，
所以三棱锥的体积．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理，几何体的体积的求法，属于中档题．
根据余弦定理求出AC，即可得到，即，进而得到再根据底面ABCD，平面ABCD，即可得到利用线面垂直的判定定理即可得证平面PAC．
根据Q为PD的中点，可知，即三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，利用三棱锥的体积公式即可得解三棱锥的体积．
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