7.5 多边形的内角和和外角和（第2课时）（共43张PPT）

7.5 多边形的内角和和外角和
第2课时
第7章 平面图形的认识（二）
2020-2021学年度苏科版七年级下册
方法：度量、剪拼图、折叠
探索并证明三角形内角和定理
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
　　问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个
内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的
吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
　　问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个
内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的
吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
探索并证明三角形内角和定理
A
A
B
B
C
A
B
B
C
C
方法：度量、剪拼图、折叠
　　问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个
内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的
吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
探索并证明三角形内角和定理
A
B
C
方法：度量、剪拼图、折叠
探索并证明三角形内角和定理
　　追问1　运用度量的方法，得出的三个内角的和都
是180°吗？为什么？
测量可能会有误差．　　　

探索并证明三角形内角和定理
　　追问2　通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手
中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中
的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的
三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的
三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
需要通过推理的方法去证明．　　　
2
1
E
D
C
B
A
则 CE∥BA
(同位角相等，两直线平行).
∴ ∠1=∠A
(两直线平行，内错角相等).
∵B，C，D在同一直线上
∴ ∠1+∠2+∠ACB
=∠A+∠B+∠ACB
=180°
延长BC到D，在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠2 =∠B，
例1 在△ABC中，∠A=40 ° ，∠B=∠C．求∠C的度数．
解：在△ABC，
由∠A+∠B+∠C=180 ° ，∠A=40 ° ，得
∠B+∠ C=180 °-∠A=180 ° -40 ° =140 °.
由∠ B=∠C，得
2∠C=140 ° ，∠C=70 °.
例题讲解
例2 如图7-30，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．∠A=70°．求∠BPC的度数．
解：在△ABC中，
由∠A+∠ABC+∠ACB=180 ° ，∠A=70 °，得
∠ABC+∠ACB=180 °-∠A=180 ° -70 ° =110 ° .
因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
所以∠1= ∠ABC， ∠2= ∠ACB，
∠1+∠2= (∠ABC+ ∠ACB)= ×110 °=55 °.
在△PBC中，
由∠BPC+∠1+∠2=180 ° ，∠1+∠2=55 ° ，得
∠BPC=180 ° -（∠1+∠2）=180 °-55 ° =125 °.
例题讲解
在同一平面内，由一些线段首尾顺次连接而成的图形，
2.多边形可分为___________和__________两类.
3._________________________叫多边形的对角线.
1._______________________________叫多边形.
凸多边形
凹多边形
多边形不相邻的顶点的连线
你都知道吗？
2.长方形、正方形的内角和都是______.
3.任意四边形的内角和是360°吗？你
能用哪些方法说明？
1.三角形的内角和是________.
180°
360°
合作探究：小组讨论，有哪些方法可知道四边形内角和是多少？
A
B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
A
A
B
D
C
E
小结方法
综合这几种方法，其共同点是什么？
从一个点出发和各顶点相连，把四边形的问题转化为三角形的问题.
转化
思想
请你选择一种简单的方法，分别求出任意的五边形、六边形、七边形的内角和.
A
E
D
C
B
五边形内角和为：180°×3=540°.
六边形内角和为：180°×4=720°.
B
C
D
E
F
D
C
B
A
E
F
G
A
七边形内角和为：180°×5=900°.
任意六边形内角和、七边形内角和
多边形
的边数
图形
多边形的
内角和
3
4
5
6
------
------
------
------
n
n-2
1
2
3
1×180?＝180?
从一个顶点出发分割成的三角形个数
2×180?＝360?
3×180?＝540?
(n-2)×180?
4
4×180?＝720?
n边形的内角和等于
(n－2)·180°.
多边形的内角和公式：
这里的字母n是指大于或等于３的整数.
解： ∠ B与∠D互补．
在四边形ABCD中，
∠A＋∠B＋∠C＋∠D=（4-2) × 180 ° =360 °.
由∠A＋∠C=180 ° ，得
∠B＋∠D=360 ° -（∠A＋∠C)=360 ° -180 ° =180 °，
即∠B与∠D互补．
例3 如图7-35，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补．∠B与∠D有怎样的数量关系？为什么？
在2008年北京奥运会会徽征集的时候，小明曾想：设计一个内角和为2008°的多边形图案多有纪念意义呀，小明的想法能做到吗？
开动脑筋
小明的想法不能做到，因为多边形的边数必须是大于或等于3的正整数.
已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数．
解：设边数为n，则可列方程为：
(n-2)×180°=(5-2)×180°×2
解得n=8，
所以这个多边形的边数是八.
方程
思想
一、n边形的内角和公式：
二、几种数学思想：
(n－2)·180°
转化思想、方程思想.
方法一：
180×2=360.
A
B
C
D
A
B
D
C
B
D
A
C
B
D
O
方法二：
180×4-360=360.
D
C
D
C
B
B
A
A
O
方法三：
180×3-180=360.
A
B
C
D
E
A
B
E
A
D
E
C
E
D
探索多边形的内角和与外角和
多边形内角的一边与________________所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做__________.
快速反应
（1）x=180°-81°-72°=27°；
（2）y=180°-90°-31°=59°.
1．求图中x和y的值．
2．如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向．把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，笔尖方向发生了怎样的变化？这种变化说明了什么？
解：笔尖方向变为点B到点A的方向．说明三角形内角和等于180°.
3．一个三角形能有两个内角是直角或钝角吗？为什么？
解：不能.因为有两个内角是直角或钝角后其内角和就会大于180°，所以不能有.
探索多边形的外角和
怎样求三角形的外角和？
思考
四边形的外角和呢？
五边形的外角和呢？
探索多边形的外角和：
任意多边形的外角和都为360°.
多边形的边数
３
４
５
６
…
ｎ
多边形的内角与外角的总和
…
多边形的内角和
…
多边形的外角和
…
540°
720°
900°
1080°
180°
360°
540°
720°
360°
360°
360°
360°
n×180°
(n－2×180°
360°
一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？
解：设多边形的变数是n，根据题意，得
n?72°=360°．
解得：n=5．
因此，这个多边形是五边形．
1、有一个正多边形的外角是60°，那么该正多边形是正___________边形.
快速反应
2、有一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么该多边形的边数是____________.
1、一个多边形的每个内角都比邻外角的3倍还多20度，求这个多边形的边数.
自主学习
2、如果一个多边形的每一个外角都相等，并且小于45度，那么这个多边形的边数最少是多少？
3、已知四边形四个外角的度数之比分别为8：6：3：7.求四边形四个内角的度数分别是多少？
开动脑筋
若多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数和内角和.
练习
填空：
(1)十边形的内角和是________，
外角和是_________；
如果十边形的各个内角都相等，
那么它的一个内角是_________.
1440°
360°
144°
（1）x=(360°-90°-150°)/2=60°；
（2）y=(540°-90°-150°-120°)/3=60°.
1．求图中x和y的值．
2．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，求它的每个内角的度数．
解：(6-2) ×180°／6=120°.
3．一个多边形的内角和为1080°，这个多边形是几边形？
解：1080°／180°+2=8.
这个多边形是八边形.
小明转过的角度总共是360°，这说明了多边形外角和等于360°.
1．如图，S是六边形草地ABCDEF的边AB上一点．小明从点S出发，沿着它的边步行l周回到点S处．小明转过的角度总共是多少？这说明了什么？
2．在一个多边形中，小于108°的内角最多
有几个？为什么？
解：
要使内角小于108°，则就要使它对应的外角大于180°－108°＝72°，我们知道，在凸多边形中，外角和总为360°，因为360°÷72°=5，所以最多只能有4个外角大于72°的，即小于108°的内角最多有4个.
谢谢聆听