黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三上学期期末考试文科数学试题 Word版含答案

哈尔滨市第九中学2021届高三上学期期末考试
(数学文科）试卷
(时间：120分钟满分：150分)
第Ⅰ卷（选择题共60分)
一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共60分)
1．已知合集false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．若复数false满足false，则复数false是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．点false到直线false的距离比到点F(O,-1)的距离大false，则点false的轨迹方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．某工厂生产的false个零件编号为false现利用如下随机数表从中抽取false个进行检测．若从表中第false行第false列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第false个零件编号为（ ）
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A．false B．false C．false D．false
5．某程序框图如图所示，若输出的结果是false，则判断框中可以是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知三个不同的平面false，false，false，三条不重合的直线false，false，false，有下列四个命题．
①若false，false，则false． ②若false，false，则false．
③若false，false，false，则false． ④若false，false，则false．其中真命题的个数是（ ）
A．false个 B．false个 C．false个 D．false个
8．已知false与false之间的几组数据如表．
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
如表数据中false的平均值为2．5，若某同学对false赋了二个值分别为false，false得到二条线性回归直线方程分别为false，false对应的相关系数分别为false，false下列结论中错误的是（ ）
参考公式：线性回归方程false中，其中false，false．相关系数false．
A．false B．相关系数中，false C．false D．false
9．已知false，且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．已知false是双曲线false的左、右焦点，过false且垂直于x轴的直线与双曲线交于false两点，若false是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．等差数列false中，false，前false项和false，设false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知函数false，false，曲线false上总存在两点false，false，使曲线false在false，false两点处的切线互相平行，则false的取值范为（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题（本题共4小题：共20分)
13．设false，向量false，false，且false，则false_________．
14．若实数false，false满足false，则false的最大值是____________．
15．已知三棱柱false的侧棱垂直于底面，顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为false，false，false，false，则此球的表面积为___________．
16．若存在实常数false和false，使得函数false和false对其公共定义域上的任意实数false都满足false和false恒成立，则称直线false为false和false的“隔离直线”．已知函数false，false，false，则有下列命题．
①false与false有“隔离直线”
②false和false之间存在“隔离直线”，且false的最小值为false．
③false和false之间存在“隔离直线”，且false的取值范围是false．
④false和false之间存在唯一的“隔离直线”false．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17．(本小题满分12分）
己知函数false
（1）求函数false的单调递增区间．
（2）在false中，false，false，false的对边分别为false，false，false，若false，false，false，求false，false．
18．（本小题满分12分）
惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国Ⅰ卷的题型结构，其中第22，23题为选做题考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共 1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22，23题统计结果如下表．
22题得分
0
3
5
8
10
23题得分
0
3
5
8
10
理科人数
50
70
80
100
500
理科人数
10
10
15
25
40
文科人数
5
20
10
5
70
文科人数
5
5
25
0
5
参考公式：false，其中false．
false
false
false
false
false
false
false
false
（1）在答卷中完成如下false列联表，并判断能否至少有99．9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系．
选做22题
选做23题
合计
文科人数
110
理科人数
100
总计
1050
（2）在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取⒉人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．
19．（本小题12分）
如图1，菱形false中，false，false于false，将false沿false翻false，使false，如图2．
（1）求证：false平面false;
（2）求三棱锥false的体积;
（3）在线段false上是否存在一点F，使false平面false？若存在，求false的值;若不存在，说明理由。
20．（本小题满12分）
已知椭圆false的左右焦点分别为false，false，焦距为4，直线false与椭圆相交于false，false两点，false关于直线false的对称点为false斜率为false的直线false与线段false相交于点false，与椭圆相交于false，false两点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2）求四边形false的面积取值范围．
21（本小题满分12分）
已知函数false，false，其中false为自然数的底数．
（1）若false为false的极值点，求false的单调区间和最大值．
（2）是否存在实数false，使得false的最大值是false．若存在，求出false的值．若不存在，说明理由．
（3）设false，false，在（1）的条件下，求证：false．
请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分（本小题满分10分)
22．已知false．
（1）当false时，求不等式false的解集．
（2）若false时，不等式false，求false的取值范围．
23．在平面直角坐标系false中，直线false的参数方程为false（false为参数）．以false为极点，false轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false，且曲线false与直线false有且仅有一个公共点．
（1）求false．
（2）设false，false为曲线false上的两点，且false，求false的最大值．
期末考试数学（文）答案
选择题 CDDCA CADAB DB
填空题（13）false （14）false （15）false （16）②④
17．（1）false，增区间为false，false
（2）false，false
18．
选做22题
选做23题
合计
文科人数
110
40
150
理科人数
800
100
900
总计
910
140
1050
由表中数据，计算false
false
false
所以有99．9%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关．
（2）由分层抽样的方法可知在被选取的6名学生中理科生有4名、文科生有2名，记4名理科生为false、false、false、false，2名文科生为false、false,从这6名学生中随机抽取2名，全部可能的基本事件共15种分别是：false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false被抽中的2名学生场为理科生的基木事件是：false，false，false，false，false，false，有6种，设事件false为所抽中2名学生均为理科生，所以false．
19.（1）在菱形false中，
因为false，所以false，所以false，
因为false，false，false平面false，false平面false，
所以false平面false.
（2）false.由（1）知false平面false.
因为菱形false中，false，false，
所以false，false是边长为4的等边三角形.
所以false，
因为false于false为false中点，false.
所以三棱锥false中，高false，
所以falsefalse
false
false
false.
（3）在false上存在一点false，使false平面false.分别取false，false的中点false，false，连false，false，false.

因为false为false的中位线，所以false，且false，在菱形false中，false，且false，所以falsefalse，且false，
所以四边形false为平行四边形，所以false，
因为false平面false，false平面false，所以false平面false，
因为false为false中点，所以false.
20.解：（Ⅰ）由题意得false，false，∴false，
∴椭圆方程为false.
（Ⅱ）设直线false的方程式false，false，false，
由false，得false，
所以false
由（Ⅰ）知直线false，代入椭圆得false，false，得false，
由直线false与线段false相交于点false，
得false，满足false.
falsefalse
false，
而false与false，知false，
∴false，
由false，得false，
∴false.
∴四边形false面积的取值范围false.
21.因为false，false
所以false.
由false，得false.
故false，false，
若false，则false，
若false，则false.
所以false在false上单调递，在false上单调递减.
所以false的最大值为false.
（2）假设存在实数false，使false有最大值false，false，
①当false时，false在false上单调递增，
false，false（舍去）.
②当false时，false在false上单调递增，
false，false（舍去）.
③当false时， false在false上单调递增，在false上单调递减，
falsefalse，则false，满足条件.
综上所述，存在实数false，使得当false时，false有最大值false.
（3）因为false的极大值为false，即false在false上的最大值为false，
所以false，false.
由false，得false，
因为当false时，false，
所以false在区间false上单调递增.
所以false.
因为false，false，false，
所以在（Ⅰ）的条件下，false.
22.解（1）false时，不等式false化为falsefalse.
若false，则false，即false.
若false,则false，无解；
若false，则false，即false.
若false，则false的解集为false.
（2）当false时，不等式false化为falsefalse，即false.
所以当false时，不等式false恒成立.
由false，得false或falsefalse，即false或false.
当false时，不等式false不恒成立.
当false时，若不等式false恒成立，则false.
所以false的取值范围为false.
23.直线false的普通方程false.
曲线false的直角坐标方程是false，
依题意直线false与圆相切，则false，解得false或false，
因为false，所以false.
（Ⅱ）如图，不妨设false，false，false，false，
false，
所以false，即false，false时，false最大值是false.