2.5确定二次函数的表达式同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.5确定二次函数的表达式同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-16 16:58:04 | ||
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文档简介
2.5确定二次函数的表达式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020?莆田模拟）将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣2）2+3
2．（2020秋?思明区校级月考）已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝﹣3（x+1）2 D．y＝﹣3（x﹣1）2
3．（2018秋?文登区期中）若|m+3|+n-2=0，点P（m，n）关于x轴的对称点P′为二次函数图象顶点，则二次函数的解析式为（ ）
A．y=12（x﹣3）2+2 B．y=12（x+3）2﹣2
C．y=12（x﹣3）2﹣2 D．y=12（x+3）2+2
4．（2020?杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
5．（2017秋?龙凤区校级期中）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y=-12x2-12x+2
C．y=-12x2-12x+1 D．y＝﹣x2+x+2
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c过（﹣1，2），（0，1），（2，﹣7）三点，则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+2x+1 B．y＝x2﹣2x+1 C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝﹣x2﹣2x+1
7．（2018秋?青县期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
8．（2018秋?兴义市期末）二次函数的图象如图所示，则其解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2﹣2x+3 D．y＝﹣x2﹣2x﹣3
9．（2020?岳麓区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）-k24，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝2x2﹣4x+2
10．（2019秋?蔡甸区期中）当k取任意实数时，抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2x+1 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1的图象的对称轴是直线x＝1，二次函数的解析式为 ；该二次函数的最大值是 ．
12．（2020?江油市一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是 ．
13．（2019秋?甘井子区期末）已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为 ．
14．（2020秋?朝阳区校级期中）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
﹣1
0
m
8
…
（1）可求得m的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式 ；
（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为 ．
15．（2020?安徽一模）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式 ．
16．（2020?宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
﹣1
3
4
y
10
10
202
那么（4a﹣2b+c）（a﹣b+c）的值为 ．
17．（2020?武汉模拟）抛物线经过原点O，还经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为 ．
18．（2020?犍为县二模）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．如图所示，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线y=14（x﹣a）2+b经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）写出点M（2，3）任意两条特征线为 ；
（2）若点D有一条特征线是y＝x+1，则此抛物线的解析式为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?南召县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+4经过点（2，0）和（﹣2，12）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）写出它的图象的开口方向 、顶点坐标 、对称轴 ；
（3）画出函数的大致图象．
20．（2019秋?房山区期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当﹣2＜x＜3时，y的取值范围．
21．（2020?临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
22．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；
（3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是 ．
23．定义：对于给定的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），把形如y=ax2+bx+c(x≥0)-ax2+bx+c(x＜0)的函数称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的衍生函数，已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2．
①写出这个二次函数的衍生函数的表达式．
②若点P （m，-32）在这个二次函数的衍生函数的图象上，求m的值．
③当﹣2≤x≤3时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值．
24．（2020?历下区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣2，0）、B （6，0）两点，交y轴于点C，对称轴交x轴于点E，点D是其顶点，点H为x轴上一动点，连接CD、CH、DH．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点H与点B重合时，求△CDH的面积；
（3）当DH⊥CD时，求点H的坐标．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，
配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，
即y＝2（x﹣1）2+3．
故选：C．
2．【解析】∵当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝﹣3（x﹣1）2满足条件．
故选：D．
3．【解析】∵|m+3|+n-2=0，
∴m＝﹣3，n＝2，即P（﹣3，2），
关于x轴对称点P′的坐标为（﹣3，﹣2），
则以P′为顶点的二次函数解析式为y=12（x+3）2﹣2，
故选：B．
4．【解析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：1=a(1-h)2+k8=a(8-h)2+k，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a=-13，故C正确；
若h＝7，则a=-15，故D错误；
故选：C．
5．【解析】设抛物线解析式为y＝a（x-12）2+94，
把（2，0）代入得94a+94=0，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x-12）2+94．
即y＝﹣x2+x+2，
故选：D．
6．【解析】设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵二次函数的图象过点（﹣1，2），（0，1），（2，﹣7），
a-b+c=2c=14a+2b+c=-7，
解得a=-1b=-2c=1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1．
故选：D．
7．【解析】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：4a+k=0a+k=3，
解得：a=-1k=4，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
8．【解析】设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，3）代入得a?1?（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
故选：A．
9．【解析】联立方程组y=ax2+bx+cy=k(x-1)-k24，
∴ax2+bx+c＝k（x﹣1）-14k2，
整理得，ax2+（b﹣k）x+c+k+14k2＝0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△＝（b﹣k）2﹣4a（c+k+14k2）＝（1﹣a）k2﹣2k（2a+b）+b2﹣4ac＝0，
可得1﹣a＝0，2a+b＝0，b2﹣4ac＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x+1，
故选：C．
10．【解析】∵抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点是（k+1，k2+2），
即当x＝k+1时，y＝k2+2，
∴k＝x﹣1，
把k＝x﹣1代入y＝k2+2得y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，
所以（k，﹣3k2）在抛物线y＝x2﹣2x+3上．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1的图象的对称轴是直线x＝1，
∴-2m2×(-1)=1，解得m＝1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x；
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴二次函数的最大值是1，
故答案为y＝﹣x2+2x；1．
12．【解析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入，得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
13．【解析】∵抛物线的对称轴是y轴，
∴设此抛物线的表达式是y＝ax2+c，
把点（1，3）、（2，6）代入得：a+c=34a+c=6
解得：a＝1，c＝2，
则此抛物线的表达式是y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2．
14．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x=1+32=2，
∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），
∴m＝3，
故答案为3；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵过点（0，3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
当x＝4时，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
故答案为y＝x2﹣4x+3；
（3）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，3），（3，0），
因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤x＜3．
15．【解析】∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），
设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，
∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1．
16．【解析】∵x＝﹣1，y＝10；x＝3，y＝10，
∴点（﹣1，10）和（3，10）为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣2和x＝4对应的函数值相等，
而x＝4时，y＝202，
∴x＝﹣2时，y＝202，即4a﹣2b+c＝202，
而x＝﹣1时，a﹣b+c＝10，
∴（4a﹣2b+c）（a﹣b+c）＝202×10＝2020．
故答案为2020．
17．【解析】∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），
∴对称轴是：x＝3，AB＝2，
∵△AOB的面积为4，
∴12AB?|m|＝4，
m＝±4，
当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，4）代入得：9a+h=0a+h=4，
解得：a=-12h=92，
∴抛物线的解析式为：y=-12（x﹣3）2+92，即y=-12x2+3x；
当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，﹣4）代入得：9a+h=0a+h=-4，
解得：a=12h=-92，
∴抛物线的解析式为：y=12（x﹣3）2-92=12x2﹣3x；
综上所述，抛物线的解析式为：y=-12x2+3x或y=12x2﹣3x，
故答案为y=-12x2+3x或y=12x2﹣3x．
18．【解析】（1）∵点M（2，3），
∴点M（2，3）是x＝2，y＝3，y＝x+1，y＝﹣x+5，
故答案为y＝3，y＝x+1；
（2）点D有一条特征线是y＝x+1，
∴b﹣a＝1，
∴b＝a+1
∵抛物线解析式为y=14（x﹣a）2+b，
∴y=14（x﹣a）2+a+1，
∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（a，b），
∴B（2a，2a），
∴14（2a﹣a）2+b＝2a，将b＝a+1代入得到a＝2，b＝3；
∴D（2，3），
∴抛物线解析式为y=14（x﹣2）2+3．
故答案为y=14（x﹣2）2+3．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）由题意得4a+2b+4=04a-2b+4=12
解得a=12b=-3，
∴抛物线解析式为：y=12x2-3x+4；
（2）∵y=12x2-3x+4=12（x﹣3）2-12，
∴图象的开口方向向上，顶点为(3，-12)，对称轴为直线 x＝3，
故答案为向上，（3，-12），直线x＝3；
（3）如图
．
20．【解析】（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把点（0，3）代入y＝a（x﹣1）2+4，得a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图所示：
（3）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，有最大值4，
当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣1）2+4＝﹣5，
当x＝3时，y＝﹣（3﹣1）2+4＝0，
又对称轴为x＝1，
∴当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是﹣5＜y≤4．
21．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a=32或a＝﹣1，
∴抛物线为y=32x2﹣3x+32或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
22．【解析】（1）把A（0，3），B（﹣1，0）代入y＝ax2+2x+c得c=3a-2+c=0，
解得a=-1c=3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
∴BD=(1+1)2+42=25；
（3）∵当x＝﹣2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4﹣4+3＝﹣5；当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，
∴当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为﹣5＜y≤4．
故答案为﹣5＜y≤4．
23．【解析】①它的衍生函数为：y=x2-2x-2(x≥0)-x2-2x-2(x＜0)；
②当m≥0时，根据题意得，m2﹣2m﹣2=-32，
解得：m＝1+62或m＝1-62（舍）；
当m＜0时，根据题意得，﹣m2﹣2m﹣2=-32，
解得：m＝﹣1+22或m＝﹣1-22；
综上，m的值为﹣1+62或﹣1+22或﹣1-22．
③根据题意画出函数图象可得：
当x＝﹣1或3时，取得最大值为y＝9﹣6﹣2＝1；
当x＝1时，取得最小值为y＝1﹣2﹣2＝﹣3．
24．【解析】（1）抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣2，0）、B （6，0）两点，
∴4a-2b+3=036a+6b+3=0，
解得a=-14b=1，
∴抛物线为y=-14x2+x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，
解C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
把B（6，0）、C（0，3）代入得6k+c=0c=3，解得k=-12c=3，
∴直线BC的解析式为y=-12x+3，
设对称轴DE交BC于点F，则F（2，2），
∵D（2，4），
∴DF＝2，
∴S△CDH=12×2×6=6；
（3）如图，过D作DM⊥y轴于M，过H点作HN⊥DM于N，则∠CMD＝∠DNH＝90°，
∵DH⊥CD，
∴∠MCD+∠MDC＝∠MDC+∠NDH＝90°，
∴∠MCD＝∠NDH，
∴△DCM∽△HDN，
∴CMDN=MDHN，
∵D（2，4），C（0，3），
∴DM＝2，MC＝1，HN＝4，
∴1DN=24，解得DN＝2，
∴OH＝MN＝4，
∴H（4，0）．
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020?莆田模拟）将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣2）2+3
2．（2020秋?思明区校级月考）已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝﹣3（x+1）2 D．y＝﹣3（x﹣1）2
3．（2018秋?文登区期中）若|m+3|+n-2=0，点P（m，n）关于x轴的对称点P′为二次函数图象顶点，则二次函数的解析式为（ ）
A．y=12（x﹣3）2+2 B．y=12（x+3）2﹣2
C．y=12（x﹣3）2﹣2 D．y=12（x+3）2+2
4．（2020?杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
5．（2017秋?龙凤区校级期中）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y=-12x2-12x+2
C．y=-12x2-12x+1 D．y＝﹣x2+x+2
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c过（﹣1，2），（0，1），（2，﹣7）三点，则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+2x+1 B．y＝x2﹣2x+1 C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝﹣x2﹣2x+1
7．（2018秋?青县期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
8．（2018秋?兴义市期末）二次函数的图象如图所示，则其解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2﹣2x+3 D．y＝﹣x2﹣2x﹣3
9．（2020?岳麓区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）-k24，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2x C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝2x2﹣4x+2
10．（2019秋?蔡甸区期中）当k取任意实数时，抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2x+1 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1的图象的对称轴是直线x＝1，二次函数的解析式为 ；该二次函数的最大值是 ．
12．（2020?江油市一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是 ．
13．（2019秋?甘井子区期末）已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为 ．
14．（2020秋?朝阳区校级期中）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
﹣1
0
m
8
…
（1）可求得m的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式 ；
（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为 ．
15．（2020?安徽一模）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式 ．
16．（2020?宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
﹣1
3
4
y
10
10
202
那么（4a﹣2b+c）（a﹣b+c）的值为 ．
17．（2020?武汉模拟）抛物线经过原点O，还经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为 ．
18．（2020?犍为县二模）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．如图所示，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线y=14（x﹣a）2+b经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）写出点M（2，3）任意两条特征线为 ；
（2）若点D有一条特征线是y＝x+1，则此抛物线的解析式为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?南召县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+4经过点（2，0）和（﹣2，12）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）写出它的图象的开口方向 、顶点坐标 、对称轴 ；
（3）画出函数的大致图象．
20．（2019秋?房山区期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当﹣2＜x＜3时，y的取值范围．
21．（2020?临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
22．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；
（3）当﹣2＜x＜2时，y的取值范围是 ．
23．定义：对于给定的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），把形如y=ax2+bx+c(x≥0)-ax2+bx+c(x＜0)的函数称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的衍生函数，已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2．
①写出这个二次函数的衍生函数的表达式．
②若点P （m，-32）在这个二次函数的衍生函数的图象上，求m的值．
③当﹣2≤x≤3时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值．
24．（2020?历下区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣2，0）、B （6，0）两点，交y轴于点C，对称轴交x轴于点E，点D是其顶点，点H为x轴上一动点，连接CD、CH、DH．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点H与点B重合时，求△CDH的面积；
（3）当DH⊥CD时，求点H的坐标．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，
配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，
即y＝2（x﹣1）2+3．
故选：C．
2．【解析】∵当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝﹣3（x﹣1）2满足条件．
故选：D．
3．【解析】∵|m+3|+n-2=0，
∴m＝﹣3，n＝2，即P（﹣3，2），
关于x轴对称点P′的坐标为（﹣3，﹣2），
则以P′为顶点的二次函数解析式为y=12（x+3）2﹣2，
故选：B．
4．【解析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：1=a(1-h)2+k8=a(8-h)2+k，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a=-13，故C正确；
若h＝7，则a=-15，故D错误；
故选：C．
5．【解析】设抛物线解析式为y＝a（x-12）2+94，
把（2，0）代入得94a+94=0，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x-12）2+94．
即y＝﹣x2+x+2，
故选：D．
6．【解析】设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵二次函数的图象过点（﹣1，2），（0，1），（2，﹣7），
a-b+c=2c=14a+2b+c=-7，
解得a=-1b=-2c=1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1．
故选：D．
7．【解析】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：4a+k=0a+k=3，
解得：a=-1k=4，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
8．【解析】设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，3）代入得a?1?（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
故选：A．
9．【解析】联立方程组y=ax2+bx+cy=k(x-1)-k24，
∴ax2+bx+c＝k（x﹣1）-14k2，
整理得，ax2+（b﹣k）x+c+k+14k2＝0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△＝（b﹣k）2﹣4a（c+k+14k2）＝（1﹣a）k2﹣2k（2a+b）+b2﹣4ac＝0，
可得1﹣a＝0，2a+b＝0，b2﹣4ac＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x+1，
故选：C．
10．【解析】∵抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点是（k+1，k2+2），
即当x＝k+1时，y＝k2+2，
∴k＝x﹣1，
把k＝x﹣1代入y＝k2+2得y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，
所以（k，﹣3k2）在抛物线y＝x2﹣2x+3上．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1的图象的对称轴是直线x＝1，
∴-2m2×(-1)=1，解得m＝1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x；
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴二次函数的最大值是1，
故答案为y＝﹣x2+2x；1．
12．【解析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入，得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
13．【解析】∵抛物线的对称轴是y轴，
∴设此抛物线的表达式是y＝ax2+c，
把点（1，3）、（2，6）代入得：a+c=34a+c=6
解得：a＝1，c＝2，
则此抛物线的表达式是y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2．
14．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x=1+32=2，
∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），
∴m＝3，
故答案为3；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵过点（0，3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
当x＝4时，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
故答案为y＝x2﹣4x+3；
（3）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，3），（3，0），
因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤x＜3．
15．【解析】∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），
设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，
∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1．
16．【解析】∵x＝﹣1，y＝10；x＝3，y＝10，
∴点（﹣1，10）和（3，10）为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣2和x＝4对应的函数值相等，
而x＝4时，y＝202，
∴x＝﹣2时，y＝202，即4a﹣2b+c＝202，
而x＝﹣1时，a﹣b+c＝10，
∴（4a﹣2b+c）（a﹣b+c）＝202×10＝2020．
故答案为2020．
17．【解析】∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），
∴对称轴是：x＝3，AB＝2，
∵△AOB的面积为4，
∴12AB?|m|＝4，
m＝±4，
当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，4）代入得：9a+h=0a+h=4，
解得：a=-12h=92，
∴抛物线的解析式为：y=-12（x﹣3）2+92，即y=-12x2+3x；
当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
把（0，0）和（2，﹣4）代入得：9a+h=0a+h=-4，
解得：a=12h=-92，
∴抛物线的解析式为：y=12（x﹣3）2-92=12x2﹣3x；
综上所述，抛物线的解析式为：y=-12x2+3x或y=12x2﹣3x，
故答案为y=-12x2+3x或y=12x2﹣3x．
18．【解析】（1）∵点M（2，3），
∴点M（2，3）是x＝2，y＝3，y＝x+1，y＝﹣x+5，
故答案为y＝3，y＝x+1；
（2）点D有一条特征线是y＝x+1，
∴b﹣a＝1，
∴b＝a+1
∵抛物线解析式为y=14（x﹣a）2+b，
∴y=14（x﹣a）2+a+1，
∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（a，b），
∴B（2a，2a），
∴14（2a﹣a）2+b＝2a，将b＝a+1代入得到a＝2，b＝3；
∴D（2，3），
∴抛物线解析式为y=14（x﹣2）2+3．
故答案为y=14（x﹣2）2+3．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）由题意得4a+2b+4=04a-2b+4=12
解得a=12b=-3，
∴抛物线解析式为：y=12x2-3x+4；
（2）∵y=12x2-3x+4=12（x﹣3）2-12，
∴图象的开口方向向上，顶点为(3，-12)，对称轴为直线 x＝3，
故答案为向上，（3，-12），直线x＝3；
（3）如图
．
20．【解析】（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把点（0，3）代入y＝a（x﹣1）2+4，得a＝﹣1，
故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图所示：
（3）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，有最大值4，
当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣1）2+4＝﹣5，
当x＝3时，y＝﹣（3﹣1）2+4＝0，
又对称轴为x＝1，
∴当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是﹣5＜y≤4．
21．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a=32或a＝﹣1，
∴抛物线为y=32x2﹣3x+32或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
22．【解析】（1）把A（0，3），B（﹣1，0）代入y＝ax2+2x+c得c=3a-2+c=0，
解得a=-1c=3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
∴BD=(1+1)2+42=25；
（3）∵当x＝﹣2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4﹣4+3＝﹣5；当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，
∴当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为﹣5＜y≤4．
故答案为﹣5＜y≤4．
23．【解析】①它的衍生函数为：y=x2-2x-2(x≥0)-x2-2x-2(x＜0)；
②当m≥0时，根据题意得，m2﹣2m﹣2=-32，
解得：m＝1+62或m＝1-62（舍）；
当m＜0时，根据题意得，﹣m2﹣2m﹣2=-32，
解得：m＝﹣1+22或m＝﹣1-22；
综上，m的值为﹣1+62或﹣1+22或﹣1-22．
③根据题意画出函数图象可得：
当x＝﹣1或3时，取得最大值为y＝9﹣6﹣2＝1；
当x＝1时，取得最小值为y＝1﹣2﹣2＝﹣3．
24．【解析】（1）抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣2，0）、B （6，0）两点，
∴4a-2b+3=036a+6b+3=0，
解得a=-14b=1，
∴抛物线为y=-14x2+x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，
解C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
把B（6，0）、C（0，3）代入得6k+c=0c=3，解得k=-12c=3，
∴直线BC的解析式为y=-12x+3，
设对称轴DE交BC于点F，则F（2，2），
∵D（2，4），
∴DF＝2，
∴S△CDH=12×2×6=6；
（3）如图，过D作DM⊥y轴于M，过H点作HN⊥DM于N，则∠CMD＝∠DNH＝90°，
∵DH⊥CD，
∴∠MCD+∠MDC＝∠MDC+∠NDH＝90°，
∴∠MCD＝∠NDH，
∴△DCM∽△HDN，
∴CMDN=MDHN，
∵D（2，4），C（0，3），
∴DM＝2，MC＝1，HN＝4，
∴1DN=24，解得DN＝2，
∴OH＝MN＝4，
∴H（4，0）．