2.6二次函数的应用（1）面积问题同步练习（含解析）

2.6二次函数的应用（1）面积问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019春?西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（　　）
A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2 D．48m2，32m2
2．（2019?宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（　　）平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
3．（2019?桥西区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　　）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2018秋?大观区校级月考）用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为（　　）m2．
A．256 B．83 C．2 D．4
5．（2019?保定三模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为（　　）
A．75m2 B．752m2 C．48m2 D．2252m2
6．（2018秋?柯桥区期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（　　）
A．193 B．194 C．195 D．196
7．（2007秋?吴中区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，b3≤a≤3b，AE＝AH＝CF＝CG，则四边形EFGH的面积的最大值是（　　）
A．116(a+b)2 B．18(a+b)2 C．14(a+b)2 D．12(a+b)2
8．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（　　）
A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2
9．（2019?江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y=1810x2+52 B．y=4810x2+52
C．y=1810x2+2 D．y=4810x2+2
10．（2018?天心区校级一模）如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图2（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①BE＝BC； ②当t＝6秒时，△ABE≌△PQB； ③点P运动了18秒； ④当t=272秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的是（　　）
A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?宿豫区期末）若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为　 　．
12．（2018?长安区一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持DF⊥EF，则△CDE面积的最大值为　 　．
13．（2018?沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝　 　m时，矩形土地ABCD的面积最大．
14．（2019秋?台州期中）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE．那么当BE＝　 　m时，绿地AEFG的面积最大．
15．（2019春?西湖区校级月考）用12m长的木材做窗框（如图所示），要使透过窗户的光线最多，窗框的长为　 　m，此时最大面积为　 　m2．
16．（2019?商南县二模）如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝8，则△DEF面积的最大值为　 　．
17．（2019?兴庆区校级三模）已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为　 　．
18．（2019?温州模拟）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是　 　m2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020?河池三模）如图，在足够大的空地上有一段长为100m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m的木栏
（1）若AD＜20m，所围成的矩形菜园的面积为450m2，求所利用的旧墙AD的长．
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
20．（2020?宁波模拟）如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？
你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设AB＝x米．
（1）请用含x的代数式表示BC．
（2）设矩形ABCD的面积为S．
①求出S关于x的函数表达式．
②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？
21．（2019秋?花都区期末）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）．
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
22．（2020春?道里区期末）某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆（EF），如图，BE、EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD＞AB，矩形ABCD的面积为s平方米．
（1）求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形ABCD的面积为252平方米，求AB的长．
23．（2020?无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
24．（2019秋?南岸区期末）空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为120m．
（1）已知a＝30，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了120m木栏，且围成的矩形菜园而积为1000m2．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜60，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则
S＝x×12（20﹣x）
=-12（x2﹣20x）
=-12（x﹣10）2+50 （8≤x≤15）
∵-12＜0
∴S有最大值，x＝10＞8时，S最大＝50
∵墙长为15m
∴当x＝15时，S最小
S最小＝15×12×（20﹣15）＝37.5
∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为50m2，37.5m2．
故选：C．
2．【解析】
设AB＝x，则BC＝12﹣2x
得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18
即矩形ABCD的最大面积为18平方米
故选：B．
3．【解析】设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
=12×12×6-12（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
4．【解析】设宽为xm，则长为8-3x2m，
可得面积S＝x?8-3x2=-32x2+4x，
当x=43时，S有最大值，最大值为-164×(-32)=83
故选：B．
5．【解析】设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故选：A．
6．【解析】∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米．
则S＝AB?BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．
由题意可知，m≥628-m≥15，
解得6≤m≤13．
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2．
故选：C．
7．【解析】设AE＝AH＝CF＝CG＝x，则BE＝DG＝a﹣x，BF＝DH＝b﹣x，
设四边形EFGH的面积为y，
依题意，得y＝ab﹣x2﹣（a﹣x）（b﹣x），
即：y＝﹣2x2+（a+b）x，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴x=a+b4时，有最大值，
∵b3≤a≤3b，
∴0＜x≤a，
∴函数有最大值为-(a+b)24×(-2)=18（a+b）2．
故选：B．
8．【解析】根据题意
沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP＝2t，AQ＝t，
S△APQ＝t2，
∵0＜t≤4，
∴三角形APQ的最大面积是16．
故选：B．
9．【解析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，
∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE=13AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+(19x)2，
∴y=1810x2+52，
故选：A．
10．【解析】观察图象可知，AD＝BC＝5×2＝10，BE＝1×10＝10，ED＝4×1＝4，AE＝10﹣4＝6，
∴BE＝BC，故①正确，
如图1中，当t＝6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处，
在△ABE与△PQB中，
AE=PB=6∠1=∠2BE=BC，
∴△ABE≌△PQB（SAS），故②正确，
在Rt△ABE中，AB=BE2-AE2=102-62=8，
∴BE+DE+DC＝10+4+8＝22，
∴点P运动了22秒，故③错误，
当t=272秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，
∴△ABE与△QBP不相似，故④错误．
∴①②正确，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】如图，设将铁丝分成xcm和（200﹣x）cm两部分，列方程得：
y＝（x4）2+（200-x4）2=18（x﹣100）2+1250，
由于18＞0，故其最小值为1250cm2，
故答案为：1250cm2．
12．【解析】如图所示，连接CF，
∵等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，
∴CF＝AF，∠A＝∠FCE，AC＝BC＝10×22=52，
又∵∠DFC+∠CFE＝90°，∠AFD+∠CFD＝90°，
∴∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF≌△CEF（ASA），
设AD＝x（0＜x＜52），△CDE的面积为y，则CE＝x，CD＝52-x，∠C＝90°，
∴y=12x（52-x）=-12(x-522)2+254，
即△CDE面积的最大值为254，
故答案为：254．
13．【解析】设AB＝xm，则BC=12（900﹣3x），
由题意可得，S＝AB×BC＝x×12（900﹣3x）=-32（x2﹣300x）=-32（x﹣150）2+33750
∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750，
∴AB＝150m，
故答案为：150．
14．【解析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得：
y＝AE?AG
＝（8﹣x）（8+2x）
＝﹣2x2+8x+64
＝﹣2（x﹣2）2+72．
∵二次项系数为﹣2，
∴当x＝2时，y有最大值72．
故答案为：2．
15．【解析】设窗框的长为xm，则窗框的宽为13（12﹣2x），
所以，窗框的面积=13（12﹣2x）x=-23（x﹣3）2+6，
∵a=-23＜0，
∴当x＝3时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多，此时最大面积为6m2．
故答案为：3，6．
16．【解析】过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵菱形ABCD边长为8，∠BAD＝60°，
∴AD＝CD＝8，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，
∴∠FDG＝180°﹣∠ADB＝60°，
设AE＝x，
∵AE+CF＝8，
∴CF＝8﹣x；
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣x，DF＝CD﹣CF＝8﹣（8﹣x）＝x，
在Rt△DFG中，FG＝DF?sin∠GDF=32x，
∴S△DEF=12DE?FG=12×（8﹣x）×32x=-34x2+23x=-34（x2﹣8x）=-34（x﹣4）2+43，
∴当x＝4时，△DEF面积的最大，最大值为43．
故答案为：43．
17．【解析】∵矩形ABCD的周长为18，AB＝x，
∴BC=12×18﹣x＝9﹣x，
∵E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，
∴y=12x（9﹣x）=-12x2+92x，
故答案为：y=-12x2+92x；
18．【解析】如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴a=-14x+10，3a=-34x+30，
∴矩形区域ABCD的面积S＝（-34x+30）x=-34x2+30x，
∵a=-14x+10＞0，
∴x＜40，
则S=-34x2+30x（0＜x＜40）；
∵S=-34x2+30x=-34（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为-34＜0，
∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．
故答案为：300．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m．
x（100﹣2x）＝450．
解得，x1＝5，x2＝45，
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意，舍去．
当x＝45时，100﹣2x＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝am，面积为Sm2，
S＝a?100-a2=-12（a﹣50）2+1250，
∴当a＝50时，S取得最大值，此时S＝1250，
答：矩形菜园ABCD面积的最大值是1250m2．
20．【解析】（1）由题意可得：12π?BC=400-2x2，
∴BC=400-2xπ；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴S=400-2xπ×x=-2π（x﹣100）2+20000π；
②当x＝100时，S最大，
∴当AB＝100米时，S最大．
21．【解析】（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，
则（40﹣2x）2＝900，
即40﹣2x＝±30，
解得x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5；
答：剪掉的正方形边长为5cm；
（2）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与x的函数关系式为y＝4（40﹣2x）x，
即y＝﹣8x2+160x，
y＝﹣8（x﹣10）2+800，
∵﹣8＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝10时，y最大＝800；
答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm2．
22．【解析】（1）由题意得：BC﹣1＝58﹣x﹣x﹣（x﹣1），化简得，BC＝60﹣3x，
可得矩形ABCD的面积：S＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x（8≤x＜15）；
（2）由题意得：S＝﹣3x2+60x＝252，解得：x＝14或6（舍去6），
故AB长为14米．
23．【解析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF?EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，
参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）?x?20+（20+20﹣2x）?x?60+（30﹣2x）（20﹣2x）?40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×12（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
24．【解析】（1）设AD＝x米，则AB=120-x2，
依题意得，x(120-x)2=1000，
解得x1＝100，x2＝20，
∵a＝30，且x≤a，
∴x＝100舍去，
∴利用旧墙AD的长为20米；
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，
①如果按图1案围成矩形菜园，依题意得，
S=x(120-x)2=-12(x-60)2+1800（0＜x＜a），
∵0＜a＜60，
∴x＜a＜60时，S随x的增大而增大，
当x＝a时，S最大＝60a-12a2，
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得，
S=x(120+a-2x)2=-(x-120+a4)2+(120+a)216（a≤x＜120+a2），
当a＜120+a4＜120+a2时，即0＜a＜40时，
则x=120+a4时，S最大=(120+a)216=14400+240a+a216
当120+a4≤a，即40≤a＜60时，S随x的增大而减小，
∴x＝a时，S最大=-(a-120+a4)2+(120+a)216=60a-12a2，
综合①②，当0＜a＜40时，
14400+240a+a216-(60a-12a2)=9(a-40)216＞0，
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为14400+240a+a216平方米，
当40≤a＜60时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜40时，围成长和宽均为120+a4米的矩形菜园面积最大，最大面积为14400+240a+a216平方米；
当40≤a＜60时，围成长为a米，宽为120-a2米的矩形菜园面积最大，最大面积为（60-12a2）平方米．