1.5.1 三角函数的应用-方向角问题同步练习（含解析）

1.5三角函数的应用-方向角问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020?深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）
A．200tan70°米 B．200tan70°米
C．200sin 70°米 D．200sin70°米
2．（2020?济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
3．（2019?济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（　　）（参考数据：tan37°≈34，tan53°≈43）
A．225m B．275m C．300m D．315m
4．（2020?岱岳区一模）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（　　）
A．1小时 B．3小时 C．2小时 D．23小时
5．（2020?开平区一模）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（　　）
A．南偏西40° B．南偏西30° C．南偏西20° D．南偏西10°
6．（2019?泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（　　）km．
A．30+303 B．30+103 C．10+303 D．303
7．（2019秋?乐亭县期中）如图，一艘油轮在海中航行，在A点看到小岛B在A的北偏东25°方向距离60海里处，油轮沿北偏东70°方向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方向，则油轮从A航行到C处的距离是（　　）海里．（结果保留整数）（参考数据：2≈1.41，3≈1.74，6≈2.45）
A．66.8 B．67 C．115.8 D．116
8．（2019?咸安区一模）如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（　　）
A．10(3+1)海里 B．10(3-1)海里
C．20(3+1)海里 D．20(3-1)海里
9．（2019?张家口二模）如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，AC＝15m，那么河AB宽为（　　）
A．15m B．53m C．103m D．123m
10．（2018?苏州）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（　　）
A．40海里 B．60海里 C．203海里 D．403海里
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?邹城市一模）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是　 　海里（结果保留根号）．
12．（2019?荆州）如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B间的距离为　 　海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，5≈2.24）
13．（2019?宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为　 　米．（精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
14．（2019?新宾县四模）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为　 　．
15．（2019秋?德州期中）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝　 　海里．
16．（2018?辽阳）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为　 　海里．（结果保留根号）
17．（2018?潍坊）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行　 　小时即可到达．（结果保留根号）
18．（2018秋?顺义区期末）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是　 　海里．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020?湘阴县一模）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P点320千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
20．（2020?枣阳市校级模拟）已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港（精确到1小时）（该船在C岛停留半个小时）？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)．
21．（2020?铁西区模拟）如图，海中有一小岛P，在距小岛P的162海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？
22．（2020?潮南区模拟）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．
23．（2020春?呼兰区期中）如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向A处，且A处与灯塔B相距60海里，轮船沿东北方向匀速前行，到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的C处．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求灯塔B到C处的距离．（结果保留根号）
24．（2020?滨州模拟）在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距53千米的C处．
（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）
（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
【解答】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°=PQPT，
∴PT=PQtan70°=200tan70°，
即河宽200tan70°米，
故选：B．
2．
【解答】解：如图．
根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，
∴BC＝AB，
∵AB＝15×2＝30（海里），
∴BC＝30（海里），
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
3．
【解答】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．
在Rt△ECB中，tan53°=ECEB，即43=xy，
在Rt△AEC中，tan37°=ECAE，即34=x105+y，
解得x＝180，y＝135，
∴AC=EC2+AE2=1802+2402=300（m），
故选：C．
4．
【解答】解：作BD⊥AC于D，如下图所示：
易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，
则∠CBD＝∠CBA＝30°．
∴AC＝BC，
∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，
∴AC＝BC＝2×40＝80海里，
∴CD=12BC＝40海里．
故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．
故选：A．
5．
【解答】解：∵甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，两船的航行速度相同，
∴AO＝BO，∠BOA＝80°，∠OAD＝30°
∴∠BAO＝∠ABO＝50°，
∴∠BAD＝∠BAO﹣∠OAD＝50°﹣30°＝20°，
∴点B位于点A的南偏西20°的方向上，
故选：C．
6．
【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝302，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝302，
∴AE＝BE=22AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE=33BE＝103km，
∴AC＝AE+CE＝30+103，
∴A，C两港之间的距离为（30+103）km，
故选：B．
7．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA＝∠BDC＝90°，
由题意知：∠BAC＝70°﹣25°＝45°，
∵AM∥CN，
∴∠MAC+∠NCA＝180°，
∴∠NCA＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BCA＝110°﹣50°＝60°，
∵AB＝60海里，∠BAD＝45°，
∴AD＝AB×cos45°＝302海里，BD＝AD＝302海里，CD=BDtan60°=106海里，
302+106≈30×1.41+10×2.45≈67
∴AC＝AD+CD＝67海里，
故选：B．
8．
【解答】解：作AC⊥OB于C点，只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，
由已知得：∠AOB＝30°，∠ABC＝45°、OB＝20海里，
∴BC＝AC，CO＝AC÷tan∠AOB＝AC÷tan30°=3AC，
∵CO﹣CB=3AC-AC＝20，
解得：AC=10(3+1)海里，
∴BC＝AC＝10（3+1）海里，
故选：A．
9．
【解答】解：过C作CE⊥AB，
Rt△ACE中，
∵∠CAD＝60°，AC＝15m，
∴∠ACE＝30°，AE=12AC=12×15＝7.5m，CE＝AC?cos30°＝15×32=1532，
∵∠BAC＝30°，∠ACE＝30°，
∴∠BCE＝60°，
∴BE＝CE?tan60°=1532×3=22.5m，
∴AB＝BE﹣AE＝22.5﹣7.5＝15m．
补充方法：∵∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，
∴∠CBA＝∠CAD﹣∠BCA＝30°，
∴AB＝AC＝15m．
故选：A．
10．
【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB?tan60°，
∴PC＝2×20×3=403（海里），
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．
【解答】解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，
在Rt△BCD中，
∵BC＝12×1.5＝18（海里），∠CBD＝45°，
∴CD＝BC?sin45°＝18×22=92（海里），
则在Rt△ACD中，
AC=CDsin30°=92×2＝182（海里）．
故我渔政船航行了182海里．
故答案为：182．
12．
【解答】解：由题意得，MN＝20，∠ANB＝63.5°，∠BMN＝45°，∠AMN＝∠BNM＝90°，
∴BN＝MN＝20，
如图，过A作AE⊥BN于E，
则四边形AMNE是矩形，
∴AE＝MN＝20，EN＝AM，
∵AM＝MN?tan26.5°＝20×0.50＝10，
∴BE＝20﹣10＝10，
∴AB=202+102=105≈22海里．
故答案为：22．
13．
【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，
在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．
∵OA＝400米，
∴OC＝OA?cos45°＝400×22=2002（米）．
∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝2002米，
∴OB=OCcos60°=200212=4002≈566（米）
故答案是：566．
14．
【解答】解：在CD上取一点E，使BD＝DE，
∵CD⊥AB，
∴∠EBD＝45°，AD＝DC，
∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，
∴CE＝AB＝2km，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，
∴BE＝EC＝2km，
∴BD＝ED=2km，
∴CD＝2+2（km）．
故答案为：（2+2）km．
15．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB
∴BP＝AB＝7（海里）
故答案是：7．
16．
【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵AB＝10海里，∠BAH＝30°，
∴∠ABH＝60°，BH=12AB＝5（海里），
在Rt△BCH中，∵∠CBH＝∠C＝45°，BH＝5（海里），
∴BH＝CH＝5海里，
∴CB＝52（海里）．
故答案为52．
17．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1.5+BQ＝90+BQ（海里），
所以 BQ＝PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ?tan30°=33PQ（海里），
所以 PQ﹣90=33PQ，
所以 PQ＝45（3+3）（海里）
所以 MN＝PQ＝45（3+3）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN＝30°，
所以 BM＝2MN＝90（3+3）（海里）
所以 90(3+3)75=18+635（小时）
故答案是：18+635．
18．
【解答】解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACB＝30°+60°＝90°，
∴∠CBA＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC＝50×0.5＝25，
∴AC＝BC＝25（海里）．
故答案为：25．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【解答】（1）如图所示：
∵台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，B市位于点P的北偏东75°方向上，
∴∠QPG＝45°，∠NPB＝75°，∠BPG＝15°，
∴∠BPQ＝30°
作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，
得 BH＝320sin30°＝160＜200，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由（1）得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，
∴P1P2＝22002-1602=240，
∴台风影响的时间t=24030=8（小时）．
20．
【解答】解：作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里，
在直角△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
则AC＝2x，AD=3x，
在直角△BCD中，∠CBD＝45°，
则BD＝CD＝x，BC=2CD=2x，
∵AB＝40，即AD+BD＝40，
∴3x+x＝40，
解得：x＝20（3-1），
∴BC＝202（3-1）＝206-202，AC＝2x＝40（3-1），
则总路程是：206-202+40（3-1）海里，
则时间是：206-202+40(3-1)20=6-2+23-2≈2.45﹣1.41+2×1.73﹣2≈2.5（小时）．
∵该船在C岛停留半个小时，
∴需要3小时能把这批物资送到A港．
21．
【解答】解：过P作PB⊥AM于B，
在Rt△APB中，∵∠PAB＝30°，
∴PB=12AP=12×32＝16海里，
∵16＜162，
故轮船有触礁危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径162海里，即这个距离至少为162海里，
设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，
由题意得，AP＝32海里，PD＝162海里，
∵sin∠PAC=PDAP=16232=22，
∴在Rt△PAD中，∠PAC＝45°，
∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝45°﹣30°＝15°．
答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行，才能安全通过这一海域．
22．
【解答】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝∠BCD．
∴△CDB∽△ADC．
∴CDAD=BDCD
∵AB＝CB＝8
∴BD＝4，AD＝12．
∴CD12=4CD
∴CD＝43
≈6.928＞6．
∴船继续向东航行无触礁危险．
23．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°．则∠ACB＝180°﹣45°﹣105°＝30°，即∠ACB＝30°；
（2）过点B作AC的垂线，垂足为D，依题意可得∠DAB＝45°，∠DBA＝45°，AB＝60海里．
在△BDC中，∠DBC＝45°+15°＝60°，∠BDC＝90°，cos∠DBC=BDBC=302BC=cos60°=12．
∴BC＝602（海里）．
答：灯塔B到C处的距离是602海里．
24．
【解答】解：（1）由题意，得∠BAC＝90°，
∴BC=152+(53)2=103，
∴飞机航行的速度为：103×60＝6003（km/h）；
（2）能；
作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F．
在Rt△ABC中，AC＝53，BC＝103，
∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°，
又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，
∴CE＝AC?sin∠CAE=523，
AE＝AC?cos∠CAE=152．
则AF＝2AE＝15（km），
∴AN＝AM+MN＝14.5+1＝15.5km，
∵AM＜AF＜AN，
∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间．