人教版八年级下册《第16章二次根式》单元测试卷（
2）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
在中，，，，则BC的值为
A.
6
B.
8
C.
10
D.
下列各组数中，不是直角三角形的三条边的长的是
A.
3，4，5
B.
6，8，10
C.
5，12，13
D.
4，5，6
一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为
A.
13
B.
5
C.
13或5
D.
4
如图，等边的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为
A.
B.
．
C.
D.
若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，则顶角的平分线的长为
A.
6cm
B.
8cm
C.
10cm
D.
12cm
一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为
A.
5
B.
C.
D.
5或
给出下列命题：
在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；
中，若：：：5：6，则是直角三角形；
三角形的三边a、b、c满足，则是为直角的直角三角形；
中，若?a：b：：2：，则这个三角形是直角三角形．
其中，正确命题的个数为
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
已知三角形的三边长为n、、其中，则此三角形?
?
A.
一定是等边三角形
B.
一定是等腰三角形
C.
一定是直角三角形
D.
形状无法确定
在中，，若，，则OB长为
A.
5
B.
6
C.
8
D.
10
野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东方向前进了3千米，第二小组向南偏东方向前进了3千米，经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离的平方分别为
A.
南偏西，18千米
B.
北偏东，18千米
C.
南偏西，9千米
D.
南偏西，18千米
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，那么这个三角形是??????????三角形．
木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框??????????填“合格”或“不合格”．
写出命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：___________________．
图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为________．
如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落在斜边AC上，点B与点重合，AE为折痕，则________．
如图，已知长方体的长为，宽，高一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到点，最短路程是_____________．
将一根长为20cm的筷子，置于内部底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则x的取值范围是??
?
?．
三、解答题（本大题共7小题，共49.0分）
已知，中，，于点D，，求AD的长．
如图，已知，，，，，求四边形ABCD的面积．
如图，在数轴上画出表示的点不写作法，但要保留画图痕迹．
如图，在中，CD是AB边上的高，，，，求
的长；
是直角三角形吗为什么
观察下列式子：，，，
?你发现什么规律？请写出第5个等式：?????????????????????????????；
?根据你的发现，请写出第n个等式：???????????????????????????????；
?试证明你所写出的等式的正确性．
印度数学家什迦逻年年曾提出过“荷花问题”：
平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲．
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
离开原处二尺远，花贴湖面像睡莲．
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
在某小区的A处有一个凉亭，道路AB、BC、AC两两相交于点A、B、C，并且道路AB与道路BC互相垂直，如图所示．已知A与B之间的距离为20m，若有两个小朋友在与点B相距10m的点D处玩耍，玩累了他们分别沿不同的路线，到凉亭A处喝水休息，已知路线与路程相等，求AC的长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．直接根据勾股定理求解即可．
【解答】
解：在中，，，，
．
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形的判定的有关知识，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形进行求解即可．
【解答】
解：，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B.，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C.，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
D.，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
故选D．
3.【答案】C
【解析】解：当2和3都是直角边时，则；
当3是斜边时，则．
故选：C．
以x为边长的正方形的面积即为此题应考虑两种情况：2和3都是直角边或3是斜边，熟练运用勾股定理进行计算．
此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出CD的长是解此题的关键．根据等边三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD即可．
【解答】
解：等边的边长为2，AD是BC边上的高，
，，
由勾股定理得：．
故选C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查等腰三角形的“三线合一”的性质和勾股定理的应用．
根据等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合以及勾股定理求解即可．
【解答】
解：根据题意，AD是的平分线、BC边上的中线也是BC边上的高线，
，
．
故选A．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
解：直角三角形的边满足勾股定理，已知直角三角形的两边长分别为3和4，则有两种情况，一种是这两边都是直角边；另一种是已知的两边一条是直角边，另一条是斜边．
当已知边3和4都是直角边，则第三边是斜边，长是，
当已知边3和4一条是直角边一条是斜边时，则第三边是直角边长是：，
故选D．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据勾股定理、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】
解：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5或，是假命题；
中，若：：：5：6，则是直角三角形，是真命题；
三角形的三边a、b、c满足，则是为直角的直角三角形，是假命题；
中，若a：b：：2：，则这个三角形是直角三角形，是真命题，
故选B．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，进行判断即可．
【解答】
解：，
三角形是直角三角形，且为斜边．
故选C．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了勾股定理，已知是直角三角形，的三边满足根据勾股定理解答即可．
【解答】
解：在中，，，，
，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：根据行走的路线画出图形：
第一小组从营地出发向北偏东前进，第二小组向南偏东方向前进，
且第一小组走的距离为3千米，第二小组走的距离为3千米，
，，
，，
，
第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向为南偏西，
在中，千米，
第一小组要行走的路程的平方为18千米．
故选A．
找出题目中隐藏的直角三角形，第一小组行走路线和第二小组行走路线的终点连接，构成一个直角三角形，可以运用勾股定理，计算第一小组要行走的路程．
此题主要考查了勾股定理的应用和方向角等知识，解决问题的关键是找出合适的直角三角形，并用勾股定理求解．
11.【答案】?直角
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理直接根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】
解：如果三角形的三边长a，b，c满足，
那么这个三角形是直角三角形．
12.【答案】合格
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
【解答】
解：
，
即：，
，
同理：，
故答案为合格．
13.【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形
【解析】
【分析】
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
【解答】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积即可求解．
【解答】
根据图形和勾股定理可知两个小正方形的边长的平方和等于最大正方形的边长的平方，即2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，所以正方形A，B的面积之和．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了翻折变换以及勾股定理首先根据折叠可得，，然后设，则，在中，由勾股定理求得AC的值，再在中，由勾股定理可得方程，再解方程即可算出答案．
【解答】
解：根据折叠可得，，
设，则，
，，，
在中，由勾股定理得，，
，
在中，由勾股定理得，，
解得，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和平面展开最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】
解：如图：
根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
沿，，，剪开，得图；
沿AC，，，，，剪开，得图；
沿AD，，，，，剪开，得图；
综上所述，最短路径应为所示，所以，即．
故答案为．
17.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】
解：将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高度和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度，
当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm，
最长时等于以杯子高度和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：，
的取值范围是：，
即．
故答案为．
18.【答案】解：在中，?
，，，
由勾股定理得，
，
即
．
【解析】本题考查直角三角形的面积和勾股定理，熟练运用直角三角形的面积和勾股定理是解答的关键．
由勾股定理得，由即可求得．
19.【答案】解：连接AC，
在中，
，，，
，
在中，，，
，
是直角三角形，，
【解析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形的面积公式四边形的面积通常整理为易求得面积的两个三角形的面积的和．
连接AC，利用勾股定理可求得AC长，那么利用勾股定理的逆定理易得是直角三角形，那么四边形ABCD的面积的面积的面积．
20.【答案】解：所画图形如下所示，其中点A即为所求．
【解析】根据勾股定理，作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求．
本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理．
21.【答案】解：，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：；
为直角三角形，理由为：
，
，
为直角三角形．
【解析】此题主要考查了勾股定理，以及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
由CD垂直于AB，得到三角形BCD与三角形ACD都为直角三角形，由BC与DB，利用勾股定理求出CD的长，再利用勾股定理求出AD的长即可；
三角形ABC为直角三角形，理由为：由求出AB的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形．
22.【答案】解：；；；；
故答案为．
；
故答案为．
证明：
，
．
所以
【解析】本题主要考查了数字变化规律，根据已知条件得出式子中的变与不变是解题关键．根据；；；得出规律，第4个等式是即可得出答案；
根据中规律得出第n个等式是连续偶数相乘，进而得出一般规律；
根据一般规律利用多项式的乘法得出即可．
23.【答案】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为尺，
根据勾股定理得：
解得：．
答：湖水深尺．
【解析】本题应先根据题意构造出直角三角形即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形，再根据已知条件求解．
本题考点：勾股定理的应用．根据已知条件得出直角三角形各边的长度，然后应用勾股定理即可求出湖水的深度．
24.【答案】解：如图：
设AC的距离为xm，则DC的长为，则BC的长为，
在中，由勾股定理得：
，即：
解得：，
答：AC之间的距离是25m．
【解析】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据与的路程相等，表示出BC的长是解题的关键．
先根据题意画出图形，然后设AC的距离为xm，从而可表示出BC的长，最后在中，利用勾股定理求解即可．
第2页，共2页
第1页，共1页人教版八年级数学下册《第16章二次根式》单元测试卷（
1）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
要使代数式有意义，则x的取值范围是
A.
B.
C.
D.
的相反数为
A.
B.
C.
D.
下列二次根式中的最简二次根式是
A.
B.
C.
D.
下列各式计算正确的是?
．
A.
B.
C.
D.
下列根式中，与是同类二次根式的是
A.
B.
C.
D.
化简的结果为?
??
A.
B.
C.
D.
1
估计的值介于?
?
?
A.
之间
B.
之间
C.
之间
D.
之间
如果，那么a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
?
若，化简的结果是
A.
B.
C.
D.
已知，则的值为?
A.
2
B.
4
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
计算：______．
若，则______，______．
9的算术平方根是_____．
计算的结果是______
．
比较大小：______．
已知最简二次根式和是同类根式，则________．
将化简得______．
观察下列各式：，，，，根据你发现的规律，若式子y为正整数符合以上规律，则______．
三、计算题（本大题共2小题，共42.0分）
计算
解方程组?
???
??
四、解答题（本大题共4小题，共36.0分）
当时，求代数式的值．
先化简，再求值：，其中．
若x，y是实数，且，求的值．
计算的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：要使代数式有意义，
，
解得：．
故选：B．
直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：的相反数为．
故选：D．
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、，故不是最简二次根式，本选项错误；
B、，故不是最简二次根式，本选项错误；
C、，故不是最简二次根式，本选项错误；
D、是最简二次根式，本选项正确．
故选D．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式的加减及乘除运算，熟练掌握加减乘除法则是解答此题的关键．
根据二次根式的加减法则对A、B进行判断，根据二次根式的乘除法法则对C、D进行判断．
【解答】
解：A．与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项正确．
故选D．
5.【答案】A
【解析】解：A、与被开方数相同，是同类二次根式；
B、与被开方数不同，不是同类二次根式；
C、与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、与的根指数不同，不是同类二次根式．
故选：A．
根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为2的即可．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的概念与性质，二次根式概念，二次根式的性质，依据二次根式的概念与性质求解即可．
【解答】
解：由二次根式可知：，即，
，
，
，
，
，
，
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了估算无理数的大小，准确找出与76最近的两个平方数是本题解题的关键．
现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间．
【解答】
解：，
，
在两个相邻整数之间．
故选D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题通过对二次根式的化简，发现字母的取值范围，得出结论根据二次根式的意义和性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】
解：，
又，
且
解得：．
故选D．
9.【答案】D
【解析】解：，
，
．
故选：D．
首先得出的符号，进而开平方得出即可．
此题主要考查了二次根式的化简求值，得出的符号是解题关键．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了完全平方公式，将已知正确变形是解题关键．
直接利用完全平方公式将已知变形，进而求出答案．
【解答】
解：，
，
即：，
，
，
故选D．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】1；2
【解析】解：由题意得，，，
解得，．
故答案为：1；2．
根据非负数的性质列出方程求出m、n的值即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13.【答案】3
【解析】
【分析】
本题主要考查了算术平方根，关键是熟练掌握算术平方根的定义根据算术平方根的定义可得结果．
【解答】
解：，
的算术平方根是3．
故答案为3．
14.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
根据二次根式的性质，可化成同类二次根式，根据合并同类二次根式，可得答案．
本题考查了二次根式的加减，合并同类二次根式是解题关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．解答此题的关键是比较出、这两个数的平方的大小关系．
首先分别求出、的平方的值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出、的平方的大小关系，即可判断出、的大小关系．
【解答】
解：，，
，
．
故答案为．
16.【答案】2
【解析】
【分析】
此题是同类二次根式，主要考查了同类二次根式的意义，解本题的关键是由题意建立方程利用同类二次根式的定义建立方程，解方程即可．
【解答】
解：与是同类二次根式，
，，，
，
故答案为2．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分母有理化，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．
先分母有理化，即可得出答案．
【解答】
解：
，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
，，
则，
故答案为：
观察已知等式得到一般性规律，确定出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】先利用交换律得到原式，然后利用平方差公式进行计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
20.【答案】解：，?
得：，?
解得：，?
把代入得：，?
原方程组的解为；?
，?
把得：，?
，?
把代入得：，?
原方程组的解为；?
，?
得：，?
，
把代入得：，?
原方程组的解为；?
原方程组可化为，?
得：，?
，?
把代入得：，?
原方程组的解为．
【解析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可；?
先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可；?
先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可；
先把原方程组化简，用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．
21.【答案】解：当时，
原式
．
【解析】将x的值代入代数式进行计算．
本题考查二次根式运算，涉及公式的应用，代数式求值问题，属于基础问题．
22.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】本题考查了分式的化简求值，先将原式进行化简，然后代入x的值进行求解即可．
23.【答案】解：由题意得，，，
解得，，
则，
．
【解析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x、y的值，代入代数式计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
24.【答案】解：
．
【解析】利用分母有理化的性质将分子分母分别同乘以，，再化简即可．
此题主要考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
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