2.7二次函数的应用（2）抛物型问题同步练习（含解析）

2.7二次函数的应用（2）抛物型问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020?濮阳模拟）小明以二次函数y＝2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京?房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为（　　）
A．14 B．11 C．6 D．3
2．（2019秋?武昌区校级期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再下降1.5m，水面宽度为（　　）m．
A．4.5 B．25 C．26 D．27
3．（2019秋?汾阳市期末）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（　　）
A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
4．（2020?山西）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
5．（2020?绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．43米 B．52米 C．213米 D．7米
6．（2019秋?北京期末）小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（　　）
x（分）
…
13.5
14.7
16.0
…
y（米）
…
156.25
159.85
158.33
…
A．32分 B．30分 C．15分 D．13分
7．（2020?永康市模拟）已知物体下落时间t与下落距离x成以下关系：x=12gt2，其中g与纬度的关系如图．若一只熊掉进一个洞深为19.664m的洞，下落时间刚好为2s，这只熊最有可能生活在哪个纬度附近（　　）
A．10° B．45° C．70° D．90°
8．（2020?长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（　　）
A．1米 B．32米 C．2米 D．138米
9．（2020?裕华区校级一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
10．（2020?江汉区校级一模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（　　）
A．2m B．4m C．42 m D．43m
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?长春模拟）如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为　 　．
12．（2018秋?桃城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=-140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是　 　米．
13．（2019秋?巴南区校级月考）汽车在高速公路刹车后滑行的距离y（米）与行驶的时间x（秒）的函数关系式是y＝﹣3x2+36x，汽车刹车后，会继续向前滑行直至静止，那么汽车静止前2秒内滑行的距离是　 　米．
14．（2020?长春模拟）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为　 　米．
15．（2019秋?建湖县期末）如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m，两侧距底面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个隧道入口的最大高度为　 　m（精确到0.1m）．
16．（2020?李沧区模拟）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是　 　m．
17．（2020?长春模拟）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为　 　m．
18．（2018秋?富裕县期末）如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝　 　m．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020?顺德区三模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
20．（2019秋?西城区校级期中）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
21．（2019秋?德城区校级期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，AB＝8m，BC＝2m，隧道的最高点P位于AB的中点的正上方，且与AB的距离为4m．
（1）建立如图所示的坐标系，求图中抛物线的解析式；
（2）若隧道为单向通行，一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过？请说明理由．
22．（2020?市南区一模）如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y（m）与地面水平距离x（m）之间的关系式可以用y=-15x2+bx+c表示，且抛物线经过B（2，245），C（5，215）．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度ON的长；
（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且EG∥x轴，EF∥y轴），现有库存10米的钢材是否够用？
23．（2019秋?溧阳市期末）如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）a＝　 　，c＝　 　；
（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
24．（2020?绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：2取1.4）
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】∵y＝2x2﹣4x+8＝2（x﹣1）2+6，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），
∵AB＝4，
∴B点的横坐标为x＝3，
把x＝3代入y＝2x2﹣4x+8，得到y＝14，
∴CD＝14﹣6＝8，
∴CE＝CD+DE＝8+3＝11．
故选：B．
2．【解析】如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y＝ax2+2，将B（2，0）代入得：
0＝a×4+2，
解得：a=-12．
∴抛物线的解析式为y=-12x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有﹣1.5=-12x2+2，
解得：x＝±7．
∵7-（-7）＝27，
∴水面宽度为27m．
故选：D．
3．【解析】由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
2.25＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣0.75，
∴y=-34（x﹣1）2+3，
当y＝0时，-34（x﹣1）2+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3，
答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故选：B．
4．【解析】由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
5．【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，
设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，
∵BC＝10，
∴点B（﹣5，0），
∴0＝a×（﹣5）2+32，
∴a=-350，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，
设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，
∵EF＝14，
∴点E的横坐标为﹣7，
∴点E坐标为（﹣7，-3625），
∴-3625=m（x﹣b）2，
∴x1=65-1m+b，x2=-65-1m+b，
∴MN＝4，
∴|65-1m+b﹣（-65-1m+b）|＝4
∴m=-925，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x＝﹣10时，y=-92，
∴-92=-925（x﹣b）2，
∴x1=522+b，x2=-522+b，
∴单个小孔的水面宽度＝|（522+b）﹣（-522+b）|＝52（米），
故选：B．
6．【解析】最值在自变量大于13.5小于14.7之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是15×2＝30分钟．
故选：B．
7．【解析】∵若一只熊掉进一个洞深为19.664m的洞，下落时间刚好为2s，
∴x＝19.664，t＝2s，代入x=12gt2，得：
19.664=12g×22
∴g＝9.832，
由图可知g＝9.83058时，纬度为80，9.832比9.83058略大，
∴这只熊最有可能生活在纬度为90附近．
故选：D．
8．【解析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
c=1.59a+3+c=0，
解得：a=-12c=32，
∴函数表达式为：y=-12x2+x+32，
=-12（x﹣1）2+2，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：C．
9．【解析】①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；
②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：
0＝a（0﹣3）2+40，
解得a=-409，
∴函数解析式为h=-409（t﹣3）2+40，
∴当t＝1.5s时，h=-409（1.5﹣3）2+40＝30，
∴④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：C．
10．【解析】根据题意，得
OA＝12，OC＝4．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即-b2a=b13=6，
∴b＝2，
∵C（0，4），
∴c＝4，
所以抛物线解析式为：
y=-16x2+2x+4
=-16（x﹣6）2+10
当y＝8时，
8=-16（x﹣6）2+10，
解得x1＝6+23，x2＝6﹣23．
则x1﹣x2＝43．
所以两排灯的水平距离最小是43．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】∵抛物线y＝ax2（a＜0），
点B在抛物线上，将B（0.8，﹣2.4），
它的坐标代入y＝ax2（a＜0），
求得a=-154，
所求解析式为y=-154x2．
再由条件设D点坐标为（x，﹣0.9），
则有：﹣0.9=-154x2．，
解得：x＝±65，
所以宽度为265，
故答案为：265．
12．【解析】令y＝8，即y=-140x2+10＝8，
解得：x＝±45，
∴则EF＝45-（﹣45）＝85．
13．【解析】y＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∴x＝6（秒）时，汽车静止，此时滑行了108（米），
故当x＝4（秒）时，y＝﹣3x2+36x＝96（米），
故汽车静止前2秒内滑行的距离是108﹣96＝12（米），
故答案为12．
14．【解析】根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则c=54.01600a+40b+c=46.2400a+20b+c=57.9，
解得：a=-0.0195b=0.585c=54.0，
所以x=-b2a=-0.5852×(-0.0195)=15（m）．
故答案为：15．
15．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知各点的坐标，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4）．
设抛物线的解析式为：y＝ax2+c（a≠0），把B（4，0），D（﹣3，4）代入，得
16a+c=09a+c=4，
解得a=-47c=647，
∴该抛物线的解析式为：y=-47x2+647，
则C（0，647）．
∵647m≈9.1m．
故答案为：9.1．
16．【解析】设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣3）2+5，
将点（9，0）代入上式并解得：a=-536，
故抛物线的表达式为：y=-536（x﹣3）2+5，
令x＝0，则y=154，即OA=154，
故答案为154．
17．【解析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
代入（3，0）求得：a=-34（x﹣1）2+3．
将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-34（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；
令x＝0，则y=-34+3＝2.25．
故水管AB的长为2.25m．
故答案为：2.25．
18．【解析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25
∵点A（0，1.25）在抛物线上
∴1.25＝a（0﹣1）2+2.25
解得：a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25
令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.25
解得：x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）
∴点B坐标为（﹣2.5，0）
∴OB＝OC＝2.5
∴CB＝5
故答案为：5．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：
64a+8＝6，
解得：a=-132．
∴抛物线的解析式为y=-132x2+8．
（2）根据题意，把x＝±4代入解析式y=-132x2+8，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
20．【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为（15，45），
∴y＝a（x﹣15）2+45，
∵与x轴交于点A（60，0），
∴0＝a（60﹣15）2+45，
解得：a=-145，
∴解析式为y=-145（x﹣15）2+45，
令x＝0得：y=-145（0﹣15）2+45＝40，
∴点B的坐标为（0，40），
∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
21．【解析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，
又因为点A（0，2）在抛物线上，
所以有2＝a（0﹣4）2+6．
所以a=-14．
因此有：y=-14(x-4)2+6；
（2）令y＝4，则有4=-14(x-4)2+6，
解得：x1=4+22，x2=4-22，|x1-x2|=42＞3，
∴货车可以通过．
22．【解析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：245=-45+2b+c215=-5+5b+c，解得b=65c=165，
故抛物线的表达式为：y=-15x2+65x+165；
（2）y=-15x2+65x+165，
令y＝0，解得：x＝﹣2（舍去）或8，
故ON＝8；
（3）设点E（x，-15x2+65x+165），
由题意得：GE+EF＝x-15x2+65x+165=-15（x-112）2+374
∵-15＜0，
∴GE+EF的最大值为374，
∵374＜10，
故现有库存10米的钢材够用．
23．【解析】（1）由题意得：函数y＝at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴0.5=c3.5=0．82a+5×0.8+c，
解得：a=-2516c=12，
∴抛物线的解析式为：y=-2516t2+5t+12，
故答案为：-2516，12；
（2）∵y=-2516t2+5t+12，
∴y=-2516（t-85）2+92，
∴当t=85时，y最大＝4.5，
∴当足球飞行的时间85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；
（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，
∴当t＝2.8时，y=-2516×2.82+5×2.8+12=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
24．【解析】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=-150，
故抛物线的表达式为：y=-150（x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y=-150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y=-150（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，-150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝62=8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．