(共16张PPT)
喷泉(1)
问题：如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷水水流的轨迹是抛物线.如果要求水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且水流的着地点C距离水枪底部B的距离为2.5 m，那么，水流的最高点距离地面是多少米？
A
B
C
P
A
B
C
P
(0,2)
(2.5,0)
(1,yp）
（0,0）
O
x
y
A
B
C
P
(－1,2)
(1.5,0)
(0,yp）
（－1,0）
O
x
y
方法步骤：
①恰当建立直角坐标系；
②求出抛物线的解析式；
③把抛物线上顶点的横坐标代入解析式，求出顶点的纵坐标；
④顶点的纵坐标的绝对值即为最值.
问题：如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB的宽为20m.涨水时水面上升了3m，达到了警戒水位，这时水面宽CD＝10m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当水位继续以每小时0.2m的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？
A
B
C
D
x
y
A
B
C
D
O
(－10,0)
(10,0)
(－5,3)
(5,3)
P(0,yP)
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
返回解释
检验
课堂小结
通过学习，你有哪些收获和体会？
1.生活中处处有数学，二次函数是描述现实世界的有效的一个重要模型；
2.建立直角坐标系来确定二次函数时，以使问题简单化为原则，注意数形结合；
3.可以利用抛物线解决抛物线上一点到地面的高度问题，方法步骤；
4.当抛物线刻画的是实际问题时，抛物线上的点都反映一定的实际现象，因此在解决此类问题时，往往就是在已知抛物线上一个点的一个坐标的条件下，求这个点的另一个坐标.(共20张PPT)
第二章 二次函数
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象
(第2课时)
y=ax2+bx+c的图象和性质
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
想一想
1.配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,
化简:去掉中括号
提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
函数y=ax +bx+c的图象
直接画函数y=ax +bx+c的图象
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数
y=3(x-1)2+2的图象．
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
… 29 14 5 2 5 14 29 …
∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).
想一想
实践出真知
学了就用,别客气
作出函数y=2x2-12x+13的图象.
X=1
●(1,2)
X=3
●(3,-5)
想一想
例.求次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标．
函数y=ax +bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
想一想
4
1.配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
做一做P50
5
顶点坐标公式
因此,二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线.
做一做P50
小试牛刀
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x +0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．
做一做
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
做一做
y=0.0225x2+0.9x+10
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗
做一做P44
y=0.0225x2+0.9x+10
⑶你还有其它方法吗？
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
请你总结函数
函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
小结 拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax 的关系
作业
课本P60页习题2.5
第1,2题.
P60 习题2.5第1、2题
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
3.你知道图2—7中右面钢缆的表达式是什么吗 .
探索是数学的生命线
再见(共20张PPT)
x
y
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
7
-1
-1
-2
-3
-4
-5
0
-2
y=a(x–h)2的图像和性质
复习
1、二次函数 的图象是 ，它
的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐
标是 。
2、二次函数 的图象开口向 ，
对称轴是 ，顶点坐标是 ；它
可以看作由 向 平移 个
单位所得。
3、 在对称轴左边，y随x的增大而
。
O
x
y
1
2
3
4
5
5
10
15
20
25
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–5
右移1个单位
左移1个单位
在同一直角坐标系中，画出 、
、 的图像.
O
x
y
1
2
3
4
5
5
10
15
20
25
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–10
–5
y=2(x+1)2的顶点坐标为( )
对称轴为：
–1，0
直线x= –1
O
x
y
1
2
3
4
5
5
10
15
20
25
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–10
–5
y=2(x–1)2的顶点坐标为( )
对称轴为：
1，0
直线x= 1
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
y
在同一直角坐标系中画出函数
的图像
抛物线y=ax2与抛物线 y=a(x–h)2 (a、h是常数，a≠0 )的关系：
h＞0时,将抛物线y=ax2向 平移 个单位得到抛物线 y=a(x–h)2它的对称轴为 ；
h＜0时,将抛物线y=ax2向 平移 个单位得到抛物线y=a(x–h)2它的对称轴为 ；
右
h
直线x=h
左
直线x=h
y=a(x–h)2(a、h是常数，a≠0 )的图像和性质
y=a(x–h)2
开口方向 对称轴 顶点坐标
a＞0
a＜0
向上
直线
X = h
(h，0)
向下
直线
X = h
(h，0)
课堂练习 1.抛物线y= –(x+1)2的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
2.抛物线 向右平移2个单位,得到的抛物线是 ；
下
直线x = –1
(–1，0)
3.函数y= –5(x–3)2,当x 时,y随x的增大而增大；
4.对于函数y=2x2+8x+8，当x= 时，函数值y有最 ,值，最值为 ；
＜3
–2
小
0
5. 已知函数y = – 4x2+4x–1
(1)求出函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)讨论函数的性质；
6. 若抛物线y =3x2–6x+c的顶点在x轴上,你能否求出该顶点的坐标 并求出c的值。
8 y=4(x+1)2的图象是由 抛物线__________
向_____平移_____个单位得到.
左
1
7 y=-x2+1的图象是由
抛物线__________
向_____平移_____个单位得到.
y=-x2
上
1
y=4x2
1.抛物线y=3x2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，抛物线上的点都在轴的上方.
2.说出抛物线y=-4x2和y=4x2的开口方向、顶点坐标及对称轴.
3.指出抛物线y=2x2、y=2x2+3和的y=2x2-3开口方向、顶点坐标及对称轴,并说明与抛物线y=2x2的关系
4.试说明：通过怎样的平移可由抛物线y = x2 得到抛物线 y = (x-4)2 和 y = (x+4)2
并分别指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标
1
3
1
3
1
3
5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线 ，再向上平移3个单位得到抛物线 ，若向左平移2个单位得到抛物线 ，向右平移2个单位得到抛物线
7. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面正常水位为AB时,宽20m的水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10m
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式
(2)若洪水到来时,水位以0.2米/小时的速度上升,从警戒线开始,再持续多少时间就到达拱桥顶
x
y
C
D
A
B
作业：
P13练习1、2(共20张PPT)
函数
你知道吗？
一次函数
反比例函数
二次函数
正比例函数
y=kx+b (k≠0)
y=kx(k≠0)
一条直线
双曲线
喷泉(1)
九年级数学(下)
第27章二次函数
1.二次函数的概念
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量(100+x)(600-5x)个
生活问题数学化
y=(100+x)(600-5x)
=
-5x +100x+60000.
(2)如果果园橙子的总产量为y(个),那么请你写出y与x之间的关系式.
亲历知识的发生和发展
设人民币一年教育储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1) =100x +200x+100.
你能答对吗
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？
解：S=a( －a)=a(30－a)
=30a－a = -a +30a .
二次函数
y=-5x +100x+60000, y=100x +200x+100 . s= -a +30a .
有何特点？
定义：一般地,形如y=ax +bx+c 的函数叫做x的二次函数.
特别提示:
(1)关于自变量的代数式一定是二次整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(a,b,c是常数,a≠ 0)
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎么判断
(1）y=3(x-1) +1;
(3) s=3-2t .
(5)y=(x+3) -x .
(6)v=10πr
（是）
（否）
（是）
（否）
（否）
（是）
(7) y=x +x +25
(8)y=2 +2x
（否）
（否）
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm .
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积增加多少？
如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
敢于创新
0
如果函数y= +kx+1是二次函数,
则k的值一定是______
0,3
知识的升华
已知函数y=( - k )x2 +kx+ －k
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
（2）k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
k=1 y是x的一次函数。
（2)， 当
y是x的二次函数。
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
y - -
60375
60420
60455
60480
60495
60500
60495
60480
60455
60420
60375
问题再探究
y=-5x +100x+60000,
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
60375
60455
60480
60495
60500
60495
60480
60455
60420
60375
60420
你发现了吗？
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
小结 拓展
1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax +bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
巩固与提高
独立
作业
（1）P4 习题27.1 1,2,3
驶向胜利的彼岸(共13张PPT)
实践与探索
27.3
问题1
某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，根据设计图纸已知：图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是
．喷出的水流距水平面的最大高度是多少？如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
问题2
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图．
现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞
顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离
开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？
是否会超过1 m？
问题3
画出 函数的图象，根据图象
回答下列问题．
图象与x 轴交点的坐标是什么？
当x 取何值时，y＝0？这里x的取值
与方程 有什么关系
(3)当x 取何值时，y＜0？当x取何值时，
y＞0？
(4)能否用含有x的不等式来描述（3）
中的问题？
1.已知二次函数的图象过
点(- 2,0),在y轴上的截距
为- 3,对称轴 x=2,求它的
解析式.
2.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点(2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,
(1)求这抛物线的解析式.
(2)求直线y=2x+1与抛物线的对称轴x轴所围成的三角形的面积.
1、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点. 点A、C的坐标分别是（－1，0）、（0， ）.
(1) 求此抛物线对应的函数解析式；
(2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值.
2、已知抛物线
与x轴有两个交点.
（1）求k的取值范围;
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点．如果⊿ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式;
（3）在（2）的条件下．抛物线与y轴交于点C， 点E在y轴的正半轴上且以A、O、E为顶点的三角形与⊿AOC相似。求点E坐标.
作业：
P27习题27.3
2、3、4(共14张PPT)
二次函数y=ax2的图象和性质
一次函数 的图象是 ；
反比例函数 的图象是 ；
问题1：二次函数y=x2的图象是什么呢？
一条直线
双曲线
函数图象画法
列表
描点
连线
描点法
问题2：如何画二次函数y=x2的图象呢？
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
-0.5
0.5
1
1.5
2
-1
-1.5
-2
0
x … …
y＝x2 … …
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时
所经过的路线叫做抛物线
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点
关于y轴对称
画函数y＝-x2的图象
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点
图象在横轴的上方，开口向上，
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
当x<0时，函数值y随x的增大而减小：当 x>0时，函数值y随x的增大而增大。
当x=0时,函数 取得最小值，y =0。
(-2,-4)
(-1,-1)
(2,-4)
(1,-1)
图象在横轴的下方，开口向下，
当x<0时，函数值y随x的增大而增大：当 x>0 时，函数值y随x的增大而减小。
当x=0时,函数 取得最大值，y =0。
y＝ax2
a > 0 a < 0
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
函数
图象
向上
向下
y轴
（直线x＝0）
y轴
（直线x＝0）
（0，0）
（0，0）
当x＝0时，y最小值为0
当x＝0时，y最大值为0
二次函数y=ax2的性质
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小。
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大。
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的开口方向 ,
对称轴是 ，顶点坐标 ；
在 侧，y随着x的增大而增大；
在 侧，y随着x的增大而减小，
当x= 时，函数y的值最小，是 。
（2）抛物线 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点是 ；
当x>0时，y随着x的增大而 ；
当x<0时，y随着x的 增大而 ；
当x=0时，函数y的值最大，是 .
向上
y轴
（0，0）
对称轴的右
对称轴的左
0
0
向下
y轴
增大
减小
0
（0，0）
2、已知二次函数y=ax2（a≠0）的图像经过点（-2，-8）。
（1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式；
（2）判断点（-1，-4）是否在此抛物线上；
（3）点 和 在此抛物线上，试比较m和n的大小。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,
所求函数解析式为y= -2x2.
（3）因为点 和 在抛物线y= -2x2上
所以当 时，
当 时，
因此 m（2）因为 ，所以点（-1 ，-4）
不在此抛物线上。
(-2,-8)
y=-2x2
因为 < 1 所以 m>n
在对称轴的右边y随x的增大而减小
通过本节的学习你有哪些收获呢？
驶向胜利的彼岸
课堂小结
在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：
（1） y＝3x2；
（2） y＝﹣ x2．
课堂作业:(共13张PPT)
x
y
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
7
-1
-1
-2
-3
-4
-5
0
-2
比较二次函数 y=x 和 y= –x 图象的异同：
二次函数 y=2x 的图象是什么形状？它与二次函数 y=x 的图象有什么相同和不同？
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
1
2
（1）二次函数 y=2x ＋1 的图象与二次函数 y=2x 的图象有什么关系？
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
（2）二次函数 y=3x －1 的图象与二次函数 y=3x 的图象有什么关系？
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
y
在同一直角坐标系中画出函数
的图像
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
向上
向下
y轴
y轴
(0，k)
(0，k)
练习
1.把抛物线 向下平移2个单位，可以得到抛物线 ，再向上平移5个单位，可以得到抛物线 ；
2.对于函数y= –x2+1，当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数取得最 值,为 。
＜0
＞0
=0
大
0
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该二次函数解析式。
6.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
C
＞
作业：
P10 练习1、2
